1. Масса в 5 кг наносит прямой удар массе в $10 \kappa 2$, находяшейся в покое, со скоростью 12 м/сек и отскакивает назад со скоростью 1 м/сек. Найти (в кгм) энергию, потерянную при ударе.
2. Груз весом $3 m$, падая с высоты 1,8 , вбивает в грунт на 2,5 см сваю, весящую 500 кг. Найти сопротивление грунга и время, в течение которого происходит движение сваи.
3. Орудие с массою $M$ выбрасывает в горизонтальном направлении снаряд с массою $m$, причем энергия, развиваемая взрывчатым веществом, достаточна для подбрасывания снаряда вверх на высоту $h$. Найти скорость, с которой орудие начнет откатываться, а также расстояние, на которое оно откатится, если сопротивление представляет постоянную силу, равную $\frac{1}{n}$ части веса орудия.
\[
\left[\sqrt{\frac{-m^{2}}{M(M+m)} \cdot 2 g h} ; \frac{m^{2}}{M(M+m)} n h .\right]
\]
4. Легкая нить, связывающая две точки с массами $m$, поддерживается двумя гладкими колышками, расположенными на одной горизонтальной линии на расстоянии $2 a$ один от другого, через которые нить перекинута. Посредине между
i) Случай системы с двумя степенями свободы разобран все же в общем виде в главе XIII.

колышками к нити прикрепляется масса $m^{\prime}$. Найти, насколько опустится масса $m^{\prime}$, прежде чем она остановится.
\[
\left[\frac{4 m m^{\prime} a}{4 m^{2}-m^{\prime 2}} \cdot\right]
\]
5. Две материальных точки $m_{1}, m_{2}$ связаны нитью, перекинутой через гладкий блок, как в машине Атвуда. Доказать, что если пренєбречь инерциею блока, то центр масс обеих точек получит ускорение
\[
\left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2} \cdot g,
\]

направленное вниз.
6. Масса $M$ висит на очень длинной нити; к этой массе подвешен математический маятник длины $l$ с массою $m$. Доказать, что период колебаний массы $m$ относительно $M$ меньше, чем если бы масса $M$ была закреплена, в отношении
\[
1: \sqrt{1+\frac{m}{M}} \text {. }
\]
7. Доказать, что если в двойном маятнике § 44 углы наклона нитей $l, \boldsymbol{l}$ к вертикали обозначить соответственно через- $\theta$, $\theta^{\prime}$, то
\[
\begin{array}{c}
\left(m+m^{\prime}\right) l^{2}\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}+2 m^{\prime} l^{\prime} \frac{d^{\theta}}{d t} \frac{d \theta^{\prime}}{d t} \cos \left(\theta-\theta^{\prime}\right)+m^{\prime} l^{\prime 2}\left(\frac{d \theta^{\prime}}{d t}\right)^{2}= \\
=2\left(m+m^{\prime}\right) g l \cos \theta+2 m^{\prime} g l^{\prime} \cos \theta^{\prime}+C .
\end{array}
\]
8. Доказать, что при обозначениях § 44 потенциальная энергия двойного маятника для небольших колебаний равна:
\[
\frac{1}{2} \frac{\left(m+m^{\prime}\right) g x^{2}}{l}+\frac{1}{2} \frac{m^{\prime} g(y-x)^{2}}{l^{\prime}} .
\]
9. Доказать, что если в двойном маятнике § 44 отношение $\mu$ будет мало, то частоты двух нормальных колебаний определяются при помощи приближенных формул:
\[
n_{1}^{2}=\frac{g}{l}\left(1+\frac{\mu l^{\prime}}{l^{\prime}-l}\right), \quad n_{2}^{2}=\frac{g}{l}\left(1+\frac{\mu l}{l-l^{\prime}}\right),
\]

а исключением того случая, когда значения $l$ и $l^{\prime}$ очень близки одно к другому.
10. Если в предыдушем примере обе нити имеют одинаковую длину, то астоты определяются приближенно по формулам:
\[
n^{2}=(1 \pm \sqrt{\mu}) \frac{g}{l} .
\]
11. Две материальных точки $m_{1}, m_{2}$ прикреплены в точках $P_{1}, P_{2}$ к натянутой нити $A B$, концы которой неподвижны. Доказать, что периоды $\frac{2 \pi}{n}$ двух нормальных поперечных колебаний определяются при помощи уравнения:
\[
n^{4}-\left[\frac{T}{m_{1}}\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\right)+\frac{T}{m_{2}}\left(\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}\right)\right] n^{2}+\frac{T_{2}}{m_{1} m_{2}}\left(\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\frac{1}{a_{3} a_{1}}+\frac{1}{a_{1} a_{2}}\right)=0,
\]

где $T$ – натяжение, и $a_{1}=A P_{1}, \quad a_{2}=P_{1} P_{2}, \quad a_{3}=P_{2} B$.
12. Доказать, что в задаче, относяшейся к натянутой нити с двумя прикрепленными массами ( $§ 44$ ), потенциальная энергия равна:
\[
\frac{1}{2} P\left[\frac{x^{2}}{a}+\frac{(x-y)^{2}}{2 b}+\frac{y^{2}}{a}\right] .
\]

Доказать, что полная энергия колебаний будет:
\[
P\left(\frac{A_{1}^{2}}{a}+\frac{(a+b) A_{2}^{2}}{a b}\right),
\]

где $A_{1}, A_{2}$ имеют такой же смысл, как и в § 44 (14).
13. Түи материальных точки с массами $m$ прикреплены к натянутой нити хлины $4 a$ на расстояниях $a, 2 a, 3 a$ от ее конца. Доказать, что в этом случае имеют место три нормальных поперечных колебания и что квадраты частот их относятся, как
\[
2-\sqrt{2}: 2: 2+\sqrt{2} .
\]

Дать чертёжи, показывающие хараятер соответствующих основных колебаний. 14. Масса $m$ подвешена к неподвижной точке при помощи спиральной пружины, период малых вертикальных колебаний которой имеет величнну $\frac{2 \pi}{p}$. Доказать, что если масса $m^{\prime}$ будет подвешена к массе $m$ при помоши второй пружины, и период малых вертикальных колебаний массы $m^{\prime}$ при закрепленной массе $m$ будет $\frac{2 \pi}{p^{\prime}}$, то при свободных массах периоды $\frac{2 \pi}{n}$ нормальных вертикальных холебаний системы будут определяться при помощи уравнения:
\[
n^{4}-\left[p^{2}+\left(1+\frac{m^{\prime}}{m}\right) p^{\prime 2}\right] n^{2}+p^{2} p^{\prime 2}=0 .
\]
15. Две массы в 1 и 1,5 кг соединены нитью, имеющей длину 2 м. Первая из них закреплена неподвижно, а вторую бросают под прямым углом к нити со скоростью 3 м/сек; найти натяжение нити в кг.

Если первую массу освободить, то каков будет характер последующего движения, и как изменится натяжение? (Пренебречь вненними силами.)
16. Две, материальных точки $m, m^{\prime}$ соединены нитью, имеющей длину $a$. Первая из них может двигаться свободно вдоль гладкого ирямого желоба, а вторую бросают в направлении, перпендикулярном к желобу, со скоростью $v_{0}$. Докавать, что точка $m$ будет колебаться в пределах отрезка длины $\frac{2 a m^{\prime}}{m+m^{\prime}}$ и что если отношение $\frac{m^{\prime}}{m}$ будет мало, то период колебаний будет почти равен величине
\[
\frac{2 \pi a}{v_{0}}\left(1-\frac{1}{4} \frac{m^{\prime}}{m}\right) .
\]
17. Две массы $m_{1}, m_{2}$, обладающие взаимным притяжением, находятся в начальный момент в покое на расстоянии $r$ одна от другой. Найти их скорости, когда расстояние между ними уменьшится до $r^{\prime}$.
\[
\left[u_{1}^{2}=\frac{2 \gamma m_{2}^{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\frac{1}{r^{\prime}}-\frac{1}{r}\right), u_{L}^{2}=\frac{2 \gamma m_{1}^{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\frac{1}{r^{\prime}}-\frac{1}{r}\right)\right] .
\]