При действии центральной силы притяжения, представляющей функцию одного расстояняя, круговая орбита всегда возможна при устовии выо́ора надлежащих начальных усло: вий. Если а есть радиус орбиты, $\omega$ – угловая скорость движения по орбите, а $\varphi(r)$ – ускорение на расстоянии $r$, направленное к неподвижному центру, то мы должны иметь:
\[
\omega^{2} a=\varphi(a) .
\]

Следовательно, момент количеств движения определяется по формуле:
\[
h^{2}=\omega^{2} a^{4}=a^{3} \varphi(a) .
\]

Это приголит нас к рассмотрению почти круговой орбиты. В частности, мы можем исследовать, будет ли круговое движение устойчивым, т. е. будет ли материальная точка, сошедшая под действием незначительной возмущающей силы со своей круговой орбиты, оставаться всегда вблизи этого круга или нет.
Если мы исключим $\frac{n \theta}{d t}$ из уравнений
\[
\frac{d^{2} r}{a t^{2}}-r\left(\frac{d^{\theta}}{d t}\right)^{2}=-\varphi(r), \quad r^{2} \frac{d \eta}{d t}=h,
\]

то получим, как выше:
\[
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}-\frac{h^{2}}{r^{3}}=-\varphi(r) .
\]

Полагая
\[
r=d+x
\]

и предполагая количество $x$ малым, мы будем иметь приближенное уравнение:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-\frac{h^{2}}{a^{3}}\left(1-\frac{3 x}{a}\right)=-\varphi(a)-x p^{\prime}(a) .
\]

Из этого уравнения следует, что количество $a^{3} p(a)$ должно быть почти равно $h^{2} 1$ ), т. е. радиус круговой (робиты, от которой по предполэжению точка слегка отходит, должен быть связан с моментом количесıва движения соотношением (2), очень близким к действительному. Слддователь:о, путем незначительного изменения постоянного $a$ в (5) мы можем сделать так, чтобы это условие было выполнено точно. На этом основании мы имеем:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\left\{\psi^{\prime}(a)+\frac{3}{a} \varphi(a)\right\} x=0 .
\]

Следовательно, если
\[
\varphi^{\prime}(a)+\frac{3}{a} \varphi(x)>0,
\]
1) Это витекает из сравнения между собой членов, не содержащих $x$ в обеих частях уравнения, Прим. ред.

то изменения $x$ будут простыми гармоническими колебаниями, а именно:
\[
x=C \cos (n t+\varepsilon),
\]

где
\[
n^{2}=\varphi^{\prime}(a)+\frac{3}{a} \varphi(a) .
\]

Следовательно, условие (8) является условием устойчивости.
Выражая соответствующие количества через $\omega$, мы на основании (1) имеем:
\[
\frac{n^{2}}{\omega^{2}}=\frac{a \varphi^{\prime}(a)}{\varphi(a)}+3 .
\]

В случае силы, пропорциональной какой-либо степени расстояния, напғимер
\[
\varphi(r)=\frac{\mu}{r^{5}},
\]

будет
\[
\frac{n^{2}}{\omega^{2}}=3-s .
\]

Следовательно, круговая форма орбиты устойчива, если $s<3$, и неустойчива, если $s>3$. В случае $s=3$ орбиту следует считать также неустойчивой, так как мы имеем для нее:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=0, \quad x=A t+B,
\]

что указывает на прогрессирующее увеличение абсолютного значения $x$.
Общий признак (8) можно истолковать следующим образом: для устойчнвости необходимо, чтобы центральная сила вблизи круга уменьшалась в направлении наружу или увеличивалась в направлении внутрь с менышею скоростью, чем в случае, когда она изменяется обратно пропорционально кубу расстояния.

Из формулы (9) следует, что период полного колебания длины радиусавектора равен $\frac{2 \pi}{n}$. В случае $\varphi(r)=\mu r$ мы, полагая $s=-1$ в (13), найдем, что $n=2 \omega$, и, следовательно, рассматриваемый период равен половине периода обращения. Далее, если $\varphi(r)=\frac{\mu}{r^{2}}$, так что̂ $s=2$, то мы имеем $n=\omega$, и период колебаний длины радиуса-вектора равен периоду обращения. Конечно, это совпадает с тем, что мы знаем о точной орбите.
ПРимЕР. В задаче 4 § 86 мы име̂еิм:
\[
\ddot{r}-\frac{h^{2}}{r^{3}}=-\frac{m^{\prime}}{m+m^{\prime}}\left(g+\frac{h^{2}}{r^{3}}\right),
\]

или
\[
\left(m+m^{\prime}\right) \ddot{r}-\frac{m h^{2}}{r^{3}}=-m^{\prime} g \text {. }
\]

Следовательно, для круговой орбиты радиуса $a$ мы должны иметь:
\[
m h^{2}=m^{\prime} g a^{3} \text {. }
\]

Полагая $r=a+x$, мы приближенно найдем:
\[
\left(m+m^{\prime}\right) \ddot{x}+\frac{3 m^{\prime} g}{a} x=0 .
\]

Следовательно, кгуговая орбита является устойчивою, и период малых колебаний выражается приближенною формулою:
\[
2 \pi \sqrt{\frac{m+m^{\prime}}{3 m^{\prime}} \cdot \frac{a}{g}}
\]