В целях математнческого исследования мы будем рассматривать силу, производящую конечное изменение количества движения за время, слишком короткое, чтобы его можно было оценить, как бесконечно большую, а время действия ее – как бесконечно малое. Следовательно, действием обыкновенных конечных сил за это время мы должны пренебрегать; сверх того, так как скорость, хотя она и изменяется, остается конечною, то изменением положения точек за это время можно также пренебречь. Полное действие получается путем суммирования значений мгновенных импульсов, заменяющих интегралы по времени от сил (см. §9).

Эти положения мы можем применить к прямому удару шаров. Предположим, что два шара с массами $m_{1}, m_{2}$, двигаясь по одной прямой, сталкиваются, в результате чего скорости их внезапно изменяются соответственно из $u_{1}, u_{2}$ в $u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}$. Так как полные импульсы обеих сил должны быть между собой равны и взаимно противоположны, то полное количество движения не изменится, так что
\[
m_{1} u_{1}^{\prime}+m_{2} u_{2}^{\prime}=m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2} .
\]

Для определения результата действия удара в каждом данном случае необходимы дополнительные предположения. Если мы примем, что при ударе кинетическая энергия не уменьшается, то мы имеем:
\[
m_{1} u_{1}^{\prime 2}+m_{2} u_{2}^{r_{2}}=m_{1} u_{1}^{2}+m_{2} u_{2}^{2} .
\]

Равенства (1) и (2) можно представить в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
m_{2}\left(u_{2}^{\prime}-u_{2}\right)=m_{1}\left(u_{1}-u_{1}^{\prime}\right), \\
m_{2}\left(u_{2}^{\prime 2}-u_{2}^{2}\right)=m_{1}\left(u_{1}^{2}-u_{1}^{\prime 2}\right) ;
\end{array}
\]

отсюда путем деления получаем:
\[
u_{2}^{\prime}+u_{2}=u_{1}+u_{1}^{\prime},
\]

или
\[
u_{2}^{\prime}-u_{1}^{\prime}=-\left(u_{2}-u_{1}\right) \text {, }
\]
т. е. скорость каждого шара относительно другого изменится по направлению, но сохранит свою величину. Это выполняется довольно точно в случае стальных или стеклянных шаров.

В общем же случае при ударе заметна некоторая потеря энергии ${ }^{1}$ ). Обычно принимается ${ }^{2}$ ), что относительная скорость изменяет направление и в то же время уменьшается в отношении $e$, которое постоянно для двух данных тел. Это постоянное отношение иногда называется „коэфициентом восстановления\”. В этом случае равенство (3) заменяется следующим:
\[
u_{2}^{\prime}-u_{1}^{\prime}=-e\left(u_{2}-u_{1}\right) \text {. }
\]

Это уравнение вместе с (1) определяет значения $u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}$, если даны $u_{1}, u_{2}$.

В случае косого удара шаров разложим движение на направления параллельное и перпендикулярное к линии, соединяющей центры шаров в момент удара. Если шары имеют гладкие поверхности, то движение их в направлении, перпендикулярном к этой – линии, остается без изменения, и мы при прежних обозначениях получим:
\[
v_{1}^{\prime}=v_{1}, \quad v_{2}^{\prime}=v_{2} .
\]

Составляющие скоростей вдоль линии, соединяющей центры, определятся, как и прежде, из формул (1) и (4).
1) То-есть потеря энергии в и д и о го движения. Кажущаяся потеря энергии затрачивается на вибрации или остаточные деформации сталкивающихся тел и в конце концов превращается в теплоту.
2) Эта формулировка дана Ньютоном в Scholium к его Laws of Motion.

Случай удара о неподвижное препятствие можно вывести из предыдущего, предположив, что $m_{2}$ становится бесконечным. Тогда уравнение (1) дает $u_{2}^{\prime}=0$, если $u_{2}=0$, и, следовательно, равенство (4) сводится к такому:
\[
u_{1}^{\prime}=-e u_{1} .
\]

ПРимеР 1. Если в (1) и (4) мы положим $u_{2}=0$, то найдем:
\[
u_{2}^{\prime}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}(1+e) u_{1} \text {. }
\]

Следовательно, когда одно тело $m_{1}$ ударяет 0 другое $m_{2}$, нахпдящееся в покое, то скорость, сообщаемая телу $m_{2}$, тем больше, чем больше отношение $m_{1}$ к $m_{2}$, но всегда меньше удвоенной первоначальной скорости массы $m_{1}$.

Пример 2. Предположим, что мы имеем очень большое число материальных точек, движущихся во всех направлениях внутри прямоугольного ящика, ребра которого $a, b, c$ параллельны осям координат. Определим средний импульс за единицу времени, приходящийся на единиіу площади стенки. Мы примем, что коэфициент восстановления $e$ равен единице.

Сперва мы предположим, что частицы не встречаются одна с другой. Рассмотрим одну частицу $m$, движущуюся со скоростью $(u, v, w)$. Составляющая $u$ не изменяется при уларе о стенки, параллельные оси $x$, но изменяет свое направление на обратное при каждом ударе о стенки, перпендикулярные оси $x$, которые мы для отличия будем называть, концами“. Таким образом удары об один конец будут слєдовать один за другим через промежутки $\frac{2 a}{u}$. Следовательно, суммарный импульс на одном конце за время $t$, о котором мы предположим, что в течение его происходит большое число ударов, будет:
\[
\left.\frac{u t}{2 a} \cdot 2 m u=\frac{m u^{2} t}{a}{ }^{1}\right)
\]

и суммарный импульс, приходящийся на единицу площади, будет равен:
\[
\frac{m u^{2} t}{a b c} \text {. }
\]

Если мы имеем большое число $n$ таких материальных частиц, движущихся с одинаковой скоростью $q$, но во всех направлениях, то, так как
\[
u^{2}+v^{2}+w^{2}=q^{2},
\]

среднее значение $\mu^{2}$ будет равно $\frac{1}{3} q^{2}$, и выражение (8) заменится выражением
\[
\frac{1}{3} \cdot \frac{n m q^{2} t}{a b c} \text {. }
\]

Если мы имеем $n_{1}$ частиц с массою $m_{1}$, двигающихся со скоростью $q_{1}$ $n_{2}$ частид с массою $m_{2}$, двигающихся со скоростью $q_{2}$, и т. д., то средний импульс, приходящийся на единицу площади за единицу времени, будет равен:
\[
\frac{1}{3} \cdot \frac{M_{a}^{-2}}{a b c} \text {, }
\]

где
\[
M=n_{1} m_{1}+n_{2} m_{2}+\ldots,
\]

и
\[
\vec{q}^{2}=\frac{n_{1} m_{1} q_{1}^{2}+n_{2} m_{2} q_{2}^{2}+\ldots}{n_{1} m_{1}+n_{2} m_{2}+\ldots},
\]
1) Так как изменение скорости при каждом ударе равно $(u)-(-u)=2 u$. Прим. ред.

т. е. $M$ представляет сумму масс всех частиц, а $\bar{q}^{2}$ – среднюю квадратичную скорость.

Если частицы настолько многочисленны, что образуют при рассматривании невооруженным глазом непрерывную среду, то мы имеем $M=\rho a b c$, где $\rho-$ плотность среды, и давление, производимое средою, на основании формулы (10) будет:
\[
p=\frac{1}{3} \rho \stackrel{\rightharpoonup}{q}^{2}
\]

На этот результат не влияют столкновения друг с другом отдельных частиц, если иредположить, что изменения скорости происходят мгновенно; действительно, столкновения не влияют на среднюю кинетическую энергию, которая входит в (13), и в данном случае с течением времени она не теряется и не возрастает.

Предыдущие выводы предстаеляют объяснение происхождения давления газа и закона Бойля с точки зрения кинетической теории 1). Сравнение с законами, имеющими место для газов (.Статика“, § 115), показывает, что $\mathbf{q}^{2}$ следует положить пропорциональным абсолютной температуре.

Для воздуха при температуре замерзания воды и при давлении, равном одной атмосфере, мы, полагая
\[
p=76 \cdot 13,6 \cdot 981, \quad \rho=0,00129,
\]

найдем:
\[
\bar{q}=\sqrt{\frac{\overline{3 p}}{p}}=486 \text { м/сек. }
\]