Возвратимся теперь к общему уравнению прямолинейного движения, а именно:
\[
m \frac{d u}{d t}=X .
\]

Помножив обе части на $u$, получим:
\[
m u \frac{d u}{d t}=X u,
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} m u^{2}\right)=X \frac{d x}{d t}
\]

Произведение $\frac{1}{2} m u^{2}$ по причине, которая сейчас обнаружится, называется „кинетическою энергиею\” (жживая сила“). Так как $X \delta x$ обозначает работу силы на бесконечно малом перемещении $\delta x$, то произведение $X \frac{d x}{d t}$ измеряет скорость изменения (производную по времени) работы в момент времени $t$. Следовательно, уравнение (2) выражает, что приращение кинетической энергии в единицу вренени (производная от кинетической энергии по времени) в каждый момент времени равно увеличению работы силы также за единицу времени (производная работы по времени). Отсюда, интегрируя по $t$, мы получаем, что приращение кинетической энергии за какой-либо промежуток времени равно работе силы на пути, пройденном за этот промежуток времени. В буквенных обозначениях мы имеем:
\[
\frac{1}{2} m u_{2}{ }^{2}-\frac{1}{2} m u_{1}{ }^{2}=\int_{t_{t}}^{t_{1}} X \frac{d x}{d t} d t,
\]

где $u_{1}, u_{2}$ представляют скорости в соответствующие моменты времени $t_{1}, t_{2}$.

Если сила всегда принимает одно и то же значение, когда $x$ принимает одно и то же значение, т. е. если $X$ представляет определенную функцию от $x$, то интеграл в правой части (3) можно заменить интегралом
\[
\int_{x_{1}}^{x_{2}} X d x,
\]

где $x_{1}$ и $x_{2}$ обозначают координаты начального и конечного положения. Мы приходим, таким образом, к постоянному (по времени) консервативному полю сил (\”Статика “, § 49), к которому можем применить термин „потенциальная энергия “. Работа, которую нужно затратить извне, чтобы переместить, несмотря на действие сил поля, материальную точку из некоторого определенного положения $x_{0}$ ( ${ }_{n}$ нулевое“ положение) в какое-либо положение $x$, имеет одну и ту же величину, по какому бы пути мы точку ни перемещали; эта работа и называется „потенциальной энергией “, соответствующею положению $x$. Обозначая ее через $U$, имеем:
\[
U=-\int_{x_{0}}^{x} X d x=\int_{x}^{x_{0}} X d x,
\]

так как $-X$ представляет внешнюю силу, требуемую для того, чтобы уравновесить силу поля в каждой стадии воображаемого процесса, который мы можем предположить происходящим бесконечно медленно ${ }^{1}$ ). Если мы рассмотрим малое перемещение, то мы будем иметь:
\[
\delta U=-X \delta x,
\]

или
\[
X=-\frac{d U}{d x} \text {. }
\]

Работа силы поля, когда материальная точка переходит из положения $x_{1}$ в какое-либо другое положение $x_{2}$, будет равна:
\[
\int_{x_{1}}^{x_{1}} X d x=\int_{x_{1}}^{x_{0}} X d x+\int_{x_{0}}^{x_{2}} X d x=\int_{x_{1}}^{x_{0}} X d x-\int_{x_{1}}^{x_{0}} X d x=U_{1}-U_{2} .
\]

Следовательно, если других сил мы не имеем, то на основании будет:
\[
\frac{1}{2} m u_{2}^{2}-\frac{1}{2} m u_{1}^{2}=U_{1}-U_{2},
\]

или
\[
\frac{1}{2} m u_{2}^{2}+U_{2}=\frac{1}{2} m u_{1}^{2}+U_{1},
\]
т. е. сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна.

Если на точку действуют и другие силы, то мы на правой стороне (8) должны добавить их работу; другими словами, разность
\[
\left(\frac{1}{2} m u_{2}^{2}+U_{2}\right)-\left(\frac{1}{2} m u_{1}^{2}+U_{1}\right)
\]

равна работе, произведенной этими другими силами. Следовательно, эта работа равна (положительному или отрицательному) приращению полной энергии материальной точки. В некоторых случаях этот результат бывает удобнее выразить следующим образом: работа силы реакции, действующей на точку, равна уменьшению полной энергии точки.
1) Сейчас же будет видно, что это предположение не является необходимым.

Из предыдущего следует, что величина $\frac{1}{2} m u^{2}+U$, которую мы назвали „полной энергией “, измеряет работу, которую надо затратить против внешних сопротивлений, чтобы перевести точку из ее действительного состояния движения, учитывая ее скорость и положение, в состояние покоя в исходном положении. По этой причине наименование „энергия “ применяется в смысле „способность произвести работу при преодолении сопротивления\”. Обе составные части полной энергии называются по-разному: „энергия движения \” или „кинетическая энергия “, или \”активная энергия“ и соответственно „энергия положения “, или „статическая энергия “ или \” потенциальная энергия “ ${ }^{1}$ ).

ПРимеР 1. Показать, что потенциальная энергия материальной точки, находящейся в поле тяготения на высоте $x$ над нулевым уровнем, будет:
\[
U=m g x .
\]

Следовательно, при отсутствии сопротивления при вертикальном движении точки должно иметь место равенство:
\[
\frac{1}{2} m u^{2}+m g x=\text { const. }
\]

ПРимер 2. Показать, что работа, необходимая для вытягивания спиральной пружины, имеющей ддину $l$, до длины $l+x$ при обозначениях, принятых в § 10 , в примере 1, будет:
\[
\int_{0}^{x} K x d x=\frac{1}{2} K x^{2} .
\]

Следовательно, если к пружине подвешен груз, то должно быть
\[
U=\frac{1}{2} K x^{2}-m g x
\]

при условии, что $x$ измеряется в направлении вниз. Отсюда уравненне энергии будет:
\[
\frac{1}{2} m u^{2}+\frac{1}{2} K x^{2}-m g x=\text { const. }
\]

Пример 3. Показать, что если учесть изменение веса с изменением расстояния от центра Земли, то работа, нсобходимая для перемещения материальной точки с поверхности Земли на расстояние $x$ от центра, будет:
\[
U=\int_{0}^{x} \frac{m g a^{2}}{x^{2}} d x=m g a^{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{x}\right) .
\]

где $a$ обозначает радиус Земли. Следовательно, уравнение энергии в случае радиального движения дает (см. § 16):
\[
\frac{1}{2} m u^{2}-\frac{m g a^{2}}{x}=\text { const. }
\]
1) Произведение $m u^{2}$ со времени Лейбница (G. W. Leibnitz, 1646-1716) известно под названием „живая сила\”; термин этот заменил термином „энергия“ Юнг (Joung). Наименование „активная энергия“ для выражения $\frac{1}{2} m u^{2}$ предложил Ранкин (Ranikłne).