Если
\[
T=\frac{1}{2}\left(A \dot{\theta}^{2}+2 H \dot{\theta} \dot{\varphi}+B \dot{\varphi}^{2}\right),
\]

то
\[
\lambda=A \dot{\theta}+H \dot{\varphi}, \quad \mu=H \dot{\theta}+B \dot{\varphi} .
\]

Если в другом состоянии движения при той же конфигурации системы мы обозначим скорости через $\dot{\theta}^{\prime}, \dot{\varphi}^{\prime}$, а импульсы через $\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}$, то получим:
\[
\lambda \dot{\theta}^{\prime}+\mu \dot{\varphi^{\prime}}=\lambda^{\prime} \dot{\theta}+\mu^{\prime} \dot{\varphi},
\]

так как каждое из этих выражений равно
\[
A \dot{\theta}^{\prime}+H\left(\dot{\theta}^{\prime} \dot{\varphi}+\dot{\theta} \dot{\varphi}^{\prime}\right)+B \dot{\varphi} \dot{\varphi}^{\prime},
\]

Отсюда вытекает замечательная теорема о взаимности. Если мы положим
\[
\lambda^{\prime}=0, \mu=0,
\]

то получим:
\[
\frac{\dot{\phi}}{\lambda}=\frac{\dot{\theta}^{\prime}}{\mu^{\prime}} \text {. }
\]

Истолкование этого равенства наиболее просто, если обе координаты $\theta$, $\varphi$ имеют одинаковый геометрический характер, например представляют две длины или два угла. Если, например, обе координаты представляют длины, то оба импульса будут импульсами обыкновенных сил, и мы можем положить $\lambda=\mu^{\prime}$, откуда получим равенство $\dot{\varphi}=\dot{\theta}^{\prime}$. Следовательно, скорость одного типа, сообщаемая импульсом другого типа, равна скорости второго типа, сообщаемой импульсом первого типа.

Предположим, например, что мы имеем два стержня $A B, B C$, соединенных шарниром в точке $B$, причем первый стержень может вращаться свободно около $A$ как около неподвижной точки. Для упрощения предположим, что стержни составляют прямую линию. За две координаты можно взять перемещения двух любых точек $P, Q$ в направлении, перпендикулярном к первоначальному направлению стержней. Тогда теорема утверждает, что скорость точки $Q$, сообщенная импульсом, приложенным в точке $P$, равна скорости в точке $P$, сообщенной одинаковым импульсом, приложенным в точке $Q$. Далее, если мы возьмем в качестве координат углы, то эта теорема показывает, что угловая скорость стер.кня $B C$, сообщенная импульсивным моментом, приложенным к $A B$, равна угловой скорости стержня $A B$, сообщенной одинаковым моментом, приложенным к $B C$. Наконец, когда координаты имеют неодинаковый характер, то мы выводим заключение, что если импульс $\xi$, приложенный к любой точке $P$ стержня $A B$, сообщает стержню $B C$ угловую скорость $\omega$, то импульсивный момент $\varepsilon a$, приложенный к стержню $B C$, сообщил бы точке $P$ скорость $а$.

Другая важная теорема относится к влиянию связей на величину сообш’аемой кинетической энергии, когда механическая система начинает двигаться по разным путям.

Если мы подставим в (1) значение $\dot{\varphi}$, выраженное при помощи (2) через $\dot{\delta}$ и $\mu$, то получим:
\[
2 T=\frac{A B-H^{2}}{B} \dot{\theta}^{2}+\frac{\mu^{2}}{B},
\]

где коэфициент при $\dot{\theta} z$ обязательно положителен.
Следовательно, кинетическая энергия, сообщаемая импульсом $\mu$, будет больше, чем в случае $\dot{\theta}=0$, т. е. больше, чем при наличии связи, препятствующей изменению координаты $\theta$ (см. § 73, пример 2 и § 107, пример 2).

Далее, если система начала двигаться с заданною скоростью $\dot{\theta}$ под дерствием импульса типа $\theta$, то энергия будет меньше, чем если бы действовал импульс другого типа.

При надлежащем выборе координат заключения этого параграфа можно обобщить на системы с любым числом степней свободы, но мы ограничимся здесь лишь формулировкой двух только что доказанных теорем в их обобщенной форме.
1) (Теорема Делоне) ${ }^{1}$ ). Система, начинающая двигаться из состояния покоя под действием данных импульсов, приобретает бо́льшую кинетическую энергию, чем если бы на нее были наложены какие-либо связи.
2) (Теорема Томсона) ${ }^{2}$ ). Система, начавшая двигаться с данными скоростями, будет ичеть меньшую кинетическую энергию, чем если бы на систему были наложены какие-либо связи.

В системе с одной степенью свободы кинетическую энергию можно выразить в каждой из форм:
\[
T=\frac{1}{2} a \dot{j^{2}}=\frac{1}{2} \frac{\lambda^{2}}{a},
\]

где $a$ есть коэфициент инерции. Таким образом предыдущие теоремы приводят к следствию, что влияние связей выражается в увеличении кажущейся инерции системы ${ }^{3}$ ).