Диференциальное уравнение центральных орбит принимает наиболее простой вид, если сделать зависимым переменным количество, обратное радиусувектору.
Полатая
\[
u=\frac{1}{r},
\]

мы получим:
\[
\frac{d \theta}{d t}=\frac{h}{r^{2}}=h u^{2} .
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\frac{d r}{d t}=-\frac{1}{u^{2}} \frac{d u}{d t}=-\frac{1}{u^{2}} \frac{d u}{d \theta} \frac{d^{\theta}}{d t}=-h \frac{d u}{d \theta}, \\
\frac{d^{2} r}{d \iota^{2}}=-h \frac{d}{d t}\left(\frac{d u}{d j}\right)=-h \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}} \frac{d \theta}{d t}=-h^{2} u^{2} \frac{d^{2} u}{a^{2} \theta^{2}} .
\end{array}
\]

Делая подстановку из.(2) и (4) в уравнение
\[
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}-r\left(\frac{d^{\dagger}}{d t}\right)^{2}=-\varphi(r)
\]

мы будем иметь:
\[
\frac{d^{2} n}{d 0^{4}}+u=\frac{f(n)}{h^{c} u^{2}}
\]

где
\[
f(u)=\varphi(r)=\varphi\left(\frac{1}{u}\right) .
\]

Это и будет искомое диференциальное уравнение.
Если мы представим его в виде:
\[
f(u)=h^{2} u^{2}\left(\frac{d^{2} u}{d \vartheta^{2}}+u\right),
\]

то из него можно определить закон для силы, под действием которой материальная точка может ‘описынать данную траекторию.

Первый интеграл урзвнения (6) можно получить сразу; так, умножая обе части на $2 \frac{d u}{d \theta}$, мы будем иметь:
\[
2 \frac{d u}{d 0} \cdot \frac{d^{2} u}{d v^{2}}+2 u \frac{d u}{a 0}=\frac{2 f(u)}{h^{2} u^{2}} \frac{d u}{d 0},
\]

откуда
\[
h^{2}\left[\left(\frac{d u}{d v}\right)^{2}+u^{2}\right]=2 \int \frac{f(u) d u}{u^{2}}+C .
\]

Это равенство тождественно с (3) из § 84 , так как на основании известной формулы анализа будет
\[
\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}+u^{2}=\frac{1}{p^{4}},
\]

и
\[
\int \frac{f(u)}{u^{2}} d u=-\int \varphi(r) d r .
\]

Дальнейшее интегрирование уравнения (9) вообще выполнить трудно. Но в случае, если
\[
f(u)=\mu u^{2},
\]

т. е. в случае, если сила обпатно пропорциональна квадрату ра́сстояния, диференциальное уравнение принимает простую форму:
\[
\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}+u=\frac{\mu}{h^{2}} .
\]

Если не обращать внимания на обозначения, то это уравнение тождественно с (2) из § 12 , и потому его решение будет:
\[
u=\frac{\mu}{h^{2}}+A \cos (\theta-\alpha),
\]

где постоянные $A$ и $\boldsymbol{\alpha}$ произвольны. Если мы положим
\[
l=\frac{h^{2}}{\mu},
\]

то рассматриваемое уравнение будет эквивалентно уравнению
\[
l u=1+e \cos (\theta-a),
\]

которое представляет полярное уравнение конического сечения, отнесенное к фокусу (см. § 76).

Пример 1. Чтобы применить уравнение (6) к случаю незначительно возмущенного кругового движения, для кралкости положим
\[
f(u)=u^{2} F(u) \text {. }
\]

так что уравнение примет вид:
\[
\frac{d^{2} u}{d^{2}}+u=\frac{F(u)}{h^{2}} \text {. }
\]

Этому уравнению удовлетворяет функция $u=c$ при условии
\[
h^{2} c=F(c) ;
\]

это и есть условив для круговой орбиты радиуса $c^{-1}$. Положим
\[
u=c+\xi \text {; }
\]

причем мы предположим, что \& представляет малую величину. Тогда уравнение (18) примет вид:
\[
\frac{d^{2} \xi}{d^{2}}+\left(1-\frac{F^{\prime}(c)}{h^{2}}\right) \xi=0,
\]

или
\[
\frac{d^{2} \xi}{d \theta^{2}}+\left(1-\frac{c F^{\prime}(c)}{F(c)}\right) \xi=0 .
\]

При этом мы предполагаем, что $c$ выбрано так, чтобы выполнялось условие (19). Если коэфициент, стоящий перед $\xi$, положителен, то мы можем положить
\[
1-\frac{c F(c)}{F(c)}=m^{2},
\]

откуда
\[
\xi=C \cos m(\theta-\beta),
\]

где постоянные $C$,, произвольны. Следовательно, апсидальный угол будет равен $\frac{\pi}{m}$.

При
мы имеем:
\[
f(u)=\mu u^{s}, \quad F(u)=\mu u^{s-2}
\]
\[
m^{2}=3-s,
\]

если только $s<3$, в полном соответствии с $\S 89$.
ПРимеР 2. Дано, что материальная точка описывает орбиту
\[
u=\chi(\theta)
\]

под действием центральной силы $f(u)$. Найти закон, при котором точка может описывать орбиту
\[
u^{\prime}=\chi\left(\theta^{\prime}\right),
\]

где $u^{\prime}=u, \theta^{\prime}=\lambda \theta$, т. е. значения радиуса-вектора в соответствующих точках двух орбит между собой равны, а углы радиусов-векторов находятся в постсянном отношении. Если две материальных точки, описыьая такие орбиты с одинаковым периодом, всегда находятся в соответствующих положениях, то можно убедиться, что втоғая гочка описывает такую же орбиту, как и первая, но вращающуюся относительно первой орбиты со скоростью $(\lambda-1) \dot{\theta}$, всегда пропорциональною угловой скорости переой точки при ее движении по своей орбите.

Если $h, h^{\prime}$ суть постоянные значения момента количеств движения в обоих рассматриваемых случаях, то мы имеем:
\[
\dot{\theta}=h u^{2}, \quad \dot{\theta}^{\prime}=h^{\prime} u^{\prime},
\]

и, следовательно,
\[
h^{\prime}=\lambda h \text {. }
\]

На основании (8) искомый закон будет:
\[
\begin{aligned}
f\left(u^{\prime}\right) & =h^{\prime 2} u^{\prime 2}\left(\frac{d^{2} u^{\prime}}{d v^{\prime} 2}+u^{\prime}\right)=h^{2} u^{2}\left(\frac{d^{2} u}{d v^{2}}+\lambda^{2} u\right)= \\
& =f(u)+(\lambda, 2-1) h^{2} u^{3} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, первоначальную центральную силу нужно изменить путем добавления члена, изменяющегося обратно пропорционально кубу расстояния.

Это и будет теорема Ньютона о \”вращающихся орбитах“, полученная им при помощи геометрического метода ${ }^{1}$ ).