Если мы продиференцируем равенство (2) $\S 62$ по $t$, то получим:
\[
\frac{d}{d t} \sum m(x \dot{y}-y \dot{x})=\sum(m) \cdot\left(x_{0} \frac{d^{2} y_{0}}{d t^{2}}-y_{0} \frac{d^{2} x_{0}}{d t^{2}}\right)+\frac{d}{d t} \sum m\left(\dot{\xi} \eta-\eta_{i}\right) ;
\]

здесь два сокращающиеся члена не выписаны ${ }^{1}$ ). Эту формулу легко
1) Эта формула, подобная формулам (4) § 46 и (2) §61, представляет частный случай следующей теоремы.
Если
\[
\varphi(x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, z, \ddot{x}, \ddot{y}, \ddot{z})
\]

есть однородная функция второй степени указанных переменных, то при подстановке (1) $\S 61$, где $x, y, z, \xi, \eta, \zeta$ относятся к какой-либо точке материальной

истолковать так же, как мы истолковали формулу, из которлй она выведена; но мы главным образом заинтересованы частным случаем этой теорзмы, когда ось $\mathrm{Oz}$ проходит через мгнозенн е положение точки $G$. При этом предположении рассматриваемая формула приводится к следующей:
\[
\frac{d}{d t} \sum m(x \dot{y}-y \dot{x})=\frac{d}{d t} \sum m\left(\dot{\xi} \dot{\eta}_{i}-r_{i} \dot{\xi}\right),
\]

имеющей место для рассматриваемого момента времени.
Следовательно, при вычислении скорости возрастания (т. е. производной по времени) момента количеств движения системы относительно неподвижной оси, через которую в рассматриваемый момент проходит центр масс, мы можем не знать движения $G$ и обращать внимание лишь на двикение точек системы относительно $G$.
Эту же теореиу можно доказать, не обращаясь к искусственному аппарату прямоугольных координат; для простоты мы рассмотрим тольке случай движеңия в двух измерениях, когда траектория центра масс представляет плоскую кривую. Пусть $G, G^{\prime}$ обозначают положения центра масс соответственно в моменты времени $t, t+\delta^{*}$, и пусть $v_{0}, v_{0}+\partial_{0}$ будут соответствующие скорости этой точки (фиг. 52). Пусть будет $
u$ момен г количеств движенія относительно $G$ в момент времени $t$, а $
u+\delta
u-$ то же относительно $G^{\prime}$ в момент времени $t+\delta t$. Мы видели ( $\S 61$ ), что при вычислении $
u$ или $
u+\delta
u$ якляется безразличным, воспользуемся ли мы действительными количествами движения точек системы или же количествами движения точек в их движении относительно центра масс. Момент количеств движения относительно $G$ в момент нремени $t+\delta t$ по теореме $\S 61$ будет равен моменту количе тв движения $
u+\delta
u$, сложенному с моментом относительно $G$ количества движения $\Sigma(m) \cdot\left(v_{0}+\delta v_{\mathrm{v}}\right)$, направление ‘ которого совпадает с прямою, проходящею через $G^{\prime}$ по касательной к траектории центра масс. Так как расстояние $G$ от этой прямой будет второго порядка малости, то этим последним моментом в конечном итоге можно пренебречь, и приращение за ьремя $\delta t$ момента количеств движения относительн $G$ будет равно $\delta$.

Мы можем выве:ти из предыдущего непосредственно несколько важных заключений динамического характера.

системы, то мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\sum m \varphi(x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, \ddot{x}, \ddot{y}, \ddot{z})= \\
=\sum(m) \cdot \varphi\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}, \frac{d x_{0}}{d t}, \frac{d y_{0}}{d t}, \frac{d z_{0}}{d t}, \frac{d^{2} x_{0}}{d t^{2}}, \frac{d^{2} y_{0}}{d t^{2}}, \frac{d^{2} z_{0}}{d t^{2}}\right)+ \\
+\sum m_{\varphi}(, n, \zeta, \dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}, \ddot{\xi}, \ddot{\eta}, \ddot{\zeta}) \text {. } \\
\text { (См. .Статика“, § 74.) } \\
\end{array}
\]

Мы видели, что в механической системе любого рода, не подверженной действию внешних сит, цечтр масс движегся с постоянною скоростью прямолинейно. Кроме тюго, мы теперь знаеи, чіо не то ько момент количеств движения относительно непидвижной оси имеет постоянную величину, но что и момент относительно осн, ґроходящей через центр масс и движупейся вместе с ним (сохраняя по тоянное направление), количеств движен тоя ток системы в их движении относительно центра масс име’т также постоянную величину.

Например, массы и относительные скорости разных планет солнечной систеиы определяют момент количеств движения системы относительно любой оси, проходяпей через центр масс, и этот момент количеств движения имеег постоянную величину независимо от того, движется ли вся система как одно целое, или нет.

Далее, если обозначить через I момент инерции Земли отн сительно ее оси вращения, а через $\omega$ – ее угловую ск рость, то произведение $I \omega$ имеет постоянную величину и не изменяется при поступагельном движении Земли. Конечно, возможными тормозяцими силами и изме ением направления оси мы здесь пренебрегаем. Если вследствие мгновенного или постепенного изменения физических свойств момент инерции и угловая скорость Земли изменятся соответьтвенно в $I^{\prime}$ и $\omega^{\prime}$, то мы будем иметь:
\[
I^{\prime} \omega^{\prime}=I \omega .
\]

Отсюда видно, что равномерное сжатие Земли вследствие охлаждения произведет уменьшение момента инерции $I$, а следовательно, и увеличение $\omega$, т. е. продолжительность суток уменьшится.

ПРимер. Две материальных точки $m_{1}, m_{2}$, соединенных нитью длины $a$, движутся в одной плоскости. Если ш есть угловая скорость нити, то момент отно ительно центра масс $G$ количеств движения точек системы в их длижении относительно той же точки $G$ будет
\[
\left(m_{1} r_{1}^{2}+m_{2} r_{2}^{2}\right) \omega
\]

где $r_{1}, r_{2}$ суть расстояния обеих материальных точек от точки $G$. Следовательно, если внешних сил нет. или если момент ьнешних сил от осит’льно $G$ (как в случае силы тяжести) равен нулю. то угловая скоро ть ш постоянна (см. § 42).

С другой стороны, если ьнгшние силы сообщают всем материлльным точкам одичаковое ускоргние (как в случае силы тяжести), то относительного длижения не будет. Следоьательно. если $T$ есть натяжение нити, то
\[
T=m_{\mathbf{1}} \omega^{2} r_{\mathbf{1}}=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{\mathbf{1}}+m_{2}} \omega^{\top} a .
\]