Рассмотрим теперь в частности движение твердого тела при условии, что это движение совершастя в двух измерениях, т. е. что траектории всех точек тела параллельны определенной неподвижной плоскости. Из указанного в § 50 следует, что в общем случае твердое тело не будет сохра̀нять постоянно такое движение, если прямая, перпеніикулярная этой плоскости и прэходящая через центр массы тела, не булет в то же время главн ий осью инерции тела, или если не будут действоєать на тело особюе силы, поддерживающие ‘гакое движение.

Тело, могущее перемещаться в двух измерениях, имеет три степени свободы, поэтому для определения его положения требуются три координаты (\”Статика“, § 13). Обычно очень удобно бывает пользоваться двумя декартовыми координатами ( $x, y$ ) центра масс $G$ тела и углом $\theta$, на который тело повертывается относительно какого-либо определенного своего положения, служащего для отсчета углов.

Если $M$ есть масса тела, то составляющие его количества движения, согласно $\S 45$, будут $M \dot{x}$ и $M \dot{y}$. Момент количества движения относительно центра масс $G$ будет $I \dot{\theta}$, где $I$ есть момент инерции относительно оси, проходящей через $G$ и перпендикулярной к плоскости движения. Последнее выражение вытекает из сказанного в § 54, так как три вычислении момента количества движения относительно $G$ нам нужно принимать во внимание только относительное движение.

Следовательно, если внешние силы приведены по правилам статики к одной равнодействующей ( $X, Y$ ) и к паре $N$, то мы получим уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} M \dot{x}=X, \quad \frac{d}{d t} M \dot{y}=Y, \\
\frac{d}{d t} I \dot{\theta}=N .
\end{array}
\]

Эти уравнения показывают, что поступательное и вращательное движения не зависят друг от друга. Этот принцип был впервые высказан Эйлером в 1749 г. в связи с вопросом о движении судов.
Мы уже в состоянии решить сейчас же несколько интересных задач.
ПРимер 1. В случае небольших колебаний судна вокруг оси, проходящей через центр тяжести, мы имеем:
\[
\dot{N}=-M g c \theta,
\]

где $c$ – высота метацентра (.Статика\”, § 102). Полагая поэтому $I=M x^{2}$, получим:
\[
x^{2} \dot{\theta}=-g c \theta .
\]

Следовательно, период колебаний равен периоду колебаний математического маятника, имеющего длину $\frac{x^{2}}{c}$.

Пример 2. Тело врашения, сохраняя горизонтальное положение оси, катится по наклонной плоскости с углом наклона а. Предполагается, что реакция в точке касания приводится к одной силе, т. е., иными словами, момент сил трения равен нулю. Найти движение -тела.

Пусть будет $a$-радиус круга сечения катящегося тела, а $x$ – радиус инерции относительно оси симметрии. Далее, пусть будет $v$ скорость центра масс $G$, параллельная плоскости, считая положительным направление вниз, и, наконец, пусть будет ю угловая скорость тела. Так как тело повертывается около точки касания как около мгновенного центра вращения (,Статика\”, § 15), то мы имеем:
\[
u=\omega a \text {. }
\]

Рассматривая проекции на направления, параллельное и перпендикулярное к плоскости, получим:
\[
M \frac{d z}{d t}=M g \sin \alpha-F, \quad 0=M g \cos \alpha \quad R,
\]

где $R$ и $F$-перпендикуллрная и параллельная плоскости составляющие реакции (фиг. 53). Рассматривая моменты относительно $G$, найдем также:
\[
M x^{2} \frac{d \omega}{d t}=F a .
\]

Исключая $F$ и $\omega_{\text {; будем }}$ буметь:
\[
\frac{d v}{d t}=\frac{a^{2}}{x^{2}+a^{2}} g \sin \alpha .
\]

Таким образом ускорение точки $G$ меньше того ускорения, которое тело имело бы при скольжении без трения, в отношении $\frac{a^{2}}{x^{2}+a^{2}}$. Для однородного шара при
Фиг. 53.
$\mathrm{x}^{2}=\frac{2}{5} a^{2}$ это отношение составляет $\frac{5}{7}$; для однородного круглого диска или тела цилиндрической формы $\left(x^{2}=\frac{1}{2} a^{2}\right)$ отношение составляет $\frac{2}{3}$; для круглого обруча или полого цилиндра ( $\left.x^{2}=a^{2}\right)$ это отношение будет равно $\frac{1}{2}$.
С другой стороны, из уравнений (6) и (8) мы находим:
\[
F=\frac{x^{2}}{x^{2}+a^{2}} M g \sin \alpha, \quad R=M g \cos \alpha .
\]

Если принять обычный закон трения, при котором $F$ не превосходит $\mu R$, где $\mu$ – коэфициент трения, то условием отсутствия скольжения будет
\[
\operatorname{tg} \alpha \leqslant\left(1+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \mu .
\]

ПРимеР 3. Круглый цилиндр катится внутри другого неподвижного полого круглого цилиндра, причем оси цилиндров параллельны и горизонтальны; найти движение. Поперечные сечения обоих цилиндров представлены на фиг. 54. Точка $O$ представляет ось неподвижного цилиндра, $O A$ есть вертикальный радиус, а $O Q$ – радиус, проходящий через центр $G$ движущегося цилиндра.

Мы положим, $O A=O Q=b, \quad G Q=a$, так что $a$ обозначает радиус катящегося тела. Если угол $A O Q$ обозначить через $\theta$, то скорость точки $G$ будет ( $b-a) \dot{\theta}$, так как эта точка описывает с угловой скоростью $\dot{\theta}$ окружность радиуса $b-a$. Но, с другой стороны, если обозначить через ш угловую скорость вращения подвижного цилиндра, то мы найдем, что та же скорость равна $\omega$, так как точка $Q$ представляет мгновенный центр вращения. Следовательно,
\[
\omega x=(b-a) \dot{\theta} .
\]

Обозначая через $F$ касательную реакцию в точке $Q$, как показано на чертеже, и взяв проекции на направление траектории точки $\mathscr{G}$, найдем:
\[
M(b-a) \theta^{\circ}=-M g \sin \theta+F ;
\]

вычисляя моменты относительно точки $G$, мы получим:
\[
M \times 2 \frac{d \omega}{d t}=-F a \text {. }
\]

Исключая $F$ и $\omega$, будем иметь:
\[
\left(1+\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)(b-a) \dot{\theta}=-g \sin \theta .
\]

Таким образом движение точки $G$ одинаково с движением груза математического маятника, имеющего длину
\[
l=\left(1+\frac{\mathrm{x}^{2}}{a^{2}}\right)(b-a) .
\]

ПРимер 4. Шар (или диск, обруч и вообще фигура в вертикальной плоскости симметрии) брошен так, что он может ск льзить и катиться по горизонтальной плоскости; наити движение (фиг. 55). Пусть нача\”ьная скорость центра будет $u_{0}$, а начальная угловая скор сть вокруг центра булет $\omega_{0}$. Если $u_{0}=a \omega_{0}$, где $a$ – радиус, то мгновенный центр Фиг, 55. вращения находится в точке ғасания, и тело будет только катиться, скольжения же не будет. Если это условие не выполнено, то тело будет сначала скользить в точке касания, или „буксовать“. При этом возникнет сила трения $\mu M g$, действующая в направлении, обратном относительной скорости, где $\mu$-коэфициент трения.
Предположим сперва, что $u_{0}>а \omega_{6}$. Уравнения движения будут:

откуда
\[
M u=-\mu M g, \quad M x^{2} \dot{\omega}^{2}=\mu M g a,
\]
\[
u=u_{0}-\mu g t, \quad \omega=\omega_{0}+\frac{m g a}{x^{2}} t .
\]
не будет
\[
\begin{array}{l}
t=\frac{u_{0}-a \omega_{0}}{\mu g\left(1+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)}, \\
u=\frac{a^{2} u_{0}+\mathrm{x}^{2} a \omega_{0}}{a^{2}+\mathrm{x}^{2}},
\end{array}
\]

В дальнейшем тело будет катиться с этою постоянною скоростью $v$. Погеря кинетической энергии будет равна
\[
\frac{1}{2} M\left(u_{0}^{2}+x^{2} \omega_{0}^{2}\right)-\frac{1}{2} M\left(a^{2}+x^{2}\right) \omega^{2}=\frac{1}{2} \frac{M x^{2}}{a^{2}+x^{2}}\left(u_{\theta}-a \omega_{0}\right)^{2} .
\]

Заметим, что равенства (19) и (20) не зависят от $\mu$.
Мы получим решение для случая $u_{0}<a \omega_{0}$, если в предыдущих формулах изменим знак $\mu$ на обратный.