Задача о прямолинейном движении материальной точки под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию, и сопротивления, пропорционального скорости, важна не только сама по себе, но и вследствие существования больuro числа аналогичных случаев движения. Диференциальное уравнение, от когорого такое движение зависит, представляет уравнение совершенно такого же типа, как и в случае малых колебаний маятника, или крутильных колебаний подвешенного стержня, при сопротивлении воздуха, или колебаний стрелки гальванометра, при действии токов, индуктированных в прилегающих металлических массах, и т. д.
Рассматриваемое уравнение имеет вид:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\mu x-k \frac{d x}{d t},
\]

где первый член правой стороны представляет ускорение, сообщаемое восстанавливающею силою, а второй член обусловлен сопротивлением. Это уравнение обычно рассматривают в таком виде:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k \frac{d x}{d t}+\mu x=0 .
\]

Ero можно преобразовать еще следующим образом. Полагая
\[
x=y^{2 t},
\]

последовательно получим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\left(\begin{array}{l}
d y \\
d \bar{t}
\end{array}+\lambda y\right) e^{\lambda t}, \\
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \lambda \frac{d y}{d t}+\lambda^{2} y\right) e^{\lambda t} . \\
\end{array}
\]

Подставив эти выражения в (2), будем иметь:
\[
\frac{d^{2} y}{a t^{2}}+(2 \lambda+k) \frac{d y}{d t}+\left(\lambda^{2}+k \lambda+\mu\right) y=0 .
\]

Количеством $\lambda$ можно располагать по усмотрению. Если мы положим
\[
\lambda=-\frac{1}{2} k,
\]

то второй член в (6) исчезнет, и уравнение сведется к виду, с которым мы уже встречались в § 5, 11, 57 и т. д. Следовательно, уравнению (2) будет удовлетворять выражение:
\[
x=e^{-\frac{1}{2} k t} y
\]

при условии
\[
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\left(\mu-\frac{1}{4} k^{n}\right) y=0 .
\]

Здесь могут представиться три случая. Первый и наиболее важныи, когда будет
\[
\mu>\frac{1}{4} k^{2} ;
\]

это условие выполняется для всех значении коэфициента трения ниже некоторого предела: Полагая
\[
\mu-\frac{1}{4} k^{2}=n^{2},
\]

получим:
\[
y=A \cos n t+B \sin n t \text {, }
\]

или
\[
y=a \cos (n t+\varepsilon),
\]

где постолнные $A, B$, или $a, \varepsilon$ – произвольны. Следовательно, мы имеем:
\[
x=a e^{-\frac{1}{2} k t} \cos (n t+\varepsilon) .
\]

Движение, представляемое этою формулою, можно назвать простым гармоническим колебанием, амплитуда которого $a e^{-\frac{1}{2} k t}$ с увеличением $t$ уменьшается до нуля по показательному закону. Так как тригонометрический множитель изменяется в пределах между значениями . $\pm 1$, то кривая графика пути расположена между кривыми $x= \pm a e^{-\frac{1}{2} k t}$ (см. фиг. 89).
Диференцируя уравнение (2), мы найдем, что скорость $u\left(=\frac{d x}{d t}\right)$, очевидно, удовлетворяет уравнению совершенно такого же типа. Следовательно, мы можем положить
\[
u=a e^{-\frac{1}{2} k t} \cos \left(n t+\delta^{\prime}\right),
\]

что можно найти и другим путем, исходя из (13). Стационарные (экстремальные) значения $x$ получатся при $\cos \left(n t+\varepsilon^{\prime}\right)=0$, и, следовательно, они будут иметь место через равные интервалы времени $\left(\frac{\pi}{n}\right)$. Интервал времени между двумя последовательными максимумами $x$ равен $\frac{2 \pi}{n}$, и его нужно считать поэтому за ,период“. Отношение наибольшего отклонения к ближайшему следующему (в противоположную сторону) составляет $e^{\frac{k \pi}{2 n}}$; логарифм этого отношения, именнө-
\[
\frac{k \pi}{2 n} \log _{10} e=0,2171 \frac{k \pi}{n},
\]

называется „логарифмическим декрементом“ колебаний.
формула (10) показывает, что благодаря сопротивлению период увеличивается с
\[
\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} \text { до } \frac{2 \pi}{\sqrt{\mu-\frac{1}{4} k^{2}}} \text {. }
\]

Если, как это имеет место во многих приложениях (наптрмер в случае маятника), коэфициент трения в сравнении с $\sqrt{\bar{\mu}}$ мал, то оба периода отличаются один от другого только на величину второго порядка. Следовательно, малый коэфициент трения изменяет период колебаний незначительно и оказывает влияние главным обрззом на амплитуду.

В § 10 было показано, что прямолинейное движение материальной точки, находящейся под действием только центральной силы, пропорциональнои расстоянию, тождественно с движением ортогональной проекции точки, описывающей круг с постоянною угловою скоростью. Это представление движения можно видоизменить таким образом, чтобы удовлетворить новому харакгеру движения, заменив круг логарифмическою спнралью J). Чтобы показать это, заметим, что уравнения
\[
x=a e^{-\frac{1}{2} k t} \cos (n t+\varepsilon), \quad y=a e^{-\frac{1}{2} k t} \sin (n t+\varepsilon),
\]

в которых $x, y$ рассматриваются как прямоугольные координаты движущейся точки, эквивалентны уравнениям:
\[
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta,
\]

где
\[
r=a e^{-\frac{1}{2} k t}, \quad \theta=n t+\varepsilon .
\]
1) Это замечание принадлежит П. Дж. Тэту (P. G. Tait, 1867).

Исключая $t$, мы получим:
\[
r=a^{\prime} e^{\theta \operatorname{ctg} \alpha},
\]
rде
\[
a^{\prime}=a e^{\frac{1}{2} k \div}, \quad \operatorname{ctg} \alpha=-\frac{1}{2} \frac{k}{n} .
\]

что и доказывает предложения.
Мы видим, что угол, образуемый спиралью (фиг. 90) с радиусомвектором, выражается формулою:
\[
a=\frac{1}{2} \pi+\operatorname{arctg} \frac{k}{2 n} .
\]

Если количество $\frac{k}{n}$ мало, то этот угол лишь немного превосходит $\frac{\pi}{2}$.
Если коэфициент трения $k$ больше, чем $2 \sqrt{\mu}$, то уравнение (8) принимает вид:
\[
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-n^{2} y=0,
\]

где
\[
n^{2}=\frac{1}{4} k^{2}-\mu
\]

Решение этого уравнения будет:
\[
y=A e^{n t}+B e^{-n t} \text {, }
\]

откуда на основании (7)
Фиг. 90.
\[
x=A e^{-\lambda_{1} t}+B e^{-\lambda_{s} t},
\]

где
\[
\lambda_{1}=\frac{1}{2} k-\sqrt{\frac{1}{4} k^{2}-\mu}, \quad \lambda_{2}=\frac{1}{2} k+\sqrt{\frac{1}{2} k^{2}-\mu} .
\]

Это же решение можно получить более прямым путем, исходя из первоначального уравнения (2). Если мы положим
\[
x=A e^{-\lambda t} \text {, }
\]

то найдем, что уравнение (2) будет удовлетворяться при условии
\[
\lambda^{2}-k \lambda+\mu=0 .
\]

Это равенство определяет два допустимых значения $\lambda$, которые действительно совпадают с количествами, обозначенными выше через $\lambda_{3}, \lambda_{2}$. Складывая два таким образом полученных решения типа (27), мы получим результат (25).

Так как оба значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ положительны, то значение $x$ стремится в пределе к нулю. Кроме того, для того чтобы количество $\boldsymbol{x}$ могло обращаться в нуль, должно быть
\[
e^{\left(\lambda_{4}-\lambda_{s}\right) t}=-\frac{B}{A} \text {. }
\]

Если $A$ и $B$ имеют противоположные знаки, то это равенство будет выполняться при одном и только одном действительном значении $t$. Если $A$ и $B$ имеют одинаковые знаки, то действительного решения нет. Следовательно, с какою бы начальною скоростью и из какого бы положения материальная точка ни начинала двигаться, она не может пройти через свое положение равновесия, к которому она в пределе приближается асимптотически, более одного раза. Вследстви этого данный тип движения называется „апериодическим “вижением. Оно получается в случае маятника, погруженного в очень вязкую среду, в апериодических гальванометрах, в которых стрелка вплотную окружена металлом высокой проводимости, так что токи, индуктируемые в нем, тормозят движение, и в новейших типах сейсмографов.
В переходном случае, когда в точности выполняется равенство
\[
k^{2}=4 \mu .
\]

уравнение (8) принимает вид:
\[
\frac{d^{2} v}{d t^{2}}=0,
\]

откуда
\[
y=A t+B
\]

и
\[
x=e^{-\frac{1}{2} k t}(A t+B) .
\]

Уменьшение показательного множителя в конце концов начинает преобладать над увеличением $t$ во втором множителе; кроме того, $x$ может обращаться в нуль только для конечного значення $t$. Следовательно, этот тип движения относится также к типу n апериодического движения. Прилагаемый чертеж показывает график пути для этого случая (фиг. 91). Для сравнения на чертеже показана также для интервала, равного полупериоду, пунктирная кривая, соответствующая движению точки из начала координат с одинаковою скоростью, но без сопротивления.