Важную иллюстрацию относительного движения дает теория эпициклического движения. Если точка $Q$ описывает круг около неподвижного центра $O$ с постоянною угловою скоростью, и в то же время точка $P$ движется относительно точки $Q$ также по кругу с постоянною угловою скоростью (фиг. 20), то траектория точки $P$ называется „эпициклическою“.

Очевидно, что координаты точки $Q$ относительно прямоугольных осей, проходящих через точку $O$, будут иметь следующие выражения:
\[
x=a \cos (n t+\varepsilon), \quad y=a \sin (n t+\varepsilon),
\]

где $n$ обозначает угловую скорость точки $Q$ в ее круговом движении, а $a$-радиус этого круга. С другой стороны, если мы построим параллелограм $O Q P Q^{\prime}$, то координаты точки $Q^{\prime}$ будут:
\[
x=a^{\prime} \cos \left(n^{\prime} t+\varepsilon^{\prime}\right), \quad y=a^{\prime} \sin \left(n^{\prime} t+\varepsilon^{\prime}\right),
\]

где $a^{\prime}=O Q^{\prime}=Q P$, а $n^{\prime}$ обозначает угловую скорость радиуса $Q P$ или $O Q^{\prime}$. Так как
\[
O P=O Q+Q P=O Q+O Q^{\prime},
\]

то координаты точки $P$ будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=a \cos (n t+\varepsilon)+a^{\prime} \cos \left(n^{\prime} t+\varepsilon^{\prime}\right) \\
y=a \sin (n t+\varepsilon)+a^{\prime} \sin \left(n^{\prime} t+\varepsilon^{\prime}\right)
\end{array}\right\}
\]

Фиг. 20.
Очевидно, что траекторию точки $P$ можно также рассматривать как траекторию точки, описывающей круг относительно $Q^{\prime}$, в то время как $Q^{\prime}$, описывает круг около $O$, причем угловые скорости в обоих движениях постоянны и равны соответственно $n$ и $n^{\prime}$.

Если угловые скорости $n, n^{\prime}$ имеют одинаковые знаки, т. е. если вращение совершается в одном и том же направлении, то эпициклика будет называться „прямой“, в противном случае она называется ${ }_{n}$ обратной“. Траектория будет замкнутою кривою, если угловые скорости $n, n^{\prime}$ будут относиться одна к другой, как два целых числа (т. е. будут соизмеримыми), в противном случае кривая будет незамкнутой. Прилагаемая фиг. 21 показывает два случая, соответствующих равенствам $n=5 n^{\prime}$ и $n=-3 n^{\prime}$.

Относительная орбита двух точек, описывающих концентрические круги с постоянными угловыми скоростями, будет также эпициклической. Так, например, на фиг. 20 вектор $Q Q^{\prime}$ представляет геометрическую разность векторов $O Q^{\prime}$ и $O Q$, и следовательно, его проекции на оси координат получаются путем изменения на обратный знак $\boldsymbol{a}$ в (4), или (что то же) путем увеличения значения $\varepsilon$ на $\pi$.

Например, если пренебречь эксцентричностью планетных орбит и их наклоном к плоскости эклиптики, то траектория любой планеты относительно Земли будет эпициклическою. Относительные орбиты имеют петли, похожие на петли в первом случае (фиг. 21), так что движение планет, как мы его видим с Земли и как оно проектируется на небесном своде, нам кажется останавливающимся и изменяющимся на обратное через правильные промежутки времени. Таково объяснение существования „точек стояния “ и „обратного движения \», которыми отличаются формы видимых планетных орбит ${ }^{1}$ ).