Чтобы решить обратную задачу, т. е. определить, при каком законе для силы с заданным центром может быть описана даннал орбита, мы должны только продиференцировать по. $r$ формулу:
\[
\frac{h^{2}}{p^{2}}=C-2 \int \varphi(r) d r
\]

Ма получим:
\[
\varphi(r)=\frac{h^{2}}{p^{3}} \frac{d D}{d r} .
\]

Так как тангенциальное полярное уравнение заданной орбиты определяег $p$ в функции от $r$, то искоиый закон-найен.

Формула (2) может быть пэлучена более прямым путем следующим образом. В проекции на нормаль к траектории мы имеем:
\[
\frac{v^{2}}{\rho}=\varphi(r) \sin \varphi,
\]

где $\rho$ есть раднус кривизны, а $\varphi$-угол, который касательная составляет с радиусом-вектором (фиг. 81). Полагая
\[
v=\frac{h}{p}, \sin \varphi=\frac{p}{r},
\]

мы по нижеследующей известной формуле анализа
\[
\rho=r \frac{d r}{d p}
\]

получим снова результат (2).
Так как хорда круга кривизны, проходящาя через центр силы, равна $2 \rho \sin \varphi$, то формула (3) выражает, что скэр сть в любой точке ор5иты равна той скорости, которую материальная точка приобрела бы при падении без начальной скорости с расстояния, равного однои четверти рассматриваемой хораы, при постоянном ускорении, равном действительному ускорению $\varphi(\eta$. Формулою, эквизалентною вышеука занной, пользовался Ньютон при исследовании этого вопроса геометрическим путем.

ПРимер 1. Рассматривая случай эллипса, с геометрическим центром котоporo совпадает центр силы, мы имеем:
\[
\frac{a^{2} b^{2}}{p^{2}}=a^{2}+b^{2}-r^{2}
\]

и на основании (2) искомый закон будет:
\[
\varphi(r)=\frac{h^{2}}{a^{2} b^{2}} \cdot r .
\]

Следовательно, материальная точка может описывать эллипс в случае закона
\[
\varphi(r)=\mu r
\]

только- при условии
\[
h=\sqrt{\mu} \cdot a b .
\]

Чтобы исследовать, какую из орбит данного типа будет описывать материальная точка при законе (7), какие бы ни были начальные условия, заметим, что эти условия заключаются в задании начального положения, касательной и значения момента количеств движения $h$. В рассматриваемом случае последнее услоо построении эллипса с заданным центром и с заданной площадью, проходящего через данную точку и касающетося в этой точке данной прямой, возможно и залача имеет определенное решение. Эта задача тождественна с задачей о построении эллипса, имеющего два заданных сопряженных диаметра.

ПРимЕР 2. В случае конического сечения, отнесенного ь внутреннему фокусу, мы имеем:
\[
\frac{l}{p^{2}}=\frac{2}{r} \mp \frac{1}{a} \text {, }
\]

откуда
\[
\varphi(r)=\frac{h^{2}}{l} \cdot \frac{1}{r^{2}} .
\]

Следовательно, тилько закон обратной пропорциональности квадрату расстояния совместим с первым згконом Кеплера, согласно которому планета при отсутствии возмущ ющих масс описывает эллиис с Солнцем в фокусе (см. § 80).

Мы видим, что материальная точка может описывать коническое сечение около рассматриваемого фокуса при действии закона
\[
\varphi(r)=\frac{\mu}{r^{8}}
\]

при условии
\[
h=\sqrt{\mu \bar{l}} .
\]

Пғи законе (11) этот тип орбиты является общим.
В самом деле, задача о постро нии конического сечения с фокусом в данной точке, касающегося в данной точке данной прямой и такого, чюобы параметр (длина хорды. про одящей через фокус перпендикулярно оси) был равен заданной величине, имеет вполне определенное решение. Действительно, если $p, r$ и $l$ заданы, то уравнение (9) определяет $a$, а следовательно, и положение второго фокуса (см. $\S 77$ ).

Пример 3. Тангенциально-полярное уравнение круга, отнесенное к точке окружности, имеет вид:
\[
p=\frac{r}{c},
\]

где $c$ есть диаметр. Следовательно, из формулы (2) имеем:
\[
\varphi(r)=\frac{2 h^{2} c^{3}}{r^{3}} \text {. }
\]

или
\[
\varphi(r)=\frac{\mu}{r^{3}} .
\]
rде
\[
c^{2}=\frac{\mu}{2 \hbar^{2}} .
\]

Следовательно, сила должна изменяться обратно пропорционально пятой степени расстояния; но нужно заметить, что рассматривлемая орбита не является общим типом орбиты для данного закона Круг, проведенныи таким образом, чтобы он проходил через центр силы и через две друтих даннхх (совпадающих) точки, не будет иметь вообще такого диаметра $c$, который требуется формулою (16) для удовлетворения налальным условияи, относящимся к моменту количеств движения, если только эти условия не будут специально подобраны.
ПРимеР 4. Для логарифмической спирали мы имеем:
\[
p=r \sin \alpha,
\]

и закон для силы, центр которой находится в полюсе, будет выражаться формулою:
\[
\varphi(r)=\frac{h^{2}}{\sin ^{2} \alpha} \cdot \frac{1}{r^{3}},
\]

или
\[
\varphi(r)=\frac{\mu}{r},
\]

если
\[
\sin ^{2} \alpha=\frac{h^{2}}{\mu} .
\]

Но эта орбита не является общим типом орбит, когда сила изменяется обратно пропорционально кубу расстояния, так как логарифмическая спираль, имеющая данный полюс, полностью определяется двумя совпадачщими точками на ней, и, следовательно, угол $\alpha$ не будет вообе удовлетворять соотношению (20).

Полное исследов ‘ние всех орбит, которые материальная точ‘а может описывать при действии силы, подчиненной закону (19), дано ниже (\$91).