В случае движения тела под действием постоянной силы и сопротивления, пропорционального квадрату скорости, мы имеем:
\[
\frac{d v}{d t}=f-k v^{2}, \text { или } v \frac{d v}{d x}=f-k v^{2} .
\]

Предельная скорость, которая полужается, когда ускорение обращается в нуль, определится из формулы:
\[
k V^{2}=f \text {. }
\]

откуда
\[
\frac{d v}{d t}=\frac{f}{V^{2}}\left(V^{2}-v^{2}\right), \quad v \frac{d v}{d x}=\frac{f}{V^{2}}\left(V^{2}-v^{2}\right) .
\]

Следовательно,
\[
\frac{1}{V^{2}-v^{2}} \frac{d v}{d t}=\frac{f}{V^{2}}, \quad \text { Arth } \frac{v}{V}=\frac{f t}{V}+A .
\]

Если начальная скорость будет равна нулю, то мы имеем $A=0$, и
\[
v=V \text { th } \frac{f t}{V}
\]

при $t \rightarrow \infty$ стремится к пределу $V$. Положив $v=\frac{d x}{d t}$ и проинтегрировав по $t$, мы получим:
\[
x=\frac{V^{2}}{f} \ln \operatorname{ch} \frac{f t}{V} ;
\]

произвольное постоянное не нужно, если при $t=0$ должно быть $x=0$.
Второе из уравнений (3) приводит к интегралу:
\[
x=\frac{V^{2}}{2 f} \ln \frac{V^{2}}{V^{2}-v^{2}},
\]

который, конечно, можно вывести из (5) и (6).
Полагая $f=g$, мы проиллюстрируем теорию случаем падения тела без начальной скорости под действием силы тяжести. Эта теория применима также к начальному движению парохода при отправлении. Для больших значений $t$ мы имеем приближенно:
\[
\text { ch } \frac{f t}{V}=\frac{1}{2} e^{\frac{f t}{V}} \text {. }
\]

н, следовательно,
\[
x=V t-\frac{V^{2}}{f} \cdot \ln 2,
\]

где последний член представляет расстояние, потерянное за время приобретения скорости. Потерянное на это время составляет:
\[
\frac{V}{f} \ln 2 \text {. }
\]

В случае постоянной силы, направленной в стсрону, противопопожную движению, мы имеем:
\[
\frac{d v}{d t}=-f-k v^{2}, \text { или } v \frac{d v}{d x}=-f-k v^{2},
\]

причем эти уравнения действительны лишь до тех пор, пока количество $v$ положительно. Если предельную скорость при действии данной силы, определяемую посредством формулы (2), обозначнть через $V$, то будет
\[
\frac{d v}{d t}=-\frac{f}{V^{2}}\left(V^{2}+v^{2}\right), \quad v \frac{d v}{d x}=-\frac{f}{V^{2}}\left(V^{2}+v^{2}\right) .
\]

Следовательно,
\[
\frac{1}{V^{2}+v^{2}} \frac{d v}{d t}=-\frac{f}{V^{2}}, \quad \operatorname{arctg} \frac{v}{V}=-\frac{f t}{V}+A,
\]

или, если при $t=0$ будет $v=v_{0}$, то
\[
\operatorname{arctg} \frac{v}{V}=\operatorname{arctg} \frac{v_{0}}{V}-\frac{f t}{V} .
\]

Далее, из второго из уравнений (10) получим:
\[
\ln \left(V^{2}+v^{2}\right)=-\frac{2 f x}{V^{2}}+B .
\]

Если при $v=v_{0}$ будет $x=0$, то $B=\ln \left(V^{2}+v_{v}^{2}\right)$, и
\[
x=\frac{V^{2}}{2 f} \ln \frac{V^{2}+v_{0}^{2}}{V^{2}+v^{2}} .
\]

В момент остановки тела мы имеем $v=0$, и, следовательно, для этого момента
\[
t=\frac{V}{f} \operatorname{arctg} \frac{v_{0}}{V}, \quad x=\frac{V^{2}}{2 f} \ln \left(1+\frac{v_{0}^{2}}{V^{2}}\right) .
\]

Если двигатели парохода начинают работать в обратном направлении во время хода с полною скоростью, мы имеем $v_{0}=V$. Следовательно, время, потребное для остановки парохода, будет выражаться формулою:
\[
t=\frac{1}{4} \frac{\pi V}{f},
\]

и расстояние, пройденное за это время, составит:
\[
x=\frac{V^{2}}{2 f} \ln 2 .
\]

Пример. Мы получим высоту подъема материальной точки, брошенной вертикально вверх со скоростью $v_{0}$, если в (14) положим $v=0$; таким образом
\[
h=\frac{V^{2}}{2 g} \ln \left(1+\frac{v_{0}^{2}}{V^{2}}\right),
\]

а продолжительность движения вверх на основании (15) будет равна:
\[
t=\frac{V}{g} \operatorname{arctg} \frac{v_{\theta}}{V} .
\]

Продолжительность $t_{1}$ последующего падения вниз определится посредством формулы ( ); таким образом
\[
t_{i}=\frac{V}{g} \operatorname{Arch} e^{\frac{g^{h}}{V^{2}}}=\frac{V}{g} \operatorname{Arch}\left(1+\frac{v_{0}^{2}}{V^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{V}{g} \ln \left\{\frac{v_{0}}{V}+\left(1+\frac{v_{0}^{2}}{V^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right\} .
\]

Скорость $v_{1}$, приобретенную к концу падения, можно найти из формулы (7); таким образом, принимая во внимание формулу (18), имеем:
\[
\frac{v_{1}^{2}}{V^{2}}=1-e^{-\frac{2 g h}{V^{2}}}-\frac{v_{0}^{2}}{V^{2}+v_{0}^{2}} .
\]

Если отношение $\frac{\boldsymbol{v}_{0}}{V}$ мало, то приближенно получим:

и
\[
h=\frac{v_{0}^{2}}{2 g}\left(1-\frac{v_{0}^{2}}{2 V^{2}}\right), \quad t=\frac{v_{0}}{g}\left(1-\frac{v_{0}^{2}}{3 V^{2}}\right)
\]
\[
t_{1}=\frac{v_{0}}{g}\left(1-\frac{v_{0}^{2}}{6 V^{2}}\right), \quad v_{1}=v_{0}\left(1-\frac{v_{0}^{2}}{2 V^{2}}\right)
\]