Нами уже было указано, что закон изменения силы обратно пропорционально кубу расстояния во многих огношениях занимает особое положение. По этой причине, а также благодаря тому, что это один из немногих случаев, в котором формы разных возможных орбит могут быть определены без труда, этот случай сильно заинтересовал математиков. В частности, его изучал Котес ${ }^{2}$ ), и соответствующие орбить известны под названием „спиралей Котеса“.

Физические особенности этого закона заключаются в том, что значение момента количества двнжения одинаково для всех круговых орбит, и скорость на круговой орбите равна „критической“ скорости, соответствующей расстоянию от центра. В самом деле, если
\[
\varphi(r)=\frac{\mu}{r^{3}},
\]
1) \”Yrincipla:, lib. I, prop. XLIII. Имеется русский перевод акад. А. Н. Крылова.
2) Роджер Котес (Roger Cotes, 16\$2-1716), профессор астьноми в Кембридже 1706-1716, издатель второго издания \”Principia\”.

то скорость $v$ на круговой орбите радиуса $a$ будет определяться по формуле:
\[
\frac{v^{2}}{a}=\frac{\mu}{a^{3}},
\]

откуда
\[
h^{2}=v^{2} a^{2}=\mu .
\]

Далее, критическая скорость для расстояния $\boldsymbol{a}$ определится по формуле:
\[
v^{2}=2 \int_{a}^{\infty} \varphi(r) d r=\frac{\mu}{a^{2}}
\]

и, следовательно, равна той скорости на круговой орбите радиуса $a$, которая определяется по формуле (2).

Чтобы определить общий тип орбит, положим в диференциальном уравнении (6) $\S 90$
\[
f(u)=\mu u^{3} ;
\]

мы получим:
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+\left(1-\frac{\mu}{h^{2}}\right) u=0 .
\]

Предположим сперва, что момент количеств движения больше, чем на круговой орбите, так что
\[
h^{2}>\mu .
\]

Следовательно, скорость в любой точке будет больше критической, так как при $p<r$ мы имеем $\frac{h}{p}>\sqrt{\frac{\mu}{r}}$. Если мы положим
\[
1-\frac{\mu}{h^{2}}=m^{2},
\]

то решение уравнения (6) будет:
\[
u=A \cos m \theta+B \sin m \theta,
\]

или при надлежащем выборе начала отсчета углов $\theta$ :
\[
a u=\cos m \theta .
\]

Следовательно, при $\theta=0$ мы имеем минимальное значение для $r$, а соответствующая линия $\theta=0$ представляет линию апсид. Мы имеем здесь две асимптоты, направления которых определяются углами $m y=$ $= \pm \frac{1}{2} \pi$, так что направление движения повертывается на угол $\frac{\pi}{m}-\pi$. Расстояния этих асимптот от центра силы равны $\frac{a}{m}$.

Фиг. 86 дает представление о разных формах орбит при изменении $h$ от $\infty$ до $\sqrt{\mu}$. Если $h=\infty$, то $m=1$, и траектория представляет прямую линию; эта прямая обозначена на чертеже цифрой $I$. Кривые $I I, I I I, I V, V$ соответствуюг постепенно уменьшающимся значениям $m$, а именно значениям $\frac{3}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4}$, причем соответствующие углы поворота составляют $120^{\circ}, 180^{\circ}, 300^{\circ}, 540^{\circ}$. Чем меньше значение $m$, тем больше будет число оборо-
тов около начала координат.
Когда момент количества движения имеет в точности, круговое\” значение, так что
\[
h^{2}=\mu \text {, }
\]

то мы имеем:
\[
\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}=0, \quad u=A \theta+B .
\]

Если $A=0$, то мы получим круг, который можно рассматривагь как предельный случай предыдущих кривых; если $A
eq 0$, то мы получим гиперболическую Фиг. 86. спираль.

Наконец, рассмотрим случай когда момент количества движения имеет значение, меньшее, чем круговое“ значение, так что
\[
h^{2}<\mu \text {. }
\]

Если мы положим
\[
\frac{\mu}{h^{2}}-1=n^{2}
\]

то получим:
\[
u=A e^{n \theta}+B e^{-n \theta} .
\]

В точке $\theta=0$ мы имеем:
\[
u=A+B, \quad \frac{d u}{d \theta}=n(A-B),
\]

и, следовательно, на основании (14)
\[
\begin{aligned}
v^{2}-\mu u^{2} & =\frac{h^{2}}{p^{2}}-\mu u^{2}=h^{2}\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d y}\right)^{2}\right]-\mu u^{2}= \\
& =h^{2}\left[\left(\frac{d u}{d y}\right)^{2}-n^{2} u^{2}\right]=-4 n^{2} h^{2} A B .
\end{aligned}
\]

Таким образом $A$ и $B$ имеют противоположные или одинаковые знаки в зависимости от того, будет ли скорость больше или меньше критической.

В первом случае мы путем изменения начала отсчета угла $\theta$ можем привести уравнение (15) к виду:
\[
a u=\operatorname{sh} n \theta .
\]

Так как при $\theta=0$ будет $u=0$, или $r=\infty$, то мы имеем асимптоту, параллельную начальной прямой. Так как $u=\infty$ при $\theta=\infty$, то траектория приближается к полюсу асимптотически, образуя спираль, все теснее охватываю̈ше полюс. Фиг. 87 показывает орбиту этого типа.

Если $A$ и $B$ имеют одинаковые знаки, то уравнение (15) можно привести к виду:
\[
a t=\operatorname{ch} n \theta \text {. }
\]

В этом случае максимальное значение $\boldsymbol{r}$ равно $a$, и соответствующий радиус $(\theta=0)$ представляет линию апсид. Так как $u=\infty$ или $r=0$ при $\theta= \pm \infty$, то материальная точка будет вращаться около полюса, подходя к нему все ближе и ближе, как и в предыдущем случае (см. фиг. 88) ${ }^{1}$ ).
Если $A$ или $B$ обращается в нуль, то мы имеем или
\[
a u=e^{m \theta}, \text { или } a u=e^{-m \vartheta},
\]

и орбита представляет логарифмическую спираль. Мн уже видели, что это будет критическая орбита.

Из предыдущего следует, что, за исключением случая круговой орбиты, материальная точка, движущаяся под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния, в конце концов или уйдет в бесконечность, или будет приближаться асимптотически к центру. Следовательно, круговую орбиту следует считать за неустойчивую, как это уже было доказано выше ( $\S 87$ ).
1) Фиг. 86, 88 показывают разные титы орбит, получающиеся, когда точка начинает двигаться из апсиды $(A)$ с разными скоростями. Фиг. 86 показывает случай, когда начальная скорость больше \”кругового“ значения, а фиг. 88 показывает (в большем масштабе) случай, когда она меньше отого вначения.

ПРИМЕРЫ $\mathbf{X x}$
243
П Ример. Случай
\[
f(u)=\mu u^{2}+v u^{s},
\]

когда сила изменяется частично пропорционально квадрату, а частично пропорционально кубу расстояния, так же легко допускает интегрирование. Мы имеем:
\[
\frac{d^{2} u}{d^{\theta^{2}}}+\left(1-\frac{
u}{h^{2}}\right) u=\frac{\mu}{h^{2}} .
\]

Предполагая, что $8<h^{2}$, и полагая
\[
1-\frac{v}{h^{2}}=m^{2},
\]

получим:
\[
u=\frac{\mu}{h^{\alpha}-
u}+C \cos \left(m^{0}-\alpha\right) .
\]

Это уравнение относится к типу
\[
l t \leftrightharpoons 1+e \cos [\theta-(1-m) \theta-a],
\]

и, следовательно, его можно рассматривать как уравнение конического сечения, вращаюшегося около фокуса с угловою скоростью, пропорциональною угловой скорости радиуса-вектора, причем координата линии апсид будет:
\[
(1-m) \theta+a \text {. }
\]

Такое истолкование движения тем точнее, чем $m$ ближе к единице, т. е. чем меньше значение у (см. § \$0, пример 2).

Закон силы типа (21) предложил одно время Клеро1), как видоизменение манона тяготения, с целью учесть разницу между действительно наблюдәемьім (прогрессивным в одну сторону) движением апсиды лунной орбиты (около $3^{\circ}$ за один период) и вычисленным движением с учетом возмущений в пределах точности, какая была достижима в.то время. Впоследствии он сам признал, что вычисления были ошибочны и что более тщательные вычисления на основе вакона Ньютона дают результаты, совпадающие с наблюдениями.