Рассмотрим теперь, как изменяются вследствие сопротивления вынужденные колебания того типа, который мы изучали в § 13. Прибавив к правой части уравнения (1) § 94 член $X$, представляющий ускорение, сообщаемое возмущающею силою, мы получим:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k \frac{d x}{d t}+\mu x=X .
\]

Это уравнение сразу дает выражение для силы, необходимой для осуществления движения требуемого типа. Именно, чтобы можно было поддерживать простое гармоническое колебание
\[
x=a \cos p t,
\]

мы должны иметь:
\[
X=a\left\{\left(\mu-p^{2}\right) \cos p t-k p \sin p t\right\} .
\]

Если мы положим
\[
\mu-p^{2}=R \cos \alpha, \quad k p=R \sin \alpha,
\]

что всегда можно сделать при надлежащем выборе $R$ и $a$, то получим:
\[
X=R a \cos (p t+a) .
\]

Следовательно, полагая $R a=f$ и заменяя $p t$ через $p t-a$, что эквивалентно изменению начала отсчета $t$, мы найдем, что возмущающей силе
\[
X=f \cos p t
\]

будет соответствовать вынужденное колебание
\[
x=\frac{f}{R} \cos (p t-\alpha) .
\]

Конечно, это выражение не прелставляет полного решения уравнения (1) с выражением (6) для $X$. Мы вправе к этому выражению добавить любое выражение для $x$, обращающее левую часть уравнения (1) в нуль. Таким образом в случае $k^{2}<4 \mu$ мы имеем решение:
\[
x=e^{-\frac{1}{2} k t}(A \cos n t+B \sin n t)+\frac{f}{R} \cos (p t-\alpha),
\]

где $n$ определяется по формуле (10) из § 94. Произвольные постоянные $A, B$ будут зависеть от начальных условий.

Мы видим, что первая часть решения (8) представляет свободные колебания, которые материальная точка совершала бы при отсутствии возмущающей силы, причем на эти колебания накладываются еще вынужценные колебания. Благодаря неограниченному уменьшению показательного множителя амплитуда свободных колебаний, а вместе с тем и влияние начальных условий, постепенно уменьшается, и по истечении известного времени вынужденные колебания будут представлены почти одним последним членом. Такое же заключение действительно также и в случаях $k^{2}>4 \mu$ и $k^{2}=4 \mu$.

Относительно вынужденных колебаний необходимо сделать несколько существенных замечаний. Первое замечание ттносится к амплитуде $\frac{f}{R}$.
На основании (4) мы имеем:
\[
R^{2}=\left(\mu-p^{2}+k^{2} p^{2}=\left\{p^{2}-\left(\mu-\frac{1}{2} k^{2}\right)\right\}^{2}+k^{2}\left(\mu-\frac{1}{4} k^{2}\right) .\right.
\]

Если $k^{2}<2 \mu$, то это выражение, рассматриваемое как функция от $p$, будет иметь минимальное значение при
\[
p^{2}=\mu-\frac{1}{2} k^{2},
\]

и максимальная амплитуда будет равна
\[
\frac{f}{k n} \text {. }
\]

Если количество $k$ будет в сравнении с $\sqrt{\mu}$ мало, то амплитуда будет иметь максимум почти при $p=\sqrt{\mu}$, т. е. когда период возмущающей силы равен периоду свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Благодаря тому, что множитель $k$ входит в знаменатель выражения (11), максимум амплитуды относительно велик. При качании маятника в воздухе этот максимум можно сделать настолько большим, насколько это совместимо с законностью приближений, на которых базируется основное уравнение (1).

Точно также имеют важное значение и условия, относящиеся к фазе. Формула (7) показывает, что фаза вынужденного колебания отстает от фазы возмущающей силы на величину $a$, которая определяется посредством формул (4). Так как $\sin \alpha$ представляет положительную величину, а $\cos \alpha$ – положительную или отрицательную в зависимости от того, будет ли $p^{2}>\mu$ или $p^{2}<\mu$, то угол $\alpha$ может быть в первой или второй четверти в зависимости от того, будет ли период возмушающей силы больше или меньше периода свободных колебаний при отсутствии трения. Кроме того, так как
\[
\operatorname{tg} a=\frac{k p}{\mu-p^{2}},
\]

то $\alpha$ в соответствующих случаях при незначительном затухании будет вообще почти равно нулю или $\pi$. То же мы могли бы предвидеть на основании § 13 , в котором мы нашли, что при отсутствии трения фазы совпадают или противоположны. Но когда имеет место почти полное совпадение периодов или точнее, когда разность между $\frac{p}{\sqrt{\mu}}$ и единицею в сравнении с $\frac{k}{p}$ мала, то угол $\alpha$ приближается к $\frac{1}{2} \pi$ с той или другоћі стороны, и в случае максимального резонанса, когда $p=\sqrt{\mu}$, мы имеем $a=\frac{1}{2} \pi$, т. е. максимальное перемещение следует за максимумом силы через четверть периода, так что фазы силы и скорости совпадают между собой.

Вопрос о фазе тесно связан с вопросом о кинетической энергии. Когда $\alpha=0$, то работа, затраченная за полпериода, возвращается за другую половину периода, и в итоге энергия не теряется. В общем случае скорость изменения работы, идущей на поддержание колебаний с трением, на основании (6) и (7) будет выражаться формулою:
\[
x \frac{d x}{d t}=-\frac{p f^{2}}{R} \sin (p t-\alpha) \cos p t=\frac{p t^{2}}{2 R}\{\sin \alpha-\sin (2 p t-\alpha)\} .
\]

Среднее значение второго члена в скобках равно нулю и, следовательно, средняя потеря энергии в единицу времени равна
\[
\frac{p f^{2} \sin \alpha}{2 R}=\frac{k p^{2} f^{2}}{2 R^{2}}=\frac{\frac{1}{2} k f^{2}}{k^{2}+\left(p-\frac{\mu}{p}\right)^{2}} .
\]

Поэтому расход энергии будет максимальным при $p=\sqrt{\mu}$, т. е. когд: период накладываемых колебаний в точности совпадает с периодом свободных колебаний при отсутствии трения.
Максимальная потеря энергии составляет
\[
\frac{f^{2}}{2 k} \text {, }
\]

и, следовательно, она будет тем больше, чем меньше значение $k$.
Чтобы показать влияние небольшого отклонения от точного совпадения, мы можем положить
\[
\frac{p}{\sqrt{\mu}}=1+z,
\]

предполагая, что величина $z$ незначительна. Тогда выражение (14) для теряемой кинетической энергии можно представить приближенно в виде:
\[
\frac{f^{2}}{4 \sqrt{\mu}} \cdot \frac{\beta}{\beta^{2}+z^{2}},
\]

где
\[
\beta=\frac{k}{2 \sqrt{\mu}} \text {. }
\]

Следовательно, теряемая кинетическая энергия падает до половины максимума при $z=\beta$, или при
\[
p=\sqrt{\mu}+\frac{1}{2} k .
\]

График функции
\[
\frac{\beta}{\beta^{2}+2^{2}}
\]

показан на фиг. 92 для трех различных значений $\beta$. Площадь, заключенная между’
кривою и осью абсцисс, не зависит от $\beta$; большие значения вблизи максимальной ординаты, получающиеся для малых значений $\beta$, компенсируются более быстрым падением по обе стороны от максимальной ординаты. Чем больше интенсивность резонанса в случае точного совпадения периодов, тем у́же тот интервал, на котором ордината приблизительно равна максимуму. Это имеет некоторые замечательные применения в акустике. Например, трудно возбудить сильные резонирующие колебания камертонов или рояльных струн, свободные колебания которых вследствие рассеяния энергии затухают медленно, если периоды накладываемых и свободных колебаний значительно отличаются одно от другого. Наоборот, столбу воздуха в органной трубе соответствует сравнительно широкий диапазон частот.

Подобные заключения имеют место и в отношении квадрата амплитуды или полной энергии колебаний.

В современных сейсмографах введены успокоительные приспособления для уменьщения свободных колебаннй. Например, в сейсмографе Голицина к маятнику прикреплена металлическая пластинка, совершающая колебания в собственной плоскости в магнитном поле таким образом, что действие магнита на электрические токи, индуктируемые в пластинке, создает сопротивление, пропорциональное скорости.

Рассмотрим, например, слуяай горизонтального маятника (§ 55, 67). Уравнение движения с успокоением имеет вид:
\[
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+k \frac{d \theta}{d t}+\mu \theta=-\frac{1}{l} \frac{d^{2} t}{d t^{2}}
\]

где в представляет перемещение оси, перпендикулярное к положению равновесия горизонтального маятника сейсмографа. Следовательно, вынужденные колебания, обусловленные движением
\[
\xi=a \cos p t
\]

штатива инструмента, при применении прежних обозначений, будут происходить по закону:
\[
\theta=\frac{a}{l} \cdot \frac{p^{2}}{R} \cos (p t-a)
\]

Отношение амплитуды колебаний точки горизонтального маятника относительно штатива к амплитуде колебаний самого штатива зависит от множителя
\[
\frac{p^{2}}{R}=\frac{p^{2}}{\sqrt{\left(\mu-p^{2}\right)^{2}+k^{2} p^{2}}} .
\]

В инструментах Голицина демпфирование (успокоение) сделано таким, чтобы свободные колебания соответствовали предельной динии апериодичности, т. е. $k^{2}=4 \mu$. В этом случае множитель (24) принимает более простой вид:
\[
\frac{p^{2}}{p^{2}+\mu}
\]

Это количество почти не зависит от $p$, пока значение $p$ велико в сравнении с $\sqrt{\mu}$, т. е. пока период вынужденных колебаний в сравнснии с периодом незатухающих свободных колебаний мал.

В рассматриваемых инструментах регистрация (завись) производится при помощй гальванометра. При этом методе, о котором мы говорили в § 67 , показания зависят не от углового перемещения $\theta$, а от угловой скорости $\frac{d \theta}{d t}$. Вследствие применения гальванометра приходится вводить новый множитель, зависящий от закона колебаний зеркальца гальванометра; колебания зеркальца также успокаивают (демпфируют) так, чтобы достичь предельной линии апериодичности. В соответствии с этим масштаб, в котоғом записывается (регистрируется) скорость почвы, определяется множителем вида:
\[
\frac{p^{2}}{\left(p^{2}+\mu\right)\left(p^{2}+\mu^{\prime}\right)} \cdot
\]

Этот множитель для значений $p^{2}$, близких к значению $\sqrt{\mu \mu^{\prime}}$, для которого он имеет максимальное значение, изменяется очень медленно. На практике периоды свободных колебаний гальванометра и сейсмографа делают по возможности равными, так, чтобы было $\mu=\mu^{\prime}$.