Перейдем теперь к общему случаю механической системы с двуми степенями свободы.

По предположению, прямоугольные координаты $x, y, z$ какой-либо точки $m$ снстемы представляют определенные функции от двух независимых переменных, которые мы, как выше, обозначим буквами $\theta$, $\varphi$, но вид этих фунқций вообще будет изменятся от точки к точке. Обозначив через $(X, Y, Z$ ) силу, действующую на материальную точку $m$, получим, как в $\S 104$, уравнение:
\[
m\left(\ddot{x} \frac{d x}{d \theta}+\ddot{y} \frac{d y}{d \theta}+\ddot{z} \frac{d z}{d \theta}\right)=X \frac{\partial x}{\partial \theta}+Y \frac{\partial y}{\partial \theta}+Z \frac{\partial z}{\partial \theta} .
\]

Уравнения такого типа имеют место для каждой материальной точки системы; складывая их, будем нметь:
\[
\sum m\left(\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial \theta}+\ddot{y} \frac{\partial y}{\partial \theta}+\ddot{z} \frac{\partial z}{\partial \theta}\right)=\sum\left(X \frac{\partial x}{\partial \theta}+Y \frac{\partial x}{\partial \theta}+Z \frac{\partial z}{\partial \theta}\right),
\]

гее сумиированне $\Sigma$ распространяется ня все точки системы.

Так как кинетическая энергия системы равна сумме значений кинетической энергии всех ее точек, то из изложенного в § 104 следует, что член, стоящий в левой части, равен выражению:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \theta}
\]

здесь $T$ обозначает полную кинетическую энергию системы, а именно:
\[
T=\frac{1}{2} \sum m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{2}^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(A \dot{\theta}^{2}+2 H \ddot{\dot{y} \varphi}+\dot{B} \varphi^{2}\right),
\]

где
\[
\left.\begin{array}{l}
A=\sum m\left\{\left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^{2}\right\}, \\
H=\sum m\left\{\frac{\partial x}{\partial \theta} \cdot \frac{\partial x}{\partial \varphi}+\frac{\partial v}{\partial \partial} \cdot \frac{\partial y}{\partial \varphi}+\frac{\partial z}{\partial \theta} \cdot \frac{\partial z}{\partial \varphi}\right\}, \\
B=\sum m\left\{\left(\frac{\partial x}{\partial \varphi}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial \varphi}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial \rho}\right)^{2}\right\} .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, $T$ представляет однородную квадратичную функцию \»обобщенных скоростей“ $\dot{\theta}, \dot{\varphi}$ с коэфициентами, являющимися функциями от $\theta$, $\varphi$, известными в каждом отдельном случае.

Что касается членов уравнения (2), стоящих в правой части, то если мы положим
\[
\left.\begin{array}{l}
\theta=\sum\left(X \frac{\partial x}{\partial \theta}+Y \frac{\partial y}{\partial \theta}+Z \frac{\partial z}{\partial \theta}\right), \\
\Phi=\sum\left(X \frac{\partial x}{\partial \varphi}+Y \frac{\partial y}{\partial \varphi}+Z \frac{\partial z}{\partial \varphi}\right),
\end{array}\right\}
\]

выражение
\[
\theta \delta \theta+\Phi \dot{\varphi} \varphi
\]

будет представлять работу на малом перемещении всех сил, действующих на систему. Следовательно, количества $\theta, \Phi$, представляют обобщенные компоненты сил; при вычислении их мы можем пренеберечь всеми такими силами, как натяжения нерастяжимых нитей или стержней, или силы взаимодействия (реакции) разных частей твердого тела, которые в сумме не производят никакой работы.

Таким образом уравнения движения принимают такой же вид, как B § 104:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \theta}=\theta, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \varphi}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=\Phi .
\end{array}\right\}
\]

Есяи енстема консервативна и внешних сил нет, то мы кмеем:
\[
\theta \delta \theta+\Phi \delta \varphi=-\delta U,
\]

где $U$ обозначает потенциальную энергию. Так как она представляет определенную функцию от конфигурации системы, т. е. от переменных $\theta, \varphi$, то
\[
\boldsymbol{\theta}=-\frac{\partial U}{\partial \theta}, \quad \boldsymbol{\Phi}=-\frac{\partial U}{\partial \varphi},
\]

и уравнения (8) принимают вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \theta}=-\frac{\partial U}{\partial \theta}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \varphi}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=-\frac{\partial U}{\partial \varphi} .
\end{array}\right\}
\]

Пример 1. Составить точные уравнения движения двойного маятника фиг. 39 (стр. 117 ).

Предположим, что масса $m$ подвешена к неподвижной точке $O$, а вторая матернальная точка $m^{\prime}$ подвешена к $m$ при помощи нити длины $t^{\prime}$. Для большей общности мы можем представить себе, что нити заменены легкими стержнями, в которых могут создаваться как давление, так и натяжение.

Пусть будут $\theta$, углы, составляемые соответствующими стержнями с вертикалью. Скорость точки $m$ равна $i \theta$. Скорость точки $m^{\prime}$ составляется из скорости относительно $m$ и из скорости самой точки $m$. Эти две составляющих соответственно перпенсоставляют между собой угол $\varphi-\theta$. Следовательно, для кинетической энергия системы мы имеем формулу:
\[
2 T=m l^{2} \dot{\theta} 2+m^{\prime}\left\{l^{2} \dot{\theta} 2+2 l^{\prime} \dot{\varphi} \dot{\varphi} \cos (\varphi-\theta)+l^{\prime 2} \dot{\varphi}^{2}\right\} .
\]

Потенциальная энергия равна
\[
U=-m g t \cos \theta-m^{\prime} g\left(t \cos \theta+l^{\prime} \cos \varphi\right) .
\]

Следовательно, уравнения движения будут иметь вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left\{\left(m+m^{\prime}\right) l 2 \dot{\theta}+m^{\prime} l l^{\prime} \dot{\varphi} \cos (\varphi-\theta)\right\}-m^{\prime} l^{\prime} \dot{\theta} \dot{\varphi} \sin (\varphi-\theta) & = \\
& =-\left(m+m^{\prime}\right) g l \sin \theta \\
\frac{d}{d t}\left\{\left(m^{\prime} l l^{\prime} \dot{\theta} \cos (\varphi-\theta)+m^{\prime} l^{\prime} \dot{\varphi}\right\}+m^{\prime} l l^{\prime} \dot{\varphi} \dot{\varphi} \sin (\varphi-\theta)\right. & =-m^{\prime} g l^{\prime} \sin \varphi .
\end{aligned}
\]

Сложив эти уравнения, мы получим результат, выражающий, что момент количества движения системы относительно точки $O$ возрастает со скоростью, равною моменту силы тяжести относительно точки $O$.

ПРимеР 2. Случай двойного маятника, изображенного на фиг. 64, стр. 176, вряд ли является более сложным. При обозначениях, введенных в § 68, кинетическая энергия верхнего тела равна $\frac{1}{2} M k^{202}$; кинетическая энергия нижнего тела в относительном движении около его центра масс равна $\frac{1}{2} m \times 2 \dot{q}^{2}$, а кинетическая энергия материальной точки $m$, если бы она находилась в $G^{\prime}$, была бы равна
\[
\frac{1}{2} m\left\{a^{2} \dot{\theta} 2+2 a b \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos (\varphi-\theta)+b^{2} \dot{\varphi}^{2}\right\} \text {. }
\]

Следовательно, для всей системы мы имеем выраження:
\[
\begin{aligned}
2 T & =\left(M k^{2}+m a^{2}\right) \dot{\theta}^{2}+2 m a b \dot{\theta} \varphi \cos (\varphi-\theta)+m\left(b^{2}+x^{2}\right) \dot{\varphi}^{2}, \ldots, \\
U & =-M g h \cos \theta-m g(a \cos \theta+b \cos \varphi) .
\end{aligned}
\]

Уравнения движения будут в сущности того же типа, как (14) и (15), причеве разница будет заключаться лишь в формах постоянных коэфициентов.

Пример 3. Если обе оси $O, O^{\prime}$, представленные на фиг. 64, будут нметь не горизонтальное, а вертикальное направление, то сила тяжести не будет вляять на движение. В этом случае получается интересная сама по себе и сравнительно простая задача об устопчйвости двнжения. При решенни этой задачк удобнее несколько преобразовать координаты, положив
\[
\varphi=\theta+\gamma \text {. }
\]

Отсюда имеем:
\[
\begin{aligned}
2 T=\left\{M k^{2}+m\left(a^{2}+\right.\right. & \left.\left.2 a b \cos \chi+b^{2}+x^{2}\right)\right\} \dot{\theta}^{2}+ \\
& +2 m\left(a b \cos \chi+b^{2}+x^{2}\right) \dot{\theta} \dot{\chi}+m\left(b^{2}+\dot{x}^{2}\right) \dot{\chi}^{2} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, уравнения движения будут:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left[\left\{M k^{2}+m\left(a^{2}+2 a b \cos \chi+b^{2}+x^{2}\right)\right\} \dot{\theta}+\right. \\
\left.\quad+m\left(a b \cos \chi+b^{2}+x^{2}\right) \dot{\chi}\right]=0, \\
\frac{d}{d t}\left\{\left(a b \cos \chi+b^{2}+x^{2}\right) \dot{\theta}+\left(b^{2}+x^{2}\right) \dot{\chi}\right\}+a b \dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\chi}) \sin \chi=0 .
\end{array}
\]

Уравнение (20) выражает, что момент количества движения относительно неподвижной вертикальной оси $O$ постоянен.

Вопрос об устойчивости движения сводится к выяснению, при каких условиях угол $\chi$, а именно угол между $O O^{\prime}, O^{\prime} G$ на фиг. 64 , будет постоянным: и соответственно количество $\dot{\chi}$ будет равно нулю. Из уравнений (20). и (21) легко видеть, что это будет иметь место только при условии
\[
\sin \chi=0 \text {, }
\]
т. е. угол $\chi$ должен быть равен нулю или $\pi$; следовательно, центр масс всей системы должен находиться на наибольшем или наименьшем расстоянии от неподвижной осн- $O$. Точно так же очевидно, что величина $\dot{\theta}$ должна быть постоянной.

Чтобы исследовать вопрос об устойчивости движения, сперва предположим, что угод $\chi$ мал. Положим
\[
\dot{\theta}=\omega+\dot{\xi},
\]

причем мы предположим, что $\dot{\xi}$ также мало, и пренебрежем членами второго порядка относительно $\chi, \ddot{\gamma}, \ddot{x}, \dot{\xi}, \ddot{\xi}$. Мы получим:
\[
\begin{array}{c}
\left\{M k^{2}+m\left(a^{2}+2 a b+b^{2}+x^{2}\right)\right\} \ddot{\xi}+m\left(a b+b^{2}+x^{2}\right) \ddot{\chi}=0, \\
\left(a b+b^{2}+x^{2}\right) \ddot{\xi}+\left(b^{2}+x^{2}\right) \ddot{\chi}+a b \omega^{2} \chi=0 .
\end{array}
\]

Исключая $\ddot{\ddot{y}}$, после небольших преобразований получим:
\[
\left\{M k^{2}\left(x^{2}+b^{2}\right)+m x^{2} a^{2}\right\} \ddot{\chi}+\left[M k^{2}+m\left\{(a+b)^{2}+x^{2}\right\}\right] \omega^{2} a b \chi=0 .
\]

Следовательно, движение, при котором центр масс находится на наибольшем расстоянии от оси $O$, является устойчивым, и период иалых колебаний относительно эгой оси будет выражаться формулою:
\[
\left\{\frac{M k^{2}\left(b^{2}+x^{2}\right)+m^{2} \times 2 a^{2}}{M \times 2 a b+m a b\left\{(a+b)^{2}+x^{2}\right\}}\right\}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 \pi}{\omega} .
\]

Мы получим частный случай, когда система приводится к двум точкам, положив $k=a, \quad x=0$; тогда для периода будем иметь:
\[
\left\{\frac{M a b}{M a^{2}+m(a+b)^{2}}\right\}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 \pi}{\omega} .
\]

Чтобы исследовать характер устойчивости движения, когда центр массы находится на ближайшем расстоянии к оси, мы должны были бы положить $\gamma=\pi+\chi^{\prime}$ и предположить, что $\chi^{\prime}$ мало. В этом случае знак последнего члена в уравнении, соотьетствующем уравнению (26), измечился бы на обратный; отсюда следует, что движение будет неустойчивым.

Пример 4. Если в примере $3 \S 63$ наружный цилиндр на фиг. 54 может свободно вращаться, и если ч будет координатный угол, то угловая скорость внумреннего цилиндра относительно наружного будет определяться из равенства:
\[
\omega a=(b-a)(\dot{\theta}-\dot{\varphi}) ;
\]

следовательно, истинная (абсолютная) скорость будет равна
\[
\omega-\dot{\varphi}=\frac{b-a}{a} \dot{\theta}-\frac{b}{a} \dot{\varphi} \text {. }
\]

Поэтому, если $I$ есть момент инерции наружного цилиндра относительно его оси, то
\[
2 T=I \dot{\varphi}^{2}+M(b-a)^{2} \dot{\theta}_{2}+M x^{2}\left(\frac{b-\dot{a}}{a} \dot{\theta}-\frac{b}{a} \dot{\varphi}\right)^{2} .
\]

Если центр масс наружного цилиндра лежит на его оси, то мы, как и прежде, получим:
\[
U=-M g(b-a) \cos \theta .
\]

После преобразований уравнения Лагранжа будут иметь вид:
\[
\begin{array}{c}
\left(I+\frac{M x^{2} b^{2}}{a^{2}}\right) \ddot{\varphi}-\frac{M x^{2} b(b-a)}{a^{2}} \ddot{\theta}=0, \\
(b-a)\left(1+\frac{x^{2}}{a^{2}}\right) \ddot{\theta}-\frac{x^{2} b}{a^{2}} \ddot{\varphi}=-g \sin \theta ;
\end{array}
\]

отсюда, исключая $\ddot{\varphi}$, найдем:
\[
(a-b)\left(1+\frac{I x^{2}}{I a^{2}+M x^{2} b^{2}}\right) \ddot{\theta}+g \sin \theta=0 .
\]

Следовательне, период колебаний равен периоду колебаний математического маятника, имеющего длину
\[
l=(b-a)\left(1+\frac{I x^{2}}{I a^{2}+M \times 2 b^{2}}\right) ;
\]

таким образом инерция наружного цилиндра удлиняет период. Если мы положим $I=\infty$, то получим результат, приведенный в $\S 63$ (15).