Движение материальной точки под действием силы тяжести при отсутствии сопротивления воздуха приводит к простому применению предыдущих ур внений. Если направить ось $y$ вертикально вверх, то независимо оr того будет ли ось $x$ горизонгальна или нет, мы будем иметь:

и следовательно,
\[
\begin{array}{l}
X=0, \quad Y=-m g, \\
\ddot{x}=0, \quad \ddot{y}=-g .
\end{array}
\]

Ин:егрируя, получим:
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=A, \quad \dot{y}=-g t+B, \\
x=A t+C, \quad y=-\frac{1}{2} g t^{2}+B t+D,
\end{array}
\]

где $A, B, C$ и $D$-произвольные постоянные.

Предположим, например, что точка брошена из начала координат со скоростью $\left(u_{0}, v_{0}\right.$ ) в момент времени $t=0$. Тогда мы имеем:
\[
A=u_{0}, B=\tau_{0}, C=0, D=0 \text {, }
\]

откуда
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=u_{0}, \quad \dot{y}=v_{0}-g t, \\
x=u_{0} t, \quad y=v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2} .
\end{array}
\]

Исключая $t$, получим уравнение траектории, а именно:
\[
y=\frac{v_{0}}{u_{0}} x-\frac{g}{2 u_{0}^{2}} x^{2} .
\]

Это – уравнение параЄолы с вертикальною осью.
Если мы \”римем за начало координат вершину парабллы и ось $x$ проведем горизонтально, то мы будем иметь $v_{0}=0$, и следовательно,
\[
x=u_{0} t, \quad y=-\frac{1}{2} g t^{2},
\]

откуда
\[
y=-\frac{g}{2 u_{0}^{2}} \dot{x}^{2} .
\]

Таким образом параметр параболы будет $\frac{2 u_{0}^{2}}{g}$, где $u_{0}$ (постоянная) – горизонтальная скорость. Следовательно, если $q$-скорость в момент времени $t$, то
\[
q^{2}=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=u_{0}^{2}+g^{2} t^{2}=u_{0}^{2}-2 g y .
\]

Полагая
\[
y^{\prime}=\frac{u_{0}^{2}}{2 g}-y,
\]

где $y^{\prime}$ есть расстояние от директрисы, мы получим:
\[
q^{2}=2 g y^{\prime} \text {. }
\]

Слетовательно, скорость в любой точке траектории равна скорости, приобретаемой материальной точкой при ее падении без начальной скорости вертикально вниз с той зысоты, на уровне которой расположена директриса.
Фиг. 23.
Возвратимся к формулам (7), относящимея к тому случаю, когда начало ко-

ординат находится в любой точке траектории, ось $x$ может иметь любое направление, а ось $y$ направлена вертикально вверх. как на фиг. 23. Чтобы найи точку, в которой траектория снова встречает ось $x$, положим $y=0$; мы получии:
\[
t=\frac{2 v_{0}}{g}, \quad x=\frac{2 u_{0} v_{0}}{g} .
\]

Эти формулы дают дальность полета (боя) на наклонной плоскости и соответствующее время полета, если ось $x$ провелена вдоль плоскости. Е:ли мы обозначим угол наклона плоскости к горизонту через $a$, то начальная скорость $q_{0}$ будет определяться при помощи формул:
\[
q_{0}^{2}=u_{0}^{2}+2 u_{0} v_{0} \sin \alpha+v_{0}^{2} .
\]

Представив эту формулу в виде:
\[
q_{0}^{2}=\left(u_{0}-v_{0}\right)^{2}+2 u_{0} v_{0}(1+\sin \alpha),
\]

мы заключаем, что при заданном $q_{0}$ произведение $u_{0} v_{0}$ имеет наибольшую величину, когда $u_{0}=v_{0}$, т. е. когда направление начальной скорости делит пополам угол между линией наклона плоскости и вертикалью. Отсюда следует, что фокус параболы находится на линии наклона. Кроме того, максимальная дальность полета на основании формул (14) и (16) будет:
\[
\frac{q_{J}^{2}}{g(1+\sin \alpha)} \text {. }
\]

Если мы ее обозначим через $r$ и положим
\[
\theta=\frac{1}{2} \pi-a, \quad l=\frac{q_{0}^{2}}{g},
\]

то получим:
\[
\frac{l}{r}=1+\cos \theta \text {. }
\]

Это – полярное уравнение параболы, фокус которой находится в начальном положении снаряда, а ось совпадает с вертикалью. Эта парабола указывает предельные расстояния, которые могут быть достигнуты, если производить выстрелы в разных направлениях с данной начальной скоростью. Так как половиниа хорды, перпендикулярной к оси и проходящей через фокус, равна $\frac{g_{0}^{2}}{g}$, то эта парабола будет в своей вершине касаться общей директрисы разных параболических траекторий (см. фиг. 25).

Эти результаты также очень просто получаются на основании геометрического построения (фиг. 24). Фиг. 24. Если скорость снаряда в данной точке $P$ известна, то тем самым определяется общая директриса всех параболических траекторий. Следовательно, если начертить перпендикуляр $P A$ к этой директрисе, то фокусы будуг лежать на окруя:ности, описанной из центра $P$ радиусом $P A$. Если траектория должна проходить через другую заданную точку $Q$, то проведя $Q B$ перпендикулярно к директрисе, заключаем, что фокус полжен находиться также и на окружности, описанной из центра $Q$ радиусом $Q B$.

Если обе окружности пересекаются, то точки пересечения $S, S^{\prime}$ представляют возможные плэж?ния фокуса. В этом случае возможны две траектории, пооходящие через $P$ и $Q$, причем соответствующие направления начальной скорости в $P$ делят соответственно углы $A P S$ и $A P S^{\prime}$ пополам.

Е:ли указанные окружности не пересекаются, то точку $Q$ нельзя обстрелять из $P$.

Если, накснец, окружности касаются одна другой, как на фиг. 25, то обе траекто ии сивп дают между собой и фокус будет находиться в точке касания $S$. В этом случае точка $Q$ находится как паз на гранипе зоны обстрела из $P$; в самом деле, точка $Q$ будет точкой огибающей всех пэрабол, проходящих через $P$ и имеюшит данную директрису. Если мы продолжим $P A$ до точки $X$, отложив $A Y=P A$, и точно так же продолжим $Q B$ до встречи в $M$ с горизонтальной линией, проходящей через $X$, то мы будем иметь:
\[
P Q=P S+S Q=P A+Q B=Q M,
\]

и следовательно, огибающая представляет параболу с фокусом в $P$ и с вершиною в $A$, как это мы уже выше нашли англитически.

Так как изменение скорости в единипу времени направлено вертикально вниз и имеет постоянную величину, то годограф (§ 21) пред-
Фиг. 25.
Фиг, 26 ,

ставляет вертикальную прямую, описываемую с постоянной скоростью $g$. Ээо иллюстрирует фиг. 26 , на которой показаны (справа) скорости для ряда-равноотстоящих моментов.
В векторных обозначениях мы имеем:
\[
\ddot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{g},
\]
rде $\boldsymbol{g}$ – вектор, представляющий изменение скорости в единицу вреиени. Следова ельно,
\[
\begin{array}{c}
v=\dot{r}=g t+b, \\
r=\frac{1}{2} g t^{2}+b t+c,
\end{array}
\]

где векторы $\boldsymbol{b}$ и $\boldsymbol{o}$ пронзвольны; вектор $\boldsymbol{b}$ представляет начальную скорость, а вектор $\boldsymbol{c}$ указывает начальное положение относительно начала вектора $\boldsymbol{r}$. Уравнение (22) показывает, что годограф представляет прямую линию.