Примеры XV.
1. Стержень, вращающийся на гладкой горизонтальной плоскости около опного из своих концов (который неподвижен), внезапно разламывается на две части; описать последующее движение каждой части.
2. Даны сплошной и полый шары с одинаковым наружным диаметром и с одинаковым весом. Как узнать, который из них полый?
3. В ртикальная нить сматывается с катунки, причем верхний конец нити закреплен. Цоказать, что вертикальная составляющая ускорения катушки равна:
\[
\frac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}} \cdot g
\]
и что натяжение нити составляет
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}+x^{4}} \cdot M g
\]
где $M$ есть масса катушки, $a$ – ее радиус, а $x$ – радиус инерции катушки относительно оси.
4. Катушка ниток своими слегка выступающими концами опирается на горизонтальный стол. Свободный конец нитки выходит снизу из-под катушки. В каком направлении и с каким ускорением будет двигаться центр катушки, если дернуть за нитку в горизонтальном направлении с заданною силою $F$ ? (Радиусы катушки в центре и на концах, а также радиус инерции заданы.)
5. Нить, один конец которой закреплен неподвижно, огибает подвижной блок с массою $M$, радиусом $a$, моментом инерции $I$ и другой блок с неподвижною осью, имеющий ралиус $a^{\prime}$. и момент инерции $I^{\prime}$. К свободному концу нити, свешивающемуся вертикально со второго блока, подвешена масса $m$. Доказать, что ускорение массы $m$ при свободном движении системы будет:
\[
\frac{\left(m-\frac{1}{2} M\right) g}{m+\frac{1}{4} M+\frac{I^{\prime}}{a^{2}}+\frac{1}{4} \frac{I}{a^{2}}} .
\]
6. Круглый цилиндр может кататься по горизонтальной плоскости, которую заставляют двигаться любым образом в горизонтальной плоскости в направлении, перпендикулярном к оси цилиндра. Доказать, что если плоскость и цилинтр первоначально находились в покое, то они остановятся одновременно, и рассооние, пройденное центрм цилиндра, будет относиться к расстоянию, пройденному плоскостью, как $x^{2}$ к $\left(x^{2}+a^{2}\right)$, где $a$ – радиус цилиндра, а $x$ его радиус инерции.
7. Велосипед каттится по внутренней стороне круглого цилиндра, оставаясь в вертикальной плоскости. Обозначим через а радиус каждого колеса, через $R$ радиус цилиндра, черэз $v$-кажущуюся скорость велосипеда (т. е. скорость, с которою каждая точка касания велосипеда с цилиндром движется вдоль трека). Найти угловую скорость колес и угловую скорость цилиндра.
\[
\left[\frac{v}{\frac{1}{a}-\frac{1}{R}} ; \frac{v}{R} \cdot\right]
\]
8. Круглый обруч радиуса $a$ катится по внутренней поверхнэсти круглого цилиндра радиуса $b$, оставаясь в плоскости, перпендикулярной к оси цилинда. На какой угол повернется обруч, если точка касания опишет на цилиндре полный круг?
Если видимый период вращения обруча будет $T$, то какое давление будет в точке касания обруча и цилиндра (весом пренебрегаем)?
\[
\left[\frac{2 \pi(a-b)}{a} ; \quad \frac{4 \pi^{2} M(a-b)}{T^{2}} \cdot\right]
\]
9. Однородный стержень наподобие лестницы приставлен одним концом к тладкой вертикальной стене, а другим концом опирается на гладкий горизонтальный пол. Стержень пришел в движение из -покоя, когда он имел угол а с вертикалью. Вычислить начальные давления на стенку и пол.
\[
\left[\frac{3}{4} M g \sin \alpha \cos \alpha ; M g\left(1-\frac{3}{4} \sin ^{2} \alpha\right) \cdot\right]
\]
10. Доказать, что стержень перестанет касаться стены, когда верхий конец опустится на одну треть первоначальной высоты.
11. Две материальных точки $m, m^{\prime}$ соединены легким стержнем длины $t$, причем точка $m$ может двигаться своб дно по гладкой горизонтальной плоскости. Докıзать, что если стержень слегка отклонить от его положения неустойчивого равновесия, то угловая скорость $\omega$, с которой он займет горизонтальное положение, определится по формуле:
\[
\omega^{2}=\frac{2 g}{l} .
\]
Какой вид будет иметь траектория точки $m^{\prime}$ ?
12. Однородная нить с массою $M$ и длнною $l$ находится в равновесии и висит на блоке разиуса $a$. Доказать, что если нить нагнет двигаться из этого состояния покоя без скольжения относительно блока, то уравнение движения будет иметь вид:
\[
\left(I+M a^{2}\right) \omega \frac{d \omega}{d \omega}=\frac{2 M g a^{2}}{l} \theta,
\]
где $I$ есть момент инерции блока.
Найти натяжение ниги в точках схода с блока́, когда последний повернется на угол $\theta$.
15. Однородная доска толщиною $2 h$ лежит поперек боковой поверхности круглого ненодвижного цилингра радиуса $a$ с горизонтальною осью. Диказлть, что если доску псивести в движение, то уравнение энергии будет выражаться формулою:
\[
\frac{1}{2}\left(x^{2}+h^{2}+a^{202}\right) \dot{\theta}^{2}+g\{a \theta \sin \theta-(a+h)(1-\cos \theta)\}=\text { const, }
\]
– предположении, чго движение представляет катание без скольжения.
Показать далее, чго если $a>h$, то і іризонтальное положение будет устой чивым, и что период малых колебаний будет равен перноду колебаний математического маятника длины
\[
\frac{x^{2}+h^{2}}{a-n} \text {. }
\]
14. Твердое тело, имеющее форму эллипсона с полуосями $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$, лежит на шерохиватом столе, причем малан ось $2 c$ зднимает вертикальное положение. Доказать, что существуют двз нормальных колебания и длины соолетстьующих математических малтников будут:
\[
\frac{\left(a^{2}+6 c^{2}\right) c}{5\left(a^{2}-c^{2}\right)}, \frac{\left(b^{2}+6 c^{2}\right) c}{5\left(b^{2}-c^{2}\right)} .
\]
Доказать, что более длинный период соответствует тому колебанию, которое происходит параллельно двум более коротким осям.
15. Доказать; что если в обоғотном маятнике заменить призмы (ножи) цилиндрическичи шпильками одинакового радиуса, и если периоды колебаний око:о каждой из них будут между собой равны, то длина эквивалентного матемәтического маятника равна кратчайшему расстоянию между поверхностями шнилек.
Тоґно так же доказать, что если периоды будут почти равиы, но все же булут отличаться на малую величину, то фирлула (13) §56 все еще будет давать большую степень приближения при условии, что радиусы цилиндров малы и что $h_{1}, h_{2}$ обозначают кратчайшие расстояния центра масс от поверхностей шпндек.
16. Стержень $A B$ подвешен за свои концы к двум точкам $C, D$, расположенным на оинаковой высоте, при помощи двух перекрешивающихся нитей одинаковой длины так, что $A B=C D$, причем движение стержня ограничено вертикальною плоскостью, проходящею через $C D$. Доказать, что если $A B=\angle c$, a $2 b$ есть расстояние от $A B$ до $C D$, и если $b>c$, то длина эквивалентного малематического маятника будет выражаться формулой:
\[
\frac{2\left(x^{2}+b^{2}\right) b}{b^{2}-c^{4}} \text {. }
\]
17. Колесо имсет радиус $a$, центр масс $G$ колеса расположен на расстоянии $c$ от оси. Колесо может вращаться свободно в вертикальной плоскости и при помощи нити, свешивающейся по к:сательной с одной стороны, подлерживает груз $m$. Составить уравнение энергии, выразив все члены через $I, M, \theta$ и через другие данные величины, где $M$ обозначаст массу колеса, $I$ – его момент ннериии относительно оси, а $\theta$ – угол наклона радиуса, проходящего через $G$, к вертикали.
Показать, что если равновесие вообще возможно, то положения устойчивого и. неустойчивого раьновесия чегедуются; доказать также, что период малых колебаний около устойивого положения равновесия будет:
\[
2 \pi \sqrt{\frac{I+m a^{2}}{M g c \operatorname{cus} a}},
\]
где $\alpha$ есть значения угла $\theta$ в положении равновеспя.
18. Две равных между собой материальных точки прикреплены в $B$ и $C$ к нити $A B C D$ таким образом, что $A B=C D=l, B C=2 a$ и концы $A, D$ закреплены на одинаковой высоте. В положении равновесия системы части нити $A B$, $D C$ составляют с горизонтом угол $\alpha$. Доказагь, что при колебаниях системы в вертикальной плоскости, проходящей через $A D$, длина экьивалентного математического маятника равна:
\[
\frac{t \sin a}{1+\frac{l}{a} \cos ^{3} a} .
\]
Вывести соответствующий результат для одногодного стержня $B C$, подвешенного при помощи одинаковых н ттей $A B, D C$.
19. Ось подвеса физического маятника дв жется в горизонтал ном направлепии взад и вперед, причем ее перемещение в момент времени $t$ рывно $\xi$, Долазаı, что точное уравнение движения маятника будет:
\[
t \frac{d^{2 \theta}}{d t^{2}}+g \sin \theta=-\frac{d^{2} ;}{d t^{2}} \cos \theta,
\]
где $l$ есть длина эквивалентного математического маятника.
20. С:ержень, подвешенный за один конец к неподьижной точке при помоши нити длины $l$, совершает небольшие колебания в вертикальной плоскости. Доказать, что периоды $\frac{2 \pi}{n}$ двух нормальных колебаний определяются уғавнением:
\[
n^{4}-\frac{x^{2}+a^{2}+a l}{x^{2} l} g n^{2}+\frac{g^{2} a}{x^{2} l}=0,
\]
где $a$ есть расстояние точки прикрепления нити от центра масс $G$, а $x$-радиус инерции относительно $G$.
Найти приближенные значения корней, когда $\frac{x}{l}$ и $\frac{a}{l}$ малы, и исследовать характер соответствующих колебаний.
21. Доказать, что в случае двойного маятчика (§ 68) кинетическая энергия системы е дюбом положении будет выражаться формулою:
\[
\frac{1}{2}\left(A \dot{\theta}^{2}+2 H \dot{0} \dot{\varphi}+B \dot{\varphi}^{2}\right)
\]
rдe
\[
A=M k^{2}+m a^{2}, \quad H=m a b \cos (\theta-\varphi), \quad B=m\left(b^{2}+x^{2}\right),
\]
а потенциальная энергия равна:
\[
\text { const }-M g h \cos \theta-m g(a \cos \theta+b \cos \varphi) .
\]
Доказать, что момент количеств движения отно:ительно осп $O$ равев:
\[
(A+H) \dot{\theta}+(H+B) \dot{p} \text {. }
\]
22. Однородный стержень длины $l$ приведен в движение в направлении, перпендикулярном к своей оси, с ускорением $f$ при помощи равных сил, приложенных к концам стержня. Доказать, что перерезывающая сила и изгибающий мчмент на расстоянии $x$ от одного из концов выражактся формулами:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{m f}{l}\left(\frac{1}{2} l-x\right), \\
M & =-\frac{m f}{2 l} \wedge(l-x) .
\end{aligned}
\]
Примеры XVI.
Движение под действием импульса.
1. Совершенно свободному круглому обруч сообщен удар в одной из точек окружности. Найти положение начальной мгновенной сси вращения: 1) если улап сообщен в касательном направлении, 2) если удар сообщен под прямым углом к плоскости сбруча.
2. Однородному стержню, находящемуся в покое, при помощи удара по одному из его концов сообщен импульс в перпендикулярном направлении. Дсказать, что кинетическая энергия стержня в сравнении со случаем, когда другой конеш закреплен шарнирно, будет баљье в отношении $4: 3$.
3. По полукруглой пластинке радиуса $a$ ударяют в направвении, перпендикулярном к ее плоскссти, посредине диаметра, образующего край пластинки; найти расстояние начальной оси вращения от этого диаметра.
[0,59a.]
4. Твердое тело, имеющее форм пластинки, движет я любым образом в своей плоскости. Точку $O$ пластинки внезапно закрепляют. Где должна н ходиться точка $O$, чтобы пластинка могла остановиться?
5. Квадратная пластинка свободно вращается около диагонали с угловой скоростью ш. Угол пластинки, не лежащий на этой диагонали, внезапно закрепляют. Доказать, что новая угловая скорость будет $\frac{1}{7} \omega$.
6. Пластинке, могущей свободно вращаться в своей плоскости около неподвижной точки $O$, ссобщен импульсивный момент у. Найти импульсивное давление в $O$ и доказать, \”что оно не может превосходить $\frac{1}{2} \frac{v}{x}$.
7. По стержню, необязательно однородному, ударяют в некоторой точке $A$ в направлении, перпендикулярном к его оси, Јричем скорость, сообшенная некоторой цруюй точке $Q$ стержня, равна $v$. Доказать, что если бы такой же импульс был приложен в точке $Q$, то скорость в точке $P$ имела бы одинаковое значение $v$.
8. По пластинке в точке $P$ ударяют в некотором направлении $P P^{\prime}$, лежащем в плоскости пластинки, причем составляющая скорости в другой точке $Q$. в неко́тором направлении $Q Q^{\prime}$ равна $v$. Доказать, что если такой же импульс ппиложить в точке $Q$ в направлении $Q Q^{\prime}$, то скорость в точке $P$ в нанравлении $P P^{\prime}$ будет $v$.
9. Однородный стержень длины $2 a$ при помощи нити длины $l$ привязан за один конец к неподвижной точке, около которой он вращается на гладкой горизонтальной плоскости. В какой точке нужно приложить импульс, чтобы остановить стержень?
10. Твердому телу, имеющему форму пластинки и могущему вращаться свободно около неподвижной точки $O$, посредством удара сообщают импульс $\xi$ в направлении линии, встречаюшей в точке $P$ линию $O G$ (продолжение) под прямым углом. Доказать, что сообщенная энергия меньше, чем если бы пластинка была совершенно свободна, на величи:у
\[
\frac{1}{2} \frac{\left(G P \cdot G O-x^{2}\right)^{2}}{x^{2}\left(x^{2}+U G^{2}\right)} \cdot \frac{\xi^{2}}{M} .
\]
11. Два одинаковых однородных стержня $A B, A C$, соединенных в $A$ идеальным (без трения) шарниром, џаходятся в покое, составляя прямой угол. Доказать, что если ударить в точке $C$ в направлении, перпендикулярном к $A C$, то начальные скорости центров стержней $A B$ и $A C$ будут относиться, как $2: 7$.
12. $A B$ и $C D$ – два одинаковых параллельных однородных стержня, причем точки $A, C$ соединены нитью, перпендикулярной к обоим стержням. Доказать, что если нанести удар в точку $B$ под прямым углом к $A B$, то начальная скорость точки $B$ будет в. семь раз больше скорости точки $D$.
13. Четыре одинаковых однородных стержня, соединенных друг с другом шарнирами без трения, находятся в покое, образуя квадрат. Доказать, что если к одному из стержней приложить импульсивный момент, то его начальная угловая скорость будет в восемь раз меньше, чем если бы он был совершенно свободен.
14. Три одинаковых однородных стержня $A B, B C, C D$, соединенных шарнирами в $B$ и $C$ и образующих прямую горизонтальную линию, начинают двигаться без начальной скорости в вертикальной плоскости, причем крайние стержни находятся в соприкосновении с гладкими колышками в $A$ и $D$. Доказать, что начальное ускорение среднего стержня будет $\frac{6}{5} \mathrm{~g}$.
Почему оно больше, чем $g$ ?
15. Два стержня с массами $m_{1}, m_{2}$ и длинами $2 a_{1}, 2 a_{2}$ составляют одну прямую, будучи соединены своими концами при помощи шарнира. Если любому из стержней при помощи удара сообщить импульсивный момент $y$, то начальная угловая скорость другого стержня будет:
\[
-\frac{a_{1} a_{2}}{\left(a_{1}^{2}+x_{1}^{2}\right) m_{2} x_{2}^{2}+\left(a_{2}^{2}+x_{2}^{2}\right) m_{1} x_{1}^{2}} \cdot
u
\]
где $x_{1}, x_{2}$ суть радиусы инерцни обоих стержней относительно их центров масс в предположении, что последние находятся посредине стержней.
16. Два одинаковых однородных стержня, концы которых соединены тарниром, подвешены в вертикальном положении за один из свободных концов. Если к нижнему стержню приложить импульсивный момент $у$, то получающаяся при этом энергия будет $\frac{6}{7} \frac{y^{2}}{M a^{2}}$, где $M$ есть масса, а $2 a$ – длина каждого стержня.
17. Однородный стержень длины $2 a$ лежит симметрично без движения на двух колышках, находящихся на горизонтальной линии на расстоянии $2 c$ друг от друга. Предполагается, что колышки имеют достаточно шероховатую поверхность, чтобы предупредить скольжение. Один из концов стержня приподнят и затем опущен; рассмотреть последующее движение в предположении, что стержень при каждом ударе о колышек не отскакивает от этого колышка.
Доказать, что если $c^{2}<\frac{1}{3} a^{2}$, то угловая скорость при каждом ударе мгновенно уменьшается в отношении
\[
\frac{a^{2}-3 c^{2}}{a^{2}+3 c^{2}} \text {. }
\]
