Примеры XXII.
1. Внутри гладкой открытой трубы длины $2a$ находится прут, заполняющий внутрен:ость трубы полностью. Массы трубы и прута соответственно рағны $M$ и $m$. Труба приведена во вращение в горизонтальний плоскости около центра трубы (который неподвижен) с угловой скоростью ${\omega }_0$. Найти угловую скорость в тот момент, когда прут оставит трубу, в предположении, что середины трубы и прута вначале почти совпадали. Найти сверх того скорость середины прута в тот же момент 1).
$$[\frac{M+m}{M+13m}{\omega }_0;\frac{\sqrt{8(M+m)(M+7m)}}{M+13m}\cdot {\omega }_{0}a.]$$
2. Две массы соединены винтовою пружиною. При их свободных прямолинейных -колебаниях период равен $\frac{2\pi }{p}$. Доказать, что если их привести во вращение одну около другой с постоянною угловою скоростью $\omega$, то период малых колебаний будет выражаться формулою:
$$\frac{2\pi }{\sqrt{p^2+3{\omega }^2}}.$$
3. Материальная точка, могущая двигаться по гладкой сферической поверхности радиуса $a$, брошена вдоль горизонтального большого круга со скоростью $v$, которая велика в сравнении с $\sqrt{2ga}$. Доказать, что траектория точки расположена между большим кругом и параллельным кругом, плоскость которого находится ниже центра приблизительно на $\frac{2g{a}^2}{v^2}$.
4. Материальная точка движется по поверхности гладкого конуса, образующая которого составляет с осью угол $\alpha$; ось конуса вертикальна, а вершина расположена внизу. Доказать, что точка может описывать горизонтальный круг радиуса $a$ с угловою скоростью $\omega$ только при выполнении условия
$${\omega }^{8}a=g\mathrm{ctg}\alpha .$$

До’азать сверх того, что при незначительном возмущении движения период малых колебаний будет выражаться формулою:
$$\frac{2\pi }{\omega \sqrt{3\sin \alpha }}\text{. }$$
5. Составить по методу Лагранжа уравнения движения материальной точки на параболоиде вращения, приняв за координаты расстояние $r$ от оси и азимут $\theta$ (см. §103).
6. Материальная точка движется по внутренней поверхности гладкого параболического желоба, который в свою очередь вращается с постоянною угловоюскоростью ш около вертикальной оси, причем желоб обращен выпуклостью вниз. Доказать, что если ${\omega }^2=\frac{g}{l}$, где $l$ есть половина параметра, то материальная точка может находиться в относительном равновесии в любом положении, и что при незначительном отклонении (возмупении) от этого положения расстояние $r$ от оси будет беспредельно увеличиваться.
7. Доказать, что выражения для составляющих ускорения в сферических полярных координатах имеют следующий вид:
$$\begin{array}{c}\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2-r{\sin }^{2\theta }\dot{\psi },\frac{1}{t}\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta }\right)-r\sin \theta \cos \theta \dot{\psi },\\ \frac{1}{r{\sin }^2\theta }\frac{d}{dt}(r^2{\sin }^2\theta \dot{\varphi }).\end{array}$$
8. Материальная точка $m$ может двигаться по внутренней поверхности гладкой круглой трубы радиуса $a$, которая в свою очередь может свободно вращаться около вертикального диамет а. При вращении трубы с угловою скоростью $\omega$ точка находится в относительном равновесии на угловом расстоянии $\alpha$ от своего
1) Пренебречь поперечными размерами трубы и прута. Прим. перев.

наинизшего положения. Доказать, что при незначительном отклонении (возмущении) из этого положения период малых колебаний будет $\frac{2\pi }{n}$ где $n$ определяется из формулы:
$$\frac{n^2}{{\omega }^2}=\frac{\{I+m{a}^2(1+3{\cos }^2\alpha )\}{\sin }^2\alpha }{I+m{a}^2{\sin }^2\alpha },$$

в которой $I$ обозначает момент инерции трубы относительно диаметра.
Исследовать соответственно суучаи $I=0,I=\mathrm{\infty }$.
9. Материальная точка движется по гладкой поверхности, образованной вращением круга радиуса $b$ около вертнкальной оси, расположенной на расстоянии $a(>b)$ от центра круга. Доказать, что точка может описывать горизонтальный круг радиуса $a+b\sin \alpha$ с постоянною угловою скоростью $\omega$ при выполнении условия:
$${\omega }^2\cos \alpha (a+b\sin \alpha )=gb\sin \alpha .$$

Доказать, что при незначительном возмущении этого движения период малых колебаний около его траектории будет $\frac{2\pi }{n}$, где
$$n^2={\omega }^2(1+3{\cos }^2\alpha +\frac{a}{b\sin \alpha }).$$
10. Точка может свободно двигаться внутри гладкой круглой трубы раднуса $b$, которая вращается в своей яллоскости с постоянною угловою скоростью ш около вертикальной оси, проходящей на расстоянии $a(>b)$ от центра трубы.

Доказать, что период малых колебаний около положения относительного равновесия будет $\frac{2\pi }{n}$, где
$$n^2={\omega }^2({\sin }^2\alpha +\frac{a}{b\sin \alpha }).$$
11. Показать, что. уравнения движения системы с двумя степенями свободы можно представить в следующем виде:
$$\begin{array}{r}A\ddot{\theta }+H\ddot{\phi }+\frac{1}{2}\frac{\partial A}{\partial \theta }\dot{\theta }+\frac{\partial A}{\partial \phi }\dot{\theta }\dot{\phi }+(\frac{\partial H}{\partial \phi }-\frac{1}{2}\frac{\partial B}{\partial \theta }){\phi }^2=\mathbf{\Theta },\\ H\ddot{\theta }+B\ddot{\phi }+(\frac{\partial H}{\partial \theta }-\frac{1}{2}\frac{\partial A}{\partial \phi })\dot{\theta }+\frac{\partial B}{\partial \theta }\dot{\theta }\dot{\phi }+\frac{1}{2}\frac{\partial B}{\partial \phi }{\dot{\phi }}^2=\mathrm{\Phi }.\end{array}$$
12. Доказать, что при обозначениях § 108 кинетическая энергия системы с двмя степенями свободы будет выражаться через импульсы при помощи следующей формулы:
$$2T=\frac{B{\lambda }^2-2H\lambda \mu +A{\mu }^2}{AB-H^2}.$$

Доказать, что если значение $T$ выражено в этом виде, то
$$\dot{\theta }=\frac{\partial T}{\partial \lambda },\dot{\phi }=\frac{\partial T}{\partial \mu }.$$
13. Однородный стержень $AB$ подвешен при помощи двух нитей $OA,OB$ к неподвижной точке $O$, образуя с нитями равносторонний треугольник $OAB$. Дсказать, что если одну из нитей перерезать, то натяжение в другой мгновенно уменьшится в отношении $6:13$.
14. Четыре точки олинаковой массы соединены нитями, образующими стороны ромба $ABCD$. Доказать, что система может вращаться в своей собственной плоскости около центра $O$, не изменяя своего вида, с заданною угловою скоростью.

Доказать также, что при незначительном возмущении этого движения диагонали $AC,BD$ будут все еще вращаться с постоянною угловюю скоростью, а углы ромба будут изменяться с постоянною скоростью (т. е. пропбрционально времени).
15. Составить уравнения Лагранжа для предыдущей задачи, приняв за координаты угол $\theta$, образуемый направлением $OA$ с неподвижным направлением, и угол $\phi$, образуемый направлением $AB$ с $AO$. Массы $M$ точек $A$ и $C$ принять отличными от масс $m$ точек $B$ и $D$.
Проверить, что эти уравнения и́меют первые интегралы
$$\begin{array}{c}(M{\cos }^2\phi +m{\sin }^2\phi )\dot{\theta }=\text{ const., }\\ {(M{\cos }^2\phi +m{\sin }^2\phi ))}^{\dot{\theta }2}+(M{\sin }^2\phi +m{\cos }^2\phi ){\phi }^2=\text{ const. }\end{array}$$
16. Четыре одинаковых стержня, соединенных идеальными (без трения) шарнирами, образуют ромб $ABCD$, который подвешен в вертикальной плоскости за середину стержня $AB$. Центр масс каждого стержня находится в его середине; радиус инерции относительно этой точки рявен $x$, а длина стержня равна $2a$. Доказать, что если $\theta$ будет угол, образуемьй стержнем $AB$ или $DC$ с горизонтом, а — -угол, образуемый стержнем $AD$ или $BC$ с вертикалью, то кинетическая энерı ия системы во время колебаний в вертикальной плоскости будет выражаться формулою:
$$M^2(a+x^2){\dot{\theta }}^2+M(x^2+3a^2){\dot{\phi }}^2,$$

где $M$ есть масса стержня.
Составить уравнения движения и интерпретировать результаты.
17. Горизонтальный стержень $AB$ подвешен при помощи двух одинаковых вертикальных нитей длины $l$, привязанных к его көнцам. К стержню $AB$ подвешен одинаковый стержень $CD$ при помощи двух одинаковых нитей $AC,BD$ длины $l^{\prime }$. Дсказать, что если система совершает небольшие угловые колебания около вертикали, проходящей через центры тяжести стержней (совпадающие “ геометрическими центрами), то периоды $\frac{2\pi }{n}$ обоих нормальных колебаний определяются при помощи уравнения:
$$n^4-\frac{2g{a}^2}{x^2}(\frac{1}{l^{\prime }}+\frac{1}{l})n^2+\frac{2g^2{a}^4}{x^{4}l{l}^4}=0,$$

тде $a$ есть половина длины стержня, а х-радиус инерции относительно центра.
18. Физический маятник подвешен к оси, полого кругового цилиндра, который может свободно кататься вдоль горизонтальной плоскости. Доказать, что если $\phi$ есть координатный угол цилиндра, а $\theta$ — угол наклона маятника к вертикали, то
$$2T=(I+M{a}^2){\dot{\phi }}^2-2Mah\ddot{\theta }\phi \cos \theta +M{k}^{2\theta 2},$$

тде $a$ есть радиус цилиндра, $I$ — его момент инерции относительно линии соприкосновения с плоскостью, а буквы $M,h,k$ имеют их обычный смысл в применении к физическому маятнику.

Доказать, что в случае малых колебаний длина эквивалентного математического маятника меньше, чем если бы цилиндр был неподвижен, в отношении
$$1-\frac{M{a}^2{h}^2}{(I+M{a}^2)k^2}$$
19. Материальная точка пр\»креплена к точке $Q$ при помощи нити $PQ$ длины $l$. Точка $P$ может описывать круг радиуса $a$ около неподвижной точки $O$ с постоянною угловою скоростью $\omega$, причем движение может происходить только в одной плоскости. Действнем силы тяжести мы пренебрегаем. Доказать, что если $\chi$ будет угол, образуемый направлением $PQ$ с $OP$, то $\chi$ удовлетворяет уравнению:
$$\frac{d^2\chi }{d{t}^2}+\frac{{\omega }^{2}a}{l}\sin \chi =0.$$

20. Стержень с массою $M$ подвешен в горпзонтальном положении при помощи двух одинаковых вертикальных нитей динны $l$. К разным точкам стержня подвешены две материальных точки с одинаковыми массами $m$ при помощи двух нитей длины $l^{\prime }$. Доказать, что периоды $\frac{2\pi }{n}$ трех нормальных колебаний в вертикальной плоскости, проходящей через положение равновесия стержня, определяются посредством формул:
$$n^2=\frac{g}{l^{\prime }}$$

и
$$n^{\prime }-g(\frac{1}{l}+\frac{1}{l^{\prime }})(1+\frac{2m}{M})n^2+\frac{g^2}{l^{\prime }}(1+\frac{2m}{M})=0.$$
21. Ребра трех призм (лезвия ножей) $\mathit{A},O,B$ коромысла весов находятся в одной плоскости, причем прямая $OG$, соединяющая среднюю призму с центром масс $G$, перпендикулярна к $AB$. К призмам $A$ и $B$ подвешены две одинаковых спиральных пружины с жесткостью $K$. Дано, что $OA=OB=a,OG=h$, масса коромысла равна $M$, а радиус ннерци относительно $O$ равен $k$. Доказать, чтө в случае малых колебаний относительно положения равновесия мы имеем формулы:
$$\begin{array}{l}2T=(M{k}^2+2m{a}^2)\dot{\theta }2+2ma(\dot{x}-\dot{y})\dot{\theta }+m(x^2+\dot{y}),\\ 2U=Mg{h}^2+K(x^2+y^2),\end{array}$$

где 0 есть угол наклона $AB$ к горизонту, а $x,y$ — приращения длин обеих пружин в сравнении с длинами их при равновесни.
22. Доказать, что в предыдущей задаче периоды $\frac{2\pi }{n}$ трех нормальных колебаний определяются из формул:
$$\begin{array}{c}{n}^2=\frac{K}{m},\\ n^4-\{(1+\frac{2m{a}^2}{M{k}^2})\frac{K}{m}+\frac{gh}{k^2}\}{n}^2+\frac{K}{m}\cdot \frac{gh}{k^2}=0.\end{array}$$

Примеры XXIII.
На разные отделы.
1. Моторы дирижабля, идущего прямым горизонтальным курсом, были выключены, и затем был произведен ряд измерений скорости. При построении диаграммы за ординаты были приняты величины, обратные скоростям, а за абсциссы — время, причем оказалось, что соответствующие точки дежат на прямой яинии. Какому закону подчиняется сопротивление?

Какой вид имела бы кривая, еслн бы сопротивление было пропорциональнө х у 6 у скорости?
2. Аэроплан, скорость которого составляет 130 км/час, летит к аэродрому, находящемуся на расстоянии 130 км в направлении, составляющем угол ${60}^{\circ }$ к западу от направления на север, н возвращается обратно. Во время полета дул северный ветер со скоростью 30 км/час. Найти соответствующее время полета туда и обратно.
3. Аэроплан имеет скорость $\text{ км }/$ час и радиус хействия (туда и обратно) $R$ километров при спокойной погоме. Доказать, что при северном ветре со скоростью $w$ радиус действия в направленик, пстиннй курс которого составляет угол $\phi$, будет выражаться формулою:
$$\frac{R(v^2-w^2)}{v\sqrt{v^2-w^2{\sin }^2\phi }}.$$

4. Центр тяжести дирижабля движется. с горизонтальной скоростью $V$ в направлении, образующем угол $\theta$ с осевой линиею дирижабля, причем дирижабль повертывается с угловою скоростью $\omega$. Доказать, что угол ${\theta }^{\prime }$, образуемый осью дирижабля с траекторией точки, находящейся на расстоянии $x$ от центра тяжести, определяется посредством формулы:
$$\mathrm{tg}{\theta }^{\prime }=\mathrm{tg}\theta +\frac{\omega x}{V}\sec \theta .$$
5. Точка описывает около полюса логарифмическую спираль с постоянною угловою скоростью; доказать, что годограф представляет подобную спираль.
6. Точка $P$ движется прямолинейно с постоянною скоростью $u$, а другая точка $Q$ движется таким образом, что ее постоянная скорость $v$ всегда перпендикулярна к $QP$. Доказать, что траектория точки $Q$ относительно точки $P$ представляет коническое сечение с эксцентриситетом $\frac{u}{v}$.
7. Движение точки относительно осей, вращающихся с угловою скоростью ю. представляет эллиптическое гармоническое движение около начала координат $O$ с периодом $\frac{2\pi }{{\omega }^{\prime }}$. Доказать, что траектория относительно неподвижных осей, проходящих через $O$, является эпициклической.
8. Кривая катится по прямой линии с угловою скоростью $\omega$. Доказать, что ускорение точки касания с прямою перпендикулярно к последней и равно ${\omega }^2$ р .

Как изменится результат в случае качения кривой по другой неподвижной кривой?
9. Пластинка движется пронзвольным образом в своей плоскости с произвольною мгновенною угловою скоростью $\omega$. Доказать, что составляющие ускорения точки $P$, находящейся на пластинке на расстоянии $r$ от точки касания $A$ центроид (\»Статика“, § 16), в направлениях соответственно вдоль касательной и вдоль нормали к траектории в точке $P$, будут выражаться формулами:
$$r\frac{d\omega }{dt}+\frac{{\omega }^2}{c+c^{\prime }}\sin \theta .\text{ и }{\omega }^{2}r-\frac{{\omega }^2}{c+c^{\prime }}\cos \theta ,$$

где $c,c^{\prime }$ суть значения кривизны обеих центроид в точке $A$, а $\theta$ — уголі, составляемый прямою $AP$ с общей нормалью, проходящей через $A$. Вычислить кривизну траектории точки $P$.
10. В вершинах правильного многоугольника, стороны которого образованы нитями длины $b$, находятся материальные точки с одинаковою массою $m$. Доказать, что если многоугольник будет вращаться в своей плоскости около центра, то натяжение в каждой нити будет равно $\frac{m{v}^2}{b}$, где $v$ есть скорость каждой массы $m$; вывести, кроме того, формулу для натяжения во врацающейся цепи, имеющей форму круга.
11. На материальную точку действует сила, постоянная по величине и направлению, и другая сила, перпендикулярная к траектории и пропорциональная скорости. Доказать, что траекториею будет трохойда.
12. Точка подвеса маятника длины $l$ при действии горизонтальной силы $X$ перемещается в горизонтальном направлении на незначительное расстояние $\frac{X}{\mu }$. Доказать, что величина эквивалентного математического маятника увеличивается на $\frac{mg}{\mu }$, где $m$ есть масса груза маятника.
13. Груз математического маятника длины $t$ вращается вокруг точки подвеса, причем скорость на уровне точки подвеса велика в сравнении с $\sqrt{gt}$. Доказать, что промежутки времени, в течение которого груз описывает верхнюю и нижнюю полуокружности, будут выражаться приближенною формулою:
$$\frac{\pi l}{v}(1\pm \frac{2gl}{\pi v^2})\text{. }$$

14. Два одинаковых маятника длины $l$ качаются. в вертикальной плоскости, будучи подвешены к двум точкам жесткого горизонтального стержня, не закрепленного наглухо и при качании маятников перемещающегося в горизонтальном направлении на длину $\beta l(\theta +\phi )$, где $\theta$ и ч суть углы наклона маятников (отсчитываемые в одном направлении) к вертикали, а $\beta$ представляет малую величину. Составить уравнения движения и решить их, определив постоянные таким образом, чтобы в начальный момент один маятник находился в покое в его среднем положении, а другой начал двигаться из его среднего положения с заданною незначительною скоростью.

Доказать, что оба маятника будут поочередно почти останавливаться в их средних ноложениях через промежутки времени, равные около $\frac{1}{2\beta }$ части периөда.
15. Две материальных точки $m_1,m_2$ движущиеся со скоростями ${\mathit{v}}_i,v_2$ в направлениях, образующих между собою угол $\alpha$, сталкиваются и продолжают двигаться вместе. Доказать, что их скорость после столкновения будет выражаться формулою
$$\frac{\sqrt{m_1^2{v}_1^2+2m_1{m}_2{v}_1{v}_2\cos \alpha +m_2^2{v}_2^2}}{m_1+m_2},$$

а потеря кинетической энергии будет равна
$$\frac{m_1{m}_2}{2(m_1+m_2)}(v_1^2-2v_1{v}_2\cos \alpha +v_2^2).$$
16. Твердое тело подвешено к горизонтальной оси; доказать, что можно вычислить его радиус инерции около оси, если известны период малых колебаний, а также отклонение, производимое незначительной силой, действующей на тело вдоль данной горизонтальной линии, расположенной ниже оси под прямым углом к ней.

Произвести вычисления, если дано, что период составляет 1,566 сек., а сила, равная одной сотой части веса маятника, действующая вдоль линии, расположенной ниже оси на 915 м. , перемещает точку приложения силы на 18,5 м. .
$$[1,675\text{ м. }]$$
17. Цилиндр катится по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол $\alpha$, причем ось цилиндра образует угол $\beta$ с линиями наибольшего ската. Докаsать, что точки оси цилиндра имеют ускорение
$$\frac{a^2}{a^2+x^2}g\sin \alpha \sin \beta ,$$

где $a$ есть радиус, а $x$ — радиус инерции цилиндра относительно оси.
18. Твердое тело, симметрнчное относительно плоскости, проходящей через его центр масс $G$, движется в этой плоскости с постоянною поступательною скоростью. Доказать, что если внезапно закрепить такую точку $P$ в этой плоскости, чтобы линия $GP$ была перпендикулярна к направлению движения, то потеря кинетической энергии составит $\frac{x^2}{k^2}$-ю часть первоначального значения, где х и $k$ суть радиусы инерции около осей, проходящих соответственно через $G$ и $P$ и перпендикулярных к птоскости симметрии.
19. Два одинаковых стержня $AB$ и $BC$, соединенных шарниром $B$ и составляющих одну прямую линию, движутся под прямым углом к их оси. Доказать, что при внезапном закреплении конца $\mathit{A}$ начальные угловые скорости будут относиться одна к другой, как $3:1$.
20. Три одинаковых однородных стержня $AB,BC,CD$, соединенных шарнирами в $B$ и $C$, находятся в покое, образуя прямую линию. Доказать, что при ударе по стержню $AB$, нанесенном в какую-либо точку $P$ в перпендикулярном направлении, импульсивная реакция в точке $B$ будет в четыре раза больше, чем в $C$.

Точно так же доказать, что стержень $AB$ в первый момент вращаться не будет, если $AP:PB=11:7$.
21. Трубка с массою $M$ и длиною $2a$ лежит на гладком столе и содержит внутри материальную точку $m$ : находящуюся близко к центру трубки, совпацаюему одновременно с центром масс. Трубке сообщена угловая скорость ш. Докавать, что в момент, когда точка $m$ покинет трубку, угловая скорость будет
$$\frac{(M+m)I\omega }{(M+m)I+Mm{a}^2},$$

где $I$ есть момент инериии трубки относительно ее центра.
22. Сферический сосуд раднуса а, находящийся в покое, может вращаться около неподвкжного диаметра. Сосух наполнен жидкостью, вращающейся около того же диаметра с угловою скоростью $\omega (r)$, прехставляющей функцию одного тольхо рассстояния $r$ от центра. Доказать, что когда вследствие трения уничтожится относительное вращение, угловая скорость сосуда будет
$$\frac{8}{3}\frac{\pi p}{I}{\int }_0^a\omega (r)r^{4}dr$$

где $I$ есть момент инерции всей масск, а $\rho$ — плотность жидкости.
25. Человек с массою $m$ стоит в точке $A$ на горизонтальной платформе, которая может свободно вращаться около неподвижной точки $O$. Первоначально человек и платформа находилнсь в покое. Затем человек начинает итти вдоль окружности, имеющен диаметр $OA(=a)$, возвращаясь в точку, в которой он стоял прежде. Доказать, что платформа повернется на угол
$$\pi \{1-\sqrt{\frac{I}{I+m{a}^2}}\}\text{. }$$

где $I$ есть момент инерции платфориы относительно точки $\mathit{O}$.
24. Массивный шар вращается с угловою скоростью $\oplus$ около неподвижной оси, совпадающей с одним из диаметров. Человек с массою $m$ начинает итти из одного из полюсов вдоль мериднана с постоянною скоростью $v$. Доказать, что когда человек дойдет до противоположного полюса, угол поворота шара уменьшится на величину
$$\frac{\pi \omega a}{v}\{1-\sqrt{\frac{I}{I+m{a}^2}}\},$$

де $I$ есть момент инерции шара, а $a$-его радиус.
25. Два шара раднуса $a$ с плотностью $\rho$ касаются один вругого. Доказать, тто давление, производимое взаимным притяжением, равно силе прнтяжения Землею массы
$$\frac{1}{3}\frac{\pi {\rho }^{2}a}{{\rho }_{0}R},$$

где $R$ есть радиус Земли, а ${\rho }_0$ — ее средняя плотность.
Предполагая, что $\rho =8,{\rho }_0=5,6,R=6,38\cdot {10}^{8}CGS$, найти такую величину радиуса $a$, чтобы давление составляло 1 кг. $[4,8$ м.]
26. Показать, что промежуток времени, в течение которого точка, двнгающаяся мо параболической орбите, описывает угол о с вершиною в фокусе, отсчитьваемый от апсиды, выражается формулою:
$$\frac{l^{\frac{3}{2}}}{2{\mu }^{\frac{1}{2}}}(\mathrm{tg}\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{3}{\mathrm{tg}}^3\frac{1}{2}\theta )\text{. }$$
27. Точка, имеющая ускорение $\frac{x}{r^2}$, направленное к неподвижному центру, брошена с большого расстояння со скоростью v т таком паправлении, что при отсут-
1) Двпжение происходит пох действием ньютониаского притяження. Прим. ред.

ствии притяжения она прошла бы на расстоянии $b$ от центра сих. Дохазать, что предельное направление ее движения повернется на угол $\pi -2\alpha$, rде
$$\alpha =\mathrm{arctg}\left(\frac{v^{2}b}{\mu }\right).$$
28. Доказать, что три материальных точки, расположенных в уrхax равностороннего треугольника и притягивающихся одна к другой с сплою, обратно пронорциональною квадрату расстояння, могут описывать около их общего центра масс круговые орбиты с угловою скоростью
$${\left\{\frac{\gamma (m_1+m_2+m_3)}{a^3}\right\}}^{\frac{1}{2}},$$

где $a$ есть сторона треугольника
(Лапхас.)
29. Планета $J$ и Солнце $S$ описывают круги около шх общего центра масс $G$ с угловою скоростью $n$. Пусть будет $P$ спутник, действием которого на $S$ и $J$ можно пренебречь. Доказать, что если $x$, $y$ суть коордннаты точки $P$ относительно осей координатной системы, начало которой совпадает с $S$ п ось $x$ которой проходит через $G$, то уравнения движения имеют вид:
$$\ddot{x}-2n\dot{y}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x},\ddot{y}+2n\dot{x}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y},$$
rae
$$\mathit{Q}=\frac{\gamma S}{r}+\frac{rJ}{\rho }+\frac{1}{2}{n}^2\frac{S{r}^2+J_0^2}{S+J}$$

и
$$r=SP,\rho =JP\text{. }$$
30. Несколько материальных точек брошены одновременно в разных направлениях из одной и той же точки. Движение их происходит под действием центральных сил, сообщающих им ускорение, равное $\mu \times$ расстояние. Дохазать, что по нстечении времени $\frac{\frac{1}{2}\pi }{\sqrt{\mu }}$ скорости всех точек будут параллельны и равны между собой.
31. Доказать, что в примере 4 § 86 траектория матернальной точки, движущейся по столу, будет расположена между двумя неподвижными кругами, если момент количества движения отличен от нуля.
32. Две материальных точки $m_1,m_2$ соединены нитью длины $a_i+a_2$, проходящею через гладкое кольцо на гладком горизонтальном столе, и описывают круги радиусов $a_1,a_2$ с соответствующими угловыми скоростями ${\omega }_1,{\omega }_2$. Доказать, что нмеет место равенство:
$$m_1{\omega }_1^2{a}_1=m_2{\omega }_2^2{a}_1,$$
x период малых колебаний около этих траекторий будет выражаться фориулою:
$$2\pi \sqrt{\frac{m_1+m_2}{3(m_1{\omega }_1^2+m_2{\omega }_2^2)}}.$$
33. Если точка двнжется с ускорением
$$\frac{\mu }{r^2}{e}^{\frac{k}{r}}$$

хаправленным к неподвижному центру, то круговая орбита будет устойчнво:о лишь в том случае, когда радиус больше, чем $k$.

34. Доказать, что в случае центральной силы, обратно пропорциональной кубј расстояния, имеет место соотношение:
$$r^2=A{t}^2+Bt+C,$$

где $A,B,C$ — постоянные.
35. Материальная точка, подверженная действию отталкивающей силы, обратнс пропорциональной кубу расстояния, брошена из бесконечности с такой скоростью, что если бы эта скорость была направлена к центру сил, то точка прибли зилась бы к центру сил на расстояние $a$. В действительности же точку бросаю? вдоль прямой, расстояние которой от центра сил равно $b$. Доказать, что мини мальное расстояние от центра будет $\sqrt{a^2+b^2}$, а угол между асимптотами траек. тории будет равен $\frac{\pi b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
36. Материальная точка, подверженная действию отталкивающей силы, обратнс пропорциональной пятой степени расстояния, брошена из бесконечности с такок скоростью $V$, что если бы эта скорость была направлена к центру сил, то точк приблизилась бы к нему на расстојние $a$. В действительности же точка брошена таким образом, что она при отсутствии отталкивающей силы прошла бы от центра на расстоянии $b$. Доказать, что минимальная скорость точки будет выражатьсs формулою:
$$V\frac{b^2}{a^2}{\{{(\frac{a^4}{b^4}+\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\}}^{\frac{1}{2}}.$$
37. Доказать, что если ускорение поезда при замедлении хода будет $a+bva$ то при выключении машины в момент, когда скорость равна $v_0$, поезд остано вится через промежуток времени
$$\frac{1}{\sqrt{ab}}\mathrm{arctg}(\sqrt{\frac{b}{a}}\cdot v_0),$$

пройдя расстояние
$$\frac{1}{2b}\ln (1+\frac{b{v}_0^2}{a}).$$
38. Доказать, что уравнение траектории снаряда при сопротивлении по закону $k{v}^2$ будет иметь вид:
$$e^{2ks}=1+k{\rho }_0\{\sec \varphi \mathrm{tg}\psi +\ln (\sec \psi +\mathrm{tg}\varphi )\},$$

где $s$ есть дуга, измеряемая в направлении движения от наивысшей точки траектории, ${\rho }_0$ — радиус кривизны в этой точке, а ф-угол наклона траектории к горизонту, отсчитываемый вниз.
Доказать, что при малых значениях $s$ будет
$$\psi =\frac{s+k{s}^2}{{\rho }_0}.$$
39. Круглая труба вращается в своей плоскости с угловою скоростью $ю$ околе точки $O$ окружности поперечного сечения. Доказать, что относительное движе. ние материальной точки, находящейся в трубе, подчиняется уравнению:
$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+{\omega }^2\sin \theta =0,$$

где $\theta$ обозначает угловое расстояние от точки трубы, противоположной точке $O$
40. Жесткая труба с криволинейным сечением вращается в своей плоскости около точки $O$ с постоянною угловою скоростью $\omega$. Доказать, что малые относительные колебания около точки $P$ трубы той материальной точки, расстояние которой от $O$ имеет стационарное значение, определяются посредством уравнения:
$$\frac{d^{2}s}{d{t}^2}+{\omega }^2(\frac{r}{\rho }-1)s=0,$$

где $r=OP$, а $\rho -$ радиус кривизны в точке $P$.
Показать, что равновесие материальной точки, когда она находится в $P$, является устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, находится ли $P$ на максимальном или минимальном расстоянии от $O$.
41. Материальная точка может двигаться по гладкой сферической поверхности радиуса $a$. Доказать, что если точку бросить со скоростью $v$ вдоль горизонтального большого круга, то точка опустится на вертикальное расстояние $ae-a$, где $u$ определяется посредством формулы
$$\mathrm{sh}u=\frac{v^2}{4ga}.$$

Доказать, что если величина $v^2$ в сравнении с $4ga$ велика, то результат будет выражаться приближенною формулою $\frac{2g{a}^2}{v^2}$.
42. Горизонтальный стержень $AB$ вращается с постоянною угловою скоростью $\omega$ около своего геометрического центра $O$. Материальная точка $P$ привязана к нему при помощи двух одинаковых нитей $AP,BP$. Доказать, что если $\theta$ есть угол наклона плоскости $APB$ к вертикали, то
$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}-{\omega }^2\sin \theta \cos \theta =-\frac{g}{l}\sin \theta ,$$

где $l=OP$. Вывести условие, необходимое для устойчивости вертикального положения $OP$.
43. Доказать, что если точки $m,m^{\prime },\dots$ притягиваются одна к другой с силами, пропорциональными $n$-й степени расстояния, и если $r,r^{\prime },\dots$ обозначают их расстояния от центра масс системы, то
$$\frac{d^2}{d{t}^2}\left(\mathrm{\Sigma }m{r}^2\right)=-(2n+6)U+\text{ const. }$$

где $U$ есть потенциальная энергия системы.
Доказать, что если $n=-3$, то существование устойчивой конфигурации невозможно.