Если мы сравним моменты количеств движения материальной системы относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс $G$ системы, то мы придем к следующей теореме кинематики.

Момент количеств движения системы относительно любой оси равен сумме момента количеств движения относительно той же оси всей массы системы, предполагая ее сосредоточенною в $G$ и движущеюся вместе с этою точкою, и момента относительно параллельной оси, проходящей через $G$, количеств движения относительно $G$.

Действительно, если, как обычно, представить в следующем виде формулы для координат материальной точки $m$, отнесенных к неподвижным прямоугольным осям:
\[
x=x_{0}+\xi, \quad y=y_{0}+\eta, \quad z=z_{0}+\xi,
\]

то момент количеств движения системы относительно оси $z$ согласно $\S 53$ будет:
\[
\begin{aligned}
\Sigma m(x \dot{y}-y \dot{x}) & =\Sigma m\left[\left(x_{0}+\xi\right)\left(\frac{d y_{0}}{d t}+\dot{\eta}\right)-\left(y_{0}+\eta\left(\frac{d x_{0}}{d t}+\dot{\xi}\right)\right]=\right. \\
& =\Sigma(m) \cdot\left(x_{0} \frac{d y_{0}}{d t}-y_{0} \frac{d x_{0}}{d t}\right)+\Sigma m(\xi \dot{\eta}-\eta \dot{\xi})
\end{aligned}
\]

причем опущенные члены пропадают седствие соотношений:
\[
\begin{array}{ll}
\Sigma(m \xi)=0, & \Sigma\left(m r_{i}\right)=0, \\
\Sigma(m \dot{\xi})=0, & \Sigma(m \dot{\eta})=0,
\end{array}
\]

как в теореме, изложенной в § 46.
Первый член в правой части равенства (2) представляет момент количеств движения относительно $O z$ массы $\Sigma(m)$, движущейся вместе с $G$, а второй член представляет момент относительно прямой, проходящей через $G$ параллельно $O z$, количеств движения относительно $G$. Так как за ось $z$ может быть принята любая ось, то теорема до азана.

Эта же теорема очень просто доказывается при помощи векторных обозначений. Если $P$ есть положение какой-либо точки $m$ системы, то количество движения ( $m v$ ) точки $m$ можно разложить на два составляющих, прохсдящих через $P$, по формуле:
\[
m v=m v_{0}+m v_{1},
\]

где $\boldsymbol{v}_{0}$ представляет скорость точки $G$, а $\boldsymbol{v}_{1}$ – скорость точки $m$ относительно $G$ (фиг. 51). Составляющие $m v_{0}$ представляют скользящие параллельные векторы, пропорциональные соответствующим массам $m$, и, следовательно, эквивалентны одному скользящему вектору $\boldsymbol{\Sigma}(m) \cdot \boldsymbol{v}_{0}$, проходящему через точку $G$. Следовательно, момент количеств движения относительно любой оси равен моменту этого вектора, сложенному с суммою моментов векторов $m v_{1}$, предположенных расположенными вдоль прямых, проходящих через соотвегствющие точки $P$. Так как $\boldsymbol{\Sigma}\left(m \boldsymbol{v}_{1}\right)=0$, то сумма моментов векторов $m v_{1}$ относительно всех параллельных осей имеет одинаковую величину.

Как частный случай формулы (2), возьмем ось $z$, проходящую через $G$; мы получим, полагая $x_{0}=0, y_{0}=0$ :
\[
\sum m(x \dot{y}-y \dot{x})=\sum m(\dot{\xi} \dot{\eta}-\eta \dot{\xi}) .
\]

Отсюда следует, что при вычислении момента количеств движения системы относительно любой оєи, проходящей через центр масс, не играет роли, возьмем ли мы действительные количества движения точек системы, или же мы не будем считаться с движением самой точки $G$ и будем учитывать лишь количества движения относительно $G$. То же следует непосредственно из векторного доказательства, данного выше.

Пример. В физическом маятнике ( $\$ 55$ ) момент относительно оси, проходящей через $G$ параллельно оси подвеса, количеств движения относительно $G$, очевидно, равен $M \%^{2}$. Момент количеств движения всей массы, предполагая ее сконцентрированною в $G$ и движущеюся вместе с $G$, относительно оси подвеса равен $M h \omega \cdot h$. Следовательно, момент количеств движения всей системы относительно неподвижной оси будет
\[
M h^{2} \omega+M \kappa^{\omega}=M\left(h^{2}+x^{2}\right) \omega=M k^{2} \omega,
\]

как уже было найдено выше.