Необходимо отметить, что дальнейшие исследования Ньютона и его последователей, в которых учитывалось притяжение планеты другими планетами и Солнцем, более чем достаточно подтвердили точность закона обратной пропорциональности квадрату расстояния, так как показали возможность объяснения взаимного движения планет до мельчайших подробностей.

Первым шагом новой теории было рассмотрение „задачи о двух телах“, отбросив ограничение, что орбита имеет форму круга. Мы вве-
1) В то время расстояние до Солнца сильно преуменьшалось, и отношение (1/169 282), которое получил Ньютон, было в соответствии с этим слишком велико.

дем небольшое упрощение, предположив сперва, что масса одного из тел (планеты) в сравнении с массою другого (Солнца) очень мала, так что ускорением, сообщаемым последнему телу, можно пренебречь. Тогда мы получим задачу о движении материальной точки около неподвижного центра сил под действием ускорения $\frac{\mu}{r^{2}}$, направленного к центру, где $\mu$ обозначает ускорение на расстоянии, равном единице.

Очевидно, что материальная точка будет всегда оставаться в плоскости, содержащей центр сил и касательную к орбите. Так как в этой плоскости мы имеем две степени свободы, то нам нужны два диференциальных уравнения движения. Их можно составить разными способами, но проще всего исходить из двух первых интегралов, которые можно иметь на основании теоремы о моменте количеств движения и уравнения энергии.

Если мы обозначим через $v$ скорость материальной точки и через $p$ длину перпендикуляра, опущенного из центра сил на касательную к ее траектории, то на основании § 48 будем иметь:
\[
p v=h,
\]

где $h$ – постоянное.
Далее, если массу точки принять за единицу, то ее кинетическая энергия будет $\frac{1}{2} \boldsymbol{v}^{2}$, а потенциальная энергия на основании $\S 43$ будет равна $-\frac{\mu}{r}+$ const. Следовательно, мы получим:
\[
\frac{1}{2} v^{2}-\frac{\mu}{r}=\text { const. }
\]

Последнее равенство в соединении с (1) дает:
\[
\frac{h^{2}}{p^{2}}=\frac{2 \mu}{r}+C \text {. }
\]

Это и будег диференциальное уравнение первого порядка для определения траектории. Уравнение такого типа, связывающее $p$ с $r$, называется „касательно-полярным“ уравнением; оно полностью определяет форму кривой за исключением ее расположения относительно начала координат.

Уравнение (3) можно отождествить с касательно-полярным уравнением конического сечения, если начало координат (полюс) совпадает с фокусом. В случае эллипса мы имеем:
\[
\frac{l}{p^{2}}=\frac{2}{r}-\frac{1}{a} \text {, }
\]

а для ветви типерболы, отнесенной к внутреннему фокусу, мы имеем:
\[
\frac{l}{p^{2}}=\frac{2}{r}+\frac{1}{a},
\]

где в обоих случаях $l$ обозначает половину параметра (половину хорды, проведенной через фокус перпендикулярно к оси), а а обозначает полуос, проходящую через рассматриваемый фокус. В переходном случае, т. е. в случае параболы, мы имеем $a=\infty$, и
\[
\frac{l}{p^{2}}=\frac{2}{r} \text {. }
\]

Сравнивая с (3), мы видим, что уравнения будут тождественнь, если будет
\[
t=\frac{h^{2}}{\mu}, \quad a=\mp \frac{\mu}{C} \text {. }
\]

Следовательно, орбита будет эллипсом, гиперболою или параболою в зависимости от того, будет ли постоянное $C$ в (3) отрицательно, положительно или же равно нулю.

Если материальная точка начала двигаться без начальной скорости из бесконечности, так что при $\boldsymbol{r}=\infty$ мы имеем $\boldsymbol{v}=0$, то скорость точки на расстоянии $r$ на основании (2) будет выражаться формулою $\sqrt{\frac{\overline{2 \mu}}{r}}$. Эта величина называется ${ }_{n}$ скоростью из бесконечности “ или „критическою скоростью\”, соответствующею расстоянию $r$. Формула (7) показывает, что орбита будет эллипсом, гиперболою или параболою в зависимости от того, будет ли скорость в любой точке меньше, больше или равна критической скорости. Другими словами, если материальная точка начинает двигаться из какого-либо положения с кинетическою энергиею, недостаточной, чтобы достичь бесконечности, то точка будет описывать эллипс; если ее кинетическая энергия будет превосходить величину, достаточную для этого, то точка будет описывать ветвь гиперболы, переходя в пределе к движению с постоянною скоростью вдоль асимптоты, по мере того, как центральная сила с увеличением расстояния будет стремиться к нулю; в переходном же случае точка будет описывать параболу со скоростыо, стремящейся в бесконечности к нулю.
Соединяя формулу (3) с (4) и (5), мы имеем очень удобную формулу:
\[
v^{2}=\mu\left(\frac{2}{r} \mp \frac{1}{a}\right),
\]

в которой верхний знак относится к эллиптической, а нижний – к гиперболической траектории.

Формула (1), которая верна неза́висимо от того, по какому закону действует (центральная) сила, имеет следующую интерпретацию. Если $\delta s$ есть элемент траектории, то величина $p \hat{z} s$ равна удвоенной площади треугольника, образованного стороною is и двумя радиусами, проведенными из центра сил к концам отрезка is (фиг. 71). Следовательно, обозначая площадь этого треугольника через $\delta A$, мы имеем:
\[
\delta A=\frac{1}{2} p \delta s=\frac{1}{2} p v \delta t=\frac{1}{2} h \delta t,
\]

или
\[
\frac{d A}{d t}=\frac{1}{2} h,
\]

где $A$ есть площадь, описанная радиусом-вектором к моменту времени $t$, начиная с какого-нибудь определенного момента. Другими словами, радиус-вектор описывает одинаковые площади в одинаковые промежутки времени, причем скорость изменения площади (изменение площади в единицу времени) равно $\frac{1}{2} h$. Если $r, \theta$ суть полярные координаты, отнесенные к цейтру сил, то мы можем положить
\[
\delta A=\frac{1}{2} r^{2} \delta \theta,
\]

и уравнение (1) принимает вид:
\[
r^{2} \frac{d \vartheta}{d t}=h,
\]

которым мы сейчас и воспользуемся.
Только что доказанное свойство приводит к выражению для периода $T$ обращения планеты вокруг Солнца при движении по эллиптической ор5ите. Так как вся площадь эллипса описывается радиусом-вектором в течение периода, то мы имеем:
\[
h T=2 \pi a b,
\]

где $b$-меньшая из полуосей. Точно так же на основании (7)
\[
h=\sqrt{\mu l}=\sqrt{\frac{\overline{\mu b^{2}}}{a}},
\]

огкуда
\[
T=\frac{2 \pi a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\mu}} .
\]

Отсюда следует, что на разных эллиптических орбитах, описанных с одним и тем же абсолютным ускорением $\mu$, квадраты периодов обращения изменяются пропорционально кубам больших полуосей ${ }^{1}$ ).

Если обозначить через $n$ то, что в астрономии называется \”средним движением\” на эллиптической орбите, т. е. обозначить через $n$ среднюю угловую скорость радиуса-вектора относительно центра сил, то мы имеем:
\[
n T=2 \pi,
\]

и следовательно,
\[
n=\sqrt{\frac{\bar{\mu}}{a^{3}}} \text {. }
\]
1) Длина большой полуоси, равная арифметическому среднему из наибольшего и наименьшего расстояний, в астрономии называется .средним расстоянием\”. Его не следует смешивать с истинным средним расстоянием за бесконечно ма: дый промежуток времени (см. § 79).

Пример 1. Из формулы (13) можно вывести формулу для времени падения точки без начальной скорости в центр сил с заданного расстояния $c$.

Прямолинейную траекторию можно рассматривать как половину предельного эллипса, получающегося путем сплющивания. Следовательно, положив $a=\frac{1}{2} c$ и разделив на 2 , мы найдем, что искомое время; как и в $\$ 16$, составляет:
\[
\frac{1}{4 \sqrt{2}}-\frac{2 \pi c^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\mu}} .
\]

Из изложенной теории также легко вывести и закон, связывающий движение точки по траектории с изменением площади, описываемой на вспомог2тельном круге, представленном на фиг. 11 .

ПРимЕР 2. Чтобы найти среднюю кинетическую энергию на эллиптической орбите, т. е. среднее из всех значений для равных бесконечно малых промежутков времени, мы возьмем
\[
\int v^{2} d t=\int v d s=h \int \frac{d s}{p}=\frac{h}{b^{2}} \int p^{\prime} d s,
\]

где $p^{\prime}$ есть длина перпендикуляра, опущенного на касательную из второго фокуса. Последний интеграл при обходе периметра эллипса равен удвоенной площали эллипса и, следовательно, равен количеству $h T$. Таким образом на основании (7) и (15) мы получаем:
\[
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} v^{2} d t=\frac{h^{2}}{b^{2}}=\frac{\mu}{a}=n^{2} a^{2} .
\]

Следовательно, средняя кинетическая энергия имеет такую же величину, как и кинетическая энергия точки, движущейся сосреднею угловою скоростью $n$ по кругу радиуса, равного среднему расстоянию $a$.