Примеры XXII.
1. Внутри гладкой открытой трубы длины $2 a$ находится прут, заполняющий внутрен:ость трубы полностью. Массы трубы и прута соответственно рағны $M$ и $m$. Труба приведена во вращение в горизонтальний плоскости около центра трубы (который неподвижен) с угловой скоростью $\omega_{0}$. Найти угловую скорость в тот момент, когда прут оставит трубу, в предположении, что середины трубы и прута вначале почти совпадали. Найти сверх того скорость середины прута в тот же момент 1).
\[
\left[\frac{M+m}{M+13 m} \omega_{0} ; \quad \frac{\sqrt{8(M+m)(M+7 m)}}{M+13 m} \cdot \omega_{0} a .\right]
\]
2. Две массы соединены винтовою пружиною. При их свободных прямолинейных -колебаниях период равен $\frac{2 \pi}{p}$. Доказать, что если их привести во вращение одну около другой с постоянною угловою скоростью $\omega$, то период малых колебаний будет выражаться формулою:
\[
\frac{2 \pi}{\sqrt{p^{2}+3 \omega^{2}}} .
\]
3. Материальная точка, могущая двигаться по гладкой сферической поверхности радиуса $a$, брошена вдоль горизонтального большого круга со скоростью $v$, которая велика в сравнении с $\sqrt{2 g a}$. Доказать, что траектория точки расположена между большим кругом и параллельным кругом, плоскость которого находится ниже центра приблизительно на $\frac{2 g a^{2}}{v^{2}}$.
4. Материальная точка движется по поверхности гладкого конуса, образующая которого составляет с осью угол $\alpha$; ось конуса вертикальна, а вершина расположена внизу. Доказать, что точка может описывать горизонтальный круг радиуса $a$ с угловою скоростью $\omega$ только при выполнении условия
\[
\omega^{8} a=g \operatorname{ctg} \alpha .
\]

До’азать сверх того, что при незначительном возмущении движения период малых колебаний будет выражаться формулою:
\[
\frac{2 \pi}{\omega \sqrt{3 \sin \alpha}} \text {. }
\]
5. Составить по методу Лагранжа уравнения движения материальной точки на параболоиде вращения, приняв за координаты расстояние $r$ от оси и азимут $\theta$ (см. §103).
6. Материальная точка движется по внутренней поверхности гладкого параболического желоба, который в свою очередь вращается с постоянною угловоюскоростью ш около вертикальной оси, причем желоб обращен выпуклостью вниз. Доказать, что если $\omega^{2}=\frac{g}{l}$, где $l$ есть половина параметра, то материальная точка может находиться в относительном равновесии в любом положении, и что при незначительном отклонении (возмупении) от этого положения расстояние $r$ от оси будет беспредельно увеличиваться.
7. Доказать, что выражения для составляющих ускорения в сферических полярных координатах имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}-r \sin ^{2 \theta} \dot{\psi}, \frac{1}{t} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\theta}\right)-r \sin \theta \cos \theta \dot{\psi}, \\
\frac{1}{r \sin ^{2} \theta} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\phi}\right) .
\end{array}
\]
8. Материальная точка $m$ может двигаться по внутренней поверхности гладкой круглой трубы радиуса $a$, которая в свою очередь может свободно вращаться около вертикального диамет а. При вращении трубы с угловою скоростью $\omega$ точка находится в относительном равновесии на угловом расстоянии $\alpha$ от своего
1) Пренебречь поперечными размерами трубы и прута. Прим. перев.

наинизшего положения. Доказать, что при незначительном отклонении (возмущении) из этого положения период малых колебаний будет $\frac{2 \pi}{n}$ где $n$ определяется из формулы:
\[
\frac{n^{2}}{\omega^{2}}=\frac{\left\{I+m a^{2}\left(1+3 \cos ^{2} \alpha\right)\right\} \sin ^{2} \alpha}{I+m a^{2} \sin ^{2} \alpha},
\]

в которой $I$ обозначает момент инерции трубы относительно диаметра.
Исследовать соответственно суучаи $I=0, I=\infty$.
9. Материальная точка движется по гладкой поверхности, образованной вращением круга радиуса $b$ около вертнкальной оси, расположенной на расстоянии $a(>b)$ от центра круга. Доказать, что точка может описывать горизонтальный круг радиуса $a+b \sin \alpha$ с постоянною угловою скоростью $\omega$ при выполнении условия:
\[
\omega^{2} \cos \alpha(a+b \sin \alpha)=g b \sin \alpha .
\]

Доказать, что при незначительном возмущении этого движения период малых колебаний около его траектории будет $\frac{2 \pi}{n}$, где
\[
n^{2}=\omega^{2}\left(1+3 \cos ^{2} \alpha+\frac{a}{b \sin \alpha}\right) .
\]
10. Точка может свободно двигаться внутри гладкой круглой трубы раднуса $b$, которая вращается в своей яллоскости с постоянною угловою скоростью ш около вертикальной оси, проходящей на расстоянии $a(>b)$ от центра трубы.

Доказать, что период малых колебаний около положения относительного равновесия будет $\frac{2 \pi}{n}$, где
\[
n^{2}=\omega^{2}\left(\sin ^{2} \alpha+\frac{a}{b \sin \alpha}\right) .
\]
11. Показать, что. уравнения движения системы с двумя степенями свободы можно представить в следующем виде:
\[
\begin{array}{r}
A \ddot{\theta}+H \ddot{\varphi}+\frac{1}{2} \frac{\partial A}{\partial \theta} \dot{\theta}+\frac{\partial A}{\partial \varphi} \dot{\theta} \dot{\varphi}+\left(\frac{\partial H}{\partial \varphi}-\frac{1}{2} \frac{\partial B}{\partial \theta}\right) \varphi^{2}=\boldsymbol{\Theta}, \\
H \ddot{\theta}+B \ddot{\varphi}+\left(\frac{\partial H}{\partial \theta}-\frac{1}{2} \frac{\partial A}{\partial \varphi}\right) \dot{\theta}+\frac{\partial B}{\partial \theta} \dot{\theta} \dot{\varphi}+\frac{1}{2} \frac{\partial B}{\partial \varphi} \dot{\varphi}^{2}=\Phi .
\end{array}
\]
12. Доказать, что при обозначениях § 108 кинетическая энергия системы с двмя степенями свободы будет выражаться через импульсы при помощи следующей формулы:
\[
2 T=\frac{B \lambda^{2}-2 H \lambda \mu+A \mu^{2}}{A B-H^{2}} .
\]

Доказать, что если значение $T$ выражено в этом виде, то
\[
\dot{\theta}=\frac{\partial T}{\partial \lambda}, \quad \dot{\varphi}=\frac{\partial T}{\partial \mu} .
\]
13. Однородный стержень $A B$ подвешен при помощи двух нитей $O A, O B$ к неподвижной точке $O$, образуя с нитями равносторонний треугольник $O A B$. Дсказать, что если одну из нитей перерезать, то натяжение в другой мгновенно уменьшится в отношении $6: 13$.
14. Четыре точки олинаковой массы соединены нитями, образующими стороны ромба $A B C D$. Доказать, что система может вращаться в своей собственной плоскости около центра $O$, не изменяя своего вида, с заданною угловою скоростью.

Доказать также, что при незначительном возмущении этого движения диагонали $A C, B D$ будут все еще вращаться с постоянною угловюю скоростью, а углы ромба будут изменяться с постоянною скоростью (т. е. пропбрционально времени).
15. Составить уравнения Лагранжа для предыдущей задачи, приняв за координаты угол $\theta$, образуемый направлением $O A$ с неподвижным направлением, и угол $\varphi$, образуемый направлением $A B$ с $A O$. Массы $M$ точек $A$ и $C$ принять отличными от масс $m$ точек $B$ и $D$.
Проверить, что эти уравнения и́меют первые интегралы
\[
\begin{array}{c}
\left(M \cos ^{2} \varphi+m \sin ^{2} \varphi\right) \dot{\theta}=\text { const., } \\
\left.\left(M \cos ^{2} \varphi+m \sin ^{2} \varphi\right)\right)^{\dot{\theta} 2}+\left(M \sin ^{2} \varphi+m \cos ^{2} \varphi\right) \varphi^{2}=\text { const. }
\end{array}
\]
16. Четыре одинаковых стержня, соединенных идеальными (без трения) шарнирами, образуют ромб $A B C D$, который подвешен в вертикальной плоскости за середину стержня $A B$. Центр масс каждого стержня находится в его середине; радиус инерции относительно этой точки рявен $x$, а длина стержня равна $2 a$. Доказать, что если $\theta$ будет угол, образуемьй стержнем $A B$ или $D C$ с горизонтом, а – -угол, образуемый стержнем $A D$ или $B C$ с вертикалью, то кинетическая энерı ия системы во время колебаний в вертикальной плоскости будет выражаться формулою:
\[
M^{2}\left(a+x^{2}\right) \dot{\theta}^{2}+M\left(x^{2}+3 a^{2}\right) \dot{\varphi}^{2},
\]

где $M$ есть масса стержня.
Составить уравнения движения и интерпретировать результаты.
17. Горизонтальный стержень $A B$ подвешен при помощи двух одинаковых вертикальных нитей длины $l$, привязанных к его көнцам. К стержню $A B$ подвешен одинаковый стержень $C D$ при помощи двух одинаковых нитей $A C, B D$ длины $l^{\prime}$. Дсказать, что если система совершает небольшие угловые колебания около вертикали, проходящей через центры тяжести стержней (совпадающие “ геометрическими центрами), то периоды $\frac{2 \pi}{n}$ обоих нормальных колебаний определяются при помощи уравнения:
\[
n^{4}-\frac{2 g a^{2}}{x^{2}}\left(\frac{1}{l^{\prime}}+\frac{1}{l}\right) n^{2}+\frac{2 g^{2} a^{4}}{x^{4} l l^{4}}=0,
\]

тде $a$ есть половина длины стержня, а х-радиус инерции относительно центра.
18. Физический маятник подвешен к оси, полого кругового цилиндра, который может свободно кататься вдоль горизонтальной плоскости. Доказать, что если $\varphi$ есть координатный угол цилиндра, а $\theta$ – угол наклона маятника к вертикали, то
\[
2 T=\left(I+M a^{2}\right) \dot{\varphi}^{2}-2 M a h \ddot{\theta} \varphi \cos \theta+M k^{2 \theta 2},
\]

тде $a$ есть радиус цилиндра, $I$ – его момент инерции относительно линии соприкосновения с плоскостью, а буквы $M, h, k$ имеют их обычный смысл в применении к физическому маятнику.

Доказать, что в случае малых колебаний длина эквивалентного математического маятника меньше, чем если бы цилиндр был неподвижен, в отношении
\[
1-\frac{M a^{2} h^{2}}{\left(I+M a^{2}\right) k^{2}}
\]
19. Материальная точка пр\”креплена к точке $Q$ при помощи нити $P Q$ длины $l$. Точка $P$ может описывать круг радиуса $a$ около неподвижной точки $O$ с постоянною угловою скоростью $\omega$, причем движение может происходить только в одной плоскости. Действнем силы тяжести мы пренебрегаем. Доказать, что если $\chi$ будет угол, образуемый направлением $P Q$ с $O P$, то $\chi$ удовлетворяет уравнению:
\[
\frac{d^{2} \chi}{d t^{2}}+\frac{\omega^{2} a}{l} \sin \chi=0 .
\]

20. Стержень с массою $M$ подвешен в горпзонтальном положении при помощи двух одинаковых вертикальных нитей динны $l$. К разным точкам стержня подвешены две материальных точки с одинаковыми массами $m$ при помощи двух нитей длины $l^{\prime}$. Доказать, что периоды $\frac{2 \pi}{n}$ трех нормальных колебаний в вертикальной плоскости, проходящей через положение равновесия стержня, определяются посредством формул:
\[
n^{2}=\frac{g}{l^{\prime}}
\]

и
\[
n^{\prime}-g\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{l^{\prime}}\right)\left(1+\frac{2 m}{M}\right) n^{2}+\frac{g^{2}}{l^{\prime}}\left(1+\frac{2 m}{M}\right)=0 .
\]
21. Ребра трех призм (лезвия ножей) $\boldsymbol{A}, O, B$ коромысла весов находятся в одной плоскости, причем прямая $O G$, соединяющая среднюю призму с центром масс $G$, перпендикулярна к $A B$. К призмам $A$ и $B$ подвешены две одинаковых спиральных пружины с жесткостью $K$. Дано, что $O A=O B=a, O G=h$, масса коромысла равна $M$, а радиус ннерци относительно $O$ равен $k$. Доказать, чтө в случае малых колебаний относительно положения равновесия мы имеем формулы:
\[
\begin{array}{l}
2 T=\left(M k^{2}+2 m a^{2}\right) \dot{\theta} 2+2 m a(\dot{x}-\dot{y}) \dot{\theta}+m\left(x^{2}+\dot{y}\right), \\
2 U=M g h^{2}+K\left(x^{2}+y^{2}\right),
\end{array}
\]

где 0 есть угол наклона $A B$ к горизонту, а $x, y$ – приращения длин обеих пружин в сравнении с длинами их при равновесни.
22. Доказать, что в предыдущей задаче периоды $\frac{2 \pi}{n}$ трех нормальных колебаний определяются из формул:
\[
\begin{array}{c}
n^{2}=\frac{K}{m}, \\
n^{4}-\left\{\left(1+\frac{2 m a^{2}}{M k^{2}}\right) \frac{K}{m}+\frac{g h}{k^{2}}\right\} n^{2}+\frac{K}{m} \cdot \frac{g h}{k^{2}}=0 .
\end{array}
\]

Примеры XXIII.
На разные отделы.
1. Моторы дирижабля, идущего прямым горизонтальным курсом, были выключены, и затем был произведен ряд измерений скорости. При построении диаграммы за ординаты были приняты величины, обратные скоростям, а за абсциссы – время, причем оказалось, что соответствующие точки дежат на прямой яинии. Какому закону подчиняется сопротивление?

Какой вид имела бы кривая, еслн бы сопротивление было пропорциональнө х у 6 у скорости?
2. Аэроплан, скорость которого составляет 130 км/час, летит к аэродрому, находящемуся на расстоянии 130 км в направлении, составляющем угол $60^{\circ}$ к западу от направления на север, н возвращается обратно. Во время полета дул северный ветер со скоростью 30 км/час. Найти соответствующее время полета туда и обратно.
3. Аэроплан имеет скорость $\boldsymbol{\text { км }} /$ час и радиус хействия (туда и обратно) $R$ километров при спокойной погоме. Доказать, что при северном ветре со скоростью $w$ радиус действия в направленик, пстиннй курс которого составляет угол $\varphi$, будет выражаться формулою:
\[
\frac{R\left(v^{2}-w^{2}\right)}{v \sqrt{v^{2}-w^{2} \sin ^{2} \varphi}} .
\]

4. Центр тяжести дирижабля движется. с горизонтальной скоростью $V$ в направлении, образующем угол $\theta$ с осевой линиею дирижабля, причем дирижабль повертывается с угловою скоростью $\omega$. Доказать, что угол $\theta^{\prime}$, образуемый осью дирижабля с траекторией точки, находящейся на расстоянии $x$ от центра тяжести, определяется посредством формулы:
\[
\operatorname{tg} \theta^{\prime}=\operatorname{tg} \theta+\frac{\omega x}{V} \sec \theta .
\]
5. Точка описывает около полюса логарифмическую спираль с постоянною угловою скоростью; доказать, что годограф представляет подобную спираль.
6. Точка $P$ движется прямолинейно с постоянною скоростью $u$, а другая точка $Q$ движется таким образом, что ее постоянная скорость $v$ всегда перпендикулярна к $Q P$. Доказать, что траектория точки $Q$ относительно точки $P$ представляет коническое сечение с эксцентриситетом $\frac{u}{v}$.
7. Движение точки относительно осей, вращающихся с угловою скоростью ю. представляет эллиптическое гармоническое движение около начала координат $O$ с периодом $\frac{2 \pi}{\omega^{\prime}}$. Доказать, что траектория относительно неподвижных осей, проходящих через $O$, является эпициклической.
8. Кривая катится по прямой линии с угловою скоростью $\omega$. Доказать, что ускорение точки касания с прямою перпендикулярно к последней и равно $\omega^{2}$ р .

Как изменится результат в случае качения кривой по другой неподвижной кривой?
9. Пластинка движется пронзвольным образом в своей плоскости с произвольною мгновенною угловою скоростью $\omega$. Доказать, что составляющие ускорения точки $P$, находящейся на пластинке на расстоянии $r$ от точки касания $A$ центроид (\”Статика“, § 16), в направлениях соответственно вдоль касательной и вдоль нормали к траектории в точке $P$, будут выражаться формулами:
\[
r \frac{d \omega}{d t}+\frac{\omega^{2}}{c+c^{\prime}} \sin \theta . \quad \text { и } \quad \omega^{2} r-\frac{\omega^{2}}{c+c^{\prime}} \cos \theta,
\]

где $c, c^{\prime}$ суть значения кривизны обеих центроид в точке $A$, а $\theta$ – уголі, составляемый прямою $A P$ с общей нормалью, проходящей через $A$. Вычислить кривизну траектории точки $P$.
10. В вершинах правильного многоугольника, стороны которого образованы нитями длины $b$, находятся материальные точки с одинаковою массою $m$. Доказать, что если многоугольник будет вращаться в своей плоскости около центра, то натяжение в каждой нити будет равно $\frac{m v^{2}}{b}$, где $v$ есть скорость каждой массы $m$; вывести, кроме того, формулу для натяжения во врацающейся цепи, имеющей форму круга.
11. На материальную точку действует сила, постоянная по величине и направлению, и другая сила, перпендикулярная к траектории и пропорциональная скорости. Доказать, что траекториею будет трохойда.
12. Точка подвеса маятника длины $l$ при действии горизонтальной силы $X$ перемещается в горизонтальном направлении на незначительное расстояние $\frac{X}{\mu}$. Доказать, что величина эквивалентного математического маятника увеличивается на $\frac{m g}{\mu}$, где $m$ есть масса груза маятника.
13. Груз математического маятника длины $t$ вращается вокруг точки подвеса, причем скорость на уровне точки подвеса велика в сравнении с $\sqrt{g t}$. Доказать, что промежутки времени, в течение которого груз описывает верхнюю и нижнюю полуокружности, будут выражаться приближенною формулою:
\[
\frac{\pi l}{v}\left(1 \pm \frac{2 g l}{\pi v^{2}}\right) \text {. }
\]

14. Два одинаковых маятника длины $l$ качаются. в вертикальной плоскости, будучи подвешены к двум точкам жесткого горизонтального стержня, не закрепленного наглухо и при качании маятников перемещающегося в горизонтальном направлении на длину $\beta l(\theta+\varphi)$, где $\theta$ и ч суть углы наклона маятников (отсчитываемые в одном направлении) к вертикали, а $\beta$ представляет малую величину. Составить уравнения движения и решить их, определив постоянные таким образом, чтобы в начальный момент один маятник находился в покое в его среднем положении, а другой начал двигаться из его среднего положения с заданною незначительною скоростью.

Доказать, что оба маятника будут поочередно почти останавливаться в их средних ноложениях через промежутки времени, равные около $\frac{1}{2 \beta}$ части периөда.
15. Две материальных точки $m_{1}, m_{2}$ движущиеся со скоростями $\boldsymbol{v}_{i}, v_{2}$ в направлениях, образующих между собою угол $\alpha$, сталкиваются и продолжают двигаться вместе. Доказать, что их скорость после столкновения будет выражаться формулою
\[
\frac{\sqrt{m_{1}^{2} v_{1}^{2}+2 m_{1} m_{2} v_{1} v_{2} \cos \alpha+m_{2}^{2} v_{2}^{2}}}{m_{1}+m_{2}},
\]

а потеря кинетической энергии будет равна
\[
\frac{m_{1} m_{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}\left(v_{1}^{2}-2 v_{1} v_{2} \cos \alpha+v_{2}^{2}\right) .
\]
16. Твердое тело подвешено к горизонтальной оси; доказать, что можно вычислить его радиус инерции около оси, если известны период малых колебаний, а также отклонение, производимое незначительной силой, действующей на тело вдоль данной горизонтальной линии, расположенной ниже оси под прямым углом к ней.

Произвести вычисления, если дано, что период составляет 1,566 сек., а сила, равная одной сотой части веса маятника, действующая вдоль линии, расположенной ниже оси на 915 м. , перемещает точку приложения силы на 18,5 м. .
\[
[1,675 \text { м. }]
\]
17. Цилиндр катится по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол $\alpha$, причем ось цилиндра образует угол $\beta$ с линиями наибольшего ската. Докаsать, что точки оси цилиндра имеют ускорение
\[
\frac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}} g \sin \alpha \sin \beta,
\]

где $a$ есть радиус, а $x$ – радиус инерции цилиндра относительно оси.
18. Твердое тело, симметрнчное относительно плоскости, проходящей через его центр масс $G$, движется в этой плоскости с постоянною поступательною скоростью. Доказать, что если внезапно закрепить такую точку $P$ в этой плоскости, чтобы линия $G P$ была перпендикулярна к направлению движения, то потеря кинетической энергии составит $\frac{x^{2}}{k^{2}}$-ю часть первоначального значения, где х и $k$ суть радиусы инерции около осей, проходящих соответственно через $G$ и $P$ и перпендикулярных к птоскости симметрии.
19. Два одинаковых стержня $A B$ и $B C$, соединенных шарниром $B$ и составляющих одну прямую линию, движутся под прямым углом к их оси. Доказать, что при внезапном закреплении конца $\boldsymbol{A}$ начальные угловые скорости будут относиться одна к другой, как $3: 1$.
20. Три одинаковых однородных стержня $A B, B C, C D$, соединенных шарнирами в $B$ и $C$, находятся в покое, образуя прямую линию. Доказать, что при ударе по стержню $A B$, нанесенном в какую-либо точку $P$ в перпендикулярном направлении, импульсивная реакция в точке $B$ будет в четыре раза больше, чем в $C$.

Точно так же доказать, что стержень $A B$ в первый момент вращаться не будет, если $A P: P B=11: 7$.
21. Трубка с массою $M$ и длиною $2 a$ лежит на гладком столе и содержит внутри материальную точку $m$ : находящуюся близко к центру трубки, совпацаюему одновременно с центром масс. Трубке сообщена угловая скорость ш. Докавать, что в момент, когда точка $m$ покинет трубку, угловая скорость будет
\[
\frac{(M+m) I \omega}{(M+m) I+M m a^{2}},
\]

где $I$ есть момент инериии трубки относительно ее центра.
22. Сферический сосуд раднуса а, находящийся в покое, может вращаться около неподвкжного диаметра. Сосух наполнен жидкостью, вращающейся около того же диаметра с угловою скоростью $\omega(r)$, прехставляющей функцию одного тольхо рассстояния $r$ от центра. Доказать, что когда вследствие трения уничтожится относительное вращение, угловая скорость сосуда будет
\[
\frac{8}{3} \frac{\pi p}{I} \int_{0}^{a} \omega(r) r^{4} d r
\]

где $I$ есть момент инерции всей масск, а $\rho$ – плотность жидкости.
25. Человек с массою $m$ стоит в точке $A$ на горизонтальной платформе, которая может свободно вращаться около неподвижной точки $O$. Первоначально человек и платформа находилнсь в покое. Затем человек начинает итти вдоль окружности, имеющен диаметр $O A(=a)$, возвращаясь в точку, в которой он стоял прежде. Доказать, что платформа повернется на угол
\[
\pi\left\{1-\sqrt{\frac{I}{I+m a^{2}}}\right\} \text {. }
\]

где $I$ есть момент инерции платфориы относительно точки $\boldsymbol{O}$.
24. Массивный шар вращается с угловою скоростью $\oplus$ около неподвижной оси, совпадающей с одним из диаметров. Человек с массою $m$ начинает итти из одного из полюсов вдоль мериднана с постоянною скоростью $v$. Доказать, что когда человек дойдет до противоположного полюса, угол поворота шара уменьшится на величину
\[
\frac{\pi \omega a}{v}\left\{1-\sqrt{\frac{I}{I+m a^{2}}}\right\},
\]

де $I$ есть момент инерции шара, а $a$-его радиус.
25. Два шара раднуса $a$ с плотностью $\rho$ касаются один вругого. Доказать, тто давление, производимое взаимным притяжением, равно силе прнтяжения Землею массы
\[
\frac{1}{3} \frac{\pi \rho^{2} a}{\rho_{0} R},
\]

где $R$ есть радиус Земли, а $\rho_{0}$ – ее средняя плотность.
Предполагая, что $\rho=8, \rho_{0}=5,6, R=6,38 \cdot 10^{8} C G S$, найти такую величину радиуса $a$, чтобы давление составляло 1 кг. $[4,8$ м.]
26. Показать, что промежуток времени, в течение которого точка, двнгающаяся мо параболической орбите, описывает угол о с вершиною в фокусе, отсчитьваемый от апсиды, выражается формулою:
\[
\frac{l^{\frac{3}{2}}}{2 \mu^{\frac{1}{2}}}\left(\operatorname{tg} \frac{1}{2} \theta+\frac{1}{3} \operatorname{tg}^{3} \frac{1}{2} \theta\right) \text {. }
\]
27. Точка, имеющая ускорение $\frac{x}{r^{2}}$, направленное к неподвижному центру, брошена с большого расстояння со скоростью v т таком паправлении, что при отсут-
1) Двпжение происходит пох действием ньютониаского притяження. Прим. ред.

ствии притяжения она прошла бы на расстоянии $b$ от центра сих. Дохазать, что предельное направление ее движения повернется на угол $\pi-2 \alpha$, rде
\[
\alpha=\operatorname{arctg}\left(\frac{v^{2} b}{\mu}\right) .
\]
28. Доказать, что три материальных точки, расположенных в уrхax равностороннего треугольника и притягивающихся одна к другой с сплою, обратно пронорциональною квадрату расстояння, могут описывать около их общего центра масс круговые орбиты с угловою скоростью
\[
\left\{\frac{\gamma\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right)}{a^{3}}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где $a$ есть сторона треугольника
(Лапхас.)
29. Планета $J$ и Солнце $S$ описывают круги около шх общего центра масс $G$ с угловою скоростью $n$. Пусть будет $P$ спутник, действием которого на $S$ и $J$ можно пренебречь. Доказать, что если $x$, $y$ суть коордннаты точки $P$ относительно осей координатной системы, начало которой совпадает с $S$ п ось $x$ которой проходит через $G$, то уравнения движения имеют вид:
\[
\ddot{x}-2 n \dot{y}=\frac{\partial \Omega}{\partial x}, \quad \ddot{y}+2 n \dot{x}=\frac{\partial \Omega}{\partial y},
\]
rae
\[
\boldsymbol{Q}=\frac{\gamma S}{r}+\frac{r J}{\rho}+\frac{1}{2} n^{2} \frac{S r^{2}+J_{0}^{2}}{S+J}
\]

и
\[
r=S P, \quad \rho=J P \text {. }
\]
30. Несколько материальных точек брошены одновременно в разных направлениях из одной и той же точки. Движение их происходит под действием центральных сил, сообщающих им ускорение, равное $\mu \times$ расстояние. Дохазать, что по нстечении времени $\frac{\frac{1}{2} \pi}{\sqrt{\mu}}$ скорости всех точек будут параллельны и равны между собой.
31. Доказать, что в примере 4 § 86 траектория матернальной точки, движущейся по столу, будет расположена между двумя неподвижными кругами, если момент количества движения отличен от нуля.
32. Две материальных точки $m_{1}, m_{2}$ соединены нитью длины $a_{i}+a_{2}$, проходящею через гладкое кольцо на гладком горизонтальном столе, и описывают круги радиусов $a_{1}, a_{2}$ с соответствующими угловыми скоростями $\omega_{1}, \omega_{2}$. Доказать, что нмеет место равенство:
\[
m_{1} \omega_{1}^{2} a_{1}=m_{2} \omega_{2}^{2} a_{1},
\]
x период малых колебаний около этих траекторий будет выражаться фориулою:
\[
2 \pi \sqrt{\frac{m_{1}+m_{2}}{3\left(m_{1} \omega_{1}^{2}+m_{2} \omega_{2}^{2}\right)}} .
\]
33. Если точка двнжется с ускорением
\[
\frac{\mu}{r^{2}} e^{\frac{k}{r}}
\]

хаправленным к неподвижному центру, то круговая орбита будет устойчнво:о лишь в том случае, когда радиус больше, чем $k$.

34. Доказать, что в случае центральной силы, обратно пропорциональной кубј расстояния, имеет место соотношение:
\[
r^{2}=A t^{2}+B t+C,
\]

где $A, B, C$ – постоянные.
35. Материальная точка, подверженная действию отталкивающей силы, обратнс пропорциональной кубу расстояния, брошена из бесконечности с такой скоростью, что если бы эта скорость была направлена к центру сил, то точка прибли зилась бы к центру сил на расстояние $a$. В действительности же точку бросаю? вдоль прямой, расстояние которой от центра сил равно $b$. Доказать, что мини мальное расстояние от центра будет $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, а угол между асимптотами траек. тории будет равен $\frac{\pi b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$.
36. Материальная точка, подверженная действию отталкивающей силы, обратнс пропорциональной пятой степени расстояния, брошена из бесконечности с такок скоростью $V$, что если бы эта скорость была направлена к центру сил, то точк приблизилась бы к нему на расстојние $a$. В действительности же точка брошена таким образом, что она при отсутствии отталкивающей силы прошла бы от центра на расстоянии $b$. Доказать, что минимальная скорость точки будет выражатьсs формулою:
\[
V \frac{b^{2}}{a^{2}}\left\{\left(\frac{a^{4}}{b^{4}}+\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]
37. Доказать, что если ускорение поезда при замедлении хода будет $a+b v a$ то при выключении машины в момент, когда скорость равна $v_{0}$, поезд остано вится через промежуток времени
\[
\frac{1}{\sqrt{a b}} \operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{b}{a}} \cdot v_{0}\right),
\]

пройдя расстояние
\[
\frac{1}{2 b} \ln \left(1+\frac{b v_{0}^{2}}{a}\right) .
\]
38. Доказать, что уравнение траектории снаряда при сопротивлении по закону $k v^{2}$ будет иметь вид:
\[
e^{2 k s}=1+k \rho_{0}\{\sec \phi \operatorname{tg} \psi+\ln (\sec \psi+\operatorname{tg} \phi)\},
\]

где $s$ есть дуга, измеряемая в направлении движения от наивысшей точки траектории, $\rho_{0}$ – радиус кривизны в этой точке, а ф-угол наклона траектории к горизонту, отсчитываемый вниз.
Доказать, что при малых значениях $s$ будет
\[
\psi=\frac{s+k s^{2}}{\rho_{0}} .
\]
39. Круглая труба вращается в своей плоскости с угловою скоростью $ю$ околе точки $O$ окружности поперечного сечения. Доказать, что относительное движе. ние материальной точки, находящейся в трубе, подчиняется уравнению:
\[
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\omega^{2} \sin \theta=0,
\]

где $\theta$ обозначает угловое расстояние от точки трубы, противоположной точке $O$
40. Жесткая труба с криволинейным сечением вращается в своей плоскости около точки $O$ с постоянною угловою скоростью $\omega$. Доказать, что малые относительные колебания около точки $P$ трубы той материальной точки, расстояние которой от $O$ имеет стационарное значение, определяются посредством уравнения:
\[
\frac{d^{2} s}{d t^{2}}+\omega^{2}\left(\frac{r}{\rho}-1\right) s=0,
\]

где $r=O P$, а $\rho-$ радиус кривизны в точке $P$.
Показать, что равновесие материальной точки, когда она находится в $P$, является устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, находится ли $P$ на максимальном или минимальном расстоянии от $O$.
41. Материальная точка может двигаться по гладкой сферической поверхности радиуса $a$. Доказать, что если точку бросить со скоростью $v$ вдоль горизонтального большого круга, то точка опустится на вертикальное расстояние $a e-a$, где $u$ определяется посредством формулы
\[
\operatorname{sh} u=\frac{v^{2}}{4 g a} .
\]

Доказать, что если величина $v^{2}$ в сравнении с $4 g a$ велика, то результат будет выражаться приближенною формулою $\frac{2 g a^{2}}{v^{2}}$.
42. Горизонтальный стержень $A B$ вращается с постоянною угловою скоростью $\omega$ около своего геометрического центра $O$. Материальная точка $P$ привязана к нему при помощи двух одинаковых нитей $A P, B P$. Доказать, что если $\theta$ есть угол наклона плоскости $A P B$ к вертикали, то
\[
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}-\omega^{2} \sin \theta \cos \theta=-\frac{g}{l} \sin \theta,
\]

где $l=O P$. Вывести условие, необходимое для устойчивости вертикального положения $O P$.
43. Доказать, что если точки $m, m^{\prime}, \ldots$ притягиваются одна к другой с силами, пропорциональными $n$-й степени расстояния, и если $r, r^{\prime}, \ldots$ обозначают их расстояния от центра масс системы, то
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\Sigma m r^{2}\right)=-(2 n+6) U+\text { const. }
\]

где $U$ есть потенциальная энергия системы.
Доказать, что если $n=-3$, то существование устойчивой конфигурации невозможно.