Предылущие формулы имеют важное применение в теории сферического маятника или в теории движения материальной точки под действием силы тяжести на гладкой сферическои поверхности.

Если $a$ есть длина нити (или радиус сферы) и если ось $O Z$ сферической системы координат направлена вертикально вниз, то уравнение энергии будет:
\[
\frac{1}{2} m a^{2}\left\{\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}+\sin ^{2} \theta\left(\frac{d \psi}{d t}\right)^{2}\right\}=m g a \cos \theta+\text { const.; }
\]

с другой стороны, теорема о моменте количества движения приводит к равенству:
\[
\sin ^{2} \theta \frac{d \phi}{d t}=\text { const. }=h .
\]
1) Аналогично объясняется направленне пассатов.

Исключая $\frac{d \phi}{d t}$, получим:
\[
\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}+\frac{h^{2}}{\sin ^{2} \theta}-\frac{2 g}{a} \cos \theta=\text { const. }
\]

Диференцируя и деля на $\frac{d \theta}{d t}$, будем иметь:
\[
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}-\frac{h^{2} \cos \theta}{\sin ^{3} \theta}=-\frac{g}{a} \sin \theta .
\]

Имея в виду дальнейшее применение, заметим, что это уравнение эквивалентно следующему:
\[
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}-\sin \theta \cos \theta\left(\frac{d \phi}{d t}\right)^{2}=-\frac{g}{a} \sin \theta .
\]

Очевидно, что если траектория проходит через наинизшую или наивысшую точки сферы, то траекториею должен быть вертикальнни круг. Если мы исключим из рассмотрения эгот случай, то будут существовать верхний и нижней пределы для значений $\theta$; кроме того, на основании такого же рода рассуждений, как в теории линии апсид центральной орбиты (§88), очевидно, что траектория симметрична относительно плоскости меридиана, проходящей через точку, в которой направление движения горизонтально. Следовательно, траектория расположена между двумя горизонтальными кругами, которых она последовательно касается через равные интервалы азимутального угла.

Если два предельных круга совпадают, то мы имеем случай конического маятника. Так как тогда величнна $\theta$ постоянна, то мы на основании (5) имеем:
\[
\left(\frac{d \psi}{d t}\right)^{2}=\frac{g}{a \cos \theta} .
\]

что совпадает с (5) $\S 35$.
Если мы несколько выведем маятник из этого состояния установившегося движения по горизонтальному кругу, то предельные круги слегка раздвинутся, и траектория будет касаться поочередно то одного, то другого круга. Если иы положим
\[
\theta=\alpha+\xi,
\]

где предполагается, что $\xi$ мало, то после подстановки в (4) и оставления только первых степеней $\xi$ получим:
\[
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+\left(\frac{h^{2}}{\sin ^{2} \alpha}+\frac{3 h^{2} \cos ^{2} \alpha}{\sin ^{4} \alpha}\right) \xi=-\frac{g}{a} \cos \alpha \cdot \xi
\]

при условии
\[
\frac{h^{2} \cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha}=\frac{g}{a} \sin \alpha \text {. }
\]
На основании (4) это будет условием установившегося движения по горизонтальному кругу с угловым радиусом $\alpha$. Согласно предположению это условие выполняется на возмущенной траектории с очень большим приближением, и при незначительном изменении значения $\alpha$ условие может быть выполнено точно (см. § 87). Если мы положим
\[
\omega^{2}=\frac{g}{a \cos \alpha} \text {, }
\]

то получим:
\[
h^{2}=\omega^{2} \sin ^{4} \alpha,
\]

и уравнение (8) сведется к уравнению:
\[
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+\left(1+3 \cos ^{2} \alpha\right) \omega^{2} \xi=0 .
\]

Следовательно, период малых колебаний значения $\theta$ будет
\[
\frac{2 \pi}{\omega} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+3 \cos ^{2} \alpha}} \text {. }
\]

Так как на основании (6) и (10) мы имеем приближенное равенство
\[
\frac{d \varphi}{d t}=\omega,
\]

то интервал азимута между максимумом количества $\theta$ и последующим минимумом будет равен
\[
\frac{\pi}{\sqrt{1+3 \cos ^{2} \alpha}} \text {. }
\]

Это количество можно назвать апсидальным углом; если угол наклона $\alpha$ будет мал, то апсидальный угол будет почти равен $\frac{1}{2} \pi$, как это уже известно из § 29.

ПРимв Р. В качестве видоизменения этой задачи мы можем рассмотреть движение материальной точки на гладком параболоиде вращения, ось которого вертикальна.

Обозначим через $r, \theta$ полярные координаты проекции движущейся точки на горизонтальную плоскость, а через $z$ — высоту над горизонтальною плоскостью, проходящею через вершину. Тогда имеем:
\[
r^{2}=4 a z, \quad \dot{z}=\frac{r \dot{r}}{2 a},
\]

где $4 a$ есть параметр образующей параболы. Следовательно, кинетическая энергия будет выражаться формулою:
\[
\frac{1}{2} m \cdot\left(\dot{z}^{2}+\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}\right)=\frac{1}{2} m\left\{\left(1+\frac{r^{2}}{4 a^{2}}\right) \dot{r}^{2}+\min ^{2}\right\} .
\]
a потенциальная энергия будет выражаться формулою:
\[
m g z=\frac{m g r^{2}}{4 a} .
\]

Далее, мы имеем:
\[
\left(1+\frac{r^{2}}{4 a^{2}}\right) \dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}_{2}+\frac{g r^{2}}{2 a}=\text { const. }
\]

и
\[
r^{2 \theta}=h
\]

последнее равенство выражает теорему о моменте количества движения.
Исключая $\dot{\theta}$, получим:
\[
\left(1+\frac{r^{2}}{4 a^{2}}\right) \dot{r}^{2}+\frac{h^{2}}{r^{2}}+\frac{g r^{2}}{2 a}=\text { const. }
\]

откуда после диференцирования будем иметь:
\[
\left(1+\frac{r^{2}}{4 a^{2}}\right) \ddot{r}+\frac{\dot{r}^{2}}{4 a^{2}}-\frac{h^{2}}{r^{3}}+\frac{g r}{2 a}=0 .
\]

Для того чтобы материальная точка могла описывать горизонтальный круг, это уравнение должно удовлетворяться при $r=$ const., откуда
\[
h^{2}=\frac{g r \dot{q}}{2 a} \text {. }
\]

Если мы обозначим угловую скорость на этом круге через $\omega$, то $h=r^{2} \omega$, и, следовательно,
\[
\omega^{2}=\frac{g}{2 a} .
\]

Это количество не зависит от радиуса круга.
Чтобы исследовать влияние незначительного возмущения на движение по горизонтальному кругу, положим в (22)
\[
r=r_{0}+x
\]

и оставим только члены первого порядка относительно $x$, которое предположим малым. Мы получим
\[
\left(1+\frac{r_{0}^{2}}{4 a^{2}}\right) \ddot{x}+\frac{3 h^{2}}{r_{0}^{4}} x+\frac{g}{2 a} \dot{x}=0,
\]

или, полагая по аналогии с (23) $h^{2}=\frac{g r_{0}^{4}}{2 a}$ :
\[
\left(1+\frac{r_{0}^{2}}{4 a^{2}}\right) \ddot{x}+\frac{2 g}{a} x=0 .
\]

Полагая
\[
r_{0}^{2}=4 a z_{0},
\]

нолучим:
\[
\ddot{x}+\frac{2 g}{z_{0}+a} x=0 .
\]

Сведовательно, период малых колебаний около горизонтального круга равен периоду колебаний математического маятника, длина которого равна $\frac{1}{2}\left(z_{0}+a\right)$ иди половине расстояния окружности круга от фокуса параболы.