Формулы (3) и (4) из § 2 дают возможность найти сразу выражения для ускорения, когда дано расстояние $x$ в функции от времени или скорость в функции от расстояния $x$. Но в динамике чаще имеют дело с обратной задачей, когда ускорение задается в функции от времени или расстояния (положения), или от их обоих или, наконец, от скорости, и требуется найти скорость и положение в заданный момент времени. Мы рассмотрим здесь два наиболее важных типа диференциального уравнения движения и соответствующие методы решения.
1) Например, в Москве и окрестностях. Прим. перев.
2) F. R. Helmert, Encycl. d. math. Wiss., Bd. VI.

1. Ускорение задано в функции от времени:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=f(t) \text {. }
\]

Это уравнение можно проинтегрировать сразу по $t$. Мы имеем:
\[
\frac{d x}{d t}=\int f(t) d t+A=f_{1}(t)+A,
\]

где $f_{1}(t)$ представляет неопределенный интеграл функции $f(t)$, а $A$ произвольную постоянную. Интегрируя еще раз, мы имеем:
\[
x=\int f_{1}(t) d t+A t+B,
\]

где $B$ обозначает второе произвольное постоянное.
Причина появления в этом решении двух произвольных постоянных заключается в том, что по нашему предположению точка может находиться в данный момент в любом положении и иметь в этот момент произвольную скорость, причем последующее движенне ее будет управляться законом, выражаемым формулой (1). Следовательно, для того чтобы решение было общим, оно должно допускать возможность выполнения этих произвольных начальных условий (см. ниже пример 1). Причина вхождения в решение произвольных постоянных в форме $A t+B$ заключается в том, что наложение какой-либо постоянной скорости не должно влиять на ускорение.
2. Ускорение задано, в функции от расстояния (положения):
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=f(x) .
\]

Если обе части этого уравнения мы умножим на $\frac{d x}{d t}$, то его, можно будет проинтегрировать по $t$; таким образом мы получим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t} \cdot \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=f(x) \frac{d x}{d t}, \\
\frac{1}{2}\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\int f(x) \frac{d x}{d t} d t+A=\int f(x) d x+A,
\end{array}
\]

согласно известному правилу о замене переменных в неопределенном интеграле.

Этот метод интегрирования будет встречаться в нашей книге неоднократно, и выведенная формула (5) обычно называется „уравнением энергии\” (\”ұравнением живых сил“). Она может быть получена при помощи несколько отличающегося метода, как это мы сейчас покажем. Приняв $x$ за независимое переменное, мы вместо (4) имеем уравнение:
\[
u \frac{d u}{d x}=f(x)
\]

которое можно проинтегрировать по $x$; таким образом будем иметь:
\[
\frac{1}{2} u^{2}=\int f(x) d x+A .
\]

I тем и другим путем мы получаем $u^{2}$ или $\dot{x}^{2}$ в функции от $x$, именно:
\[
\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=F(x)
\]

следовательно,
\[
\frac{d x}{d t}= \pm \sqrt{F(x)} .
\]

Два знака относятся к двум направлениям, в которых движущаяся точка может проходить положение $x$. В каждой отдельной задаче может потребоваться рассмотрение обоих случаев.
Для дальнейшего интегрирования мы можем представить (9) в форме:
\[
\frac{d t}{d x}= \pm \frac{1}{\sqrt{F(x)}},
\]

откуда, интегрируя по $x$, получаем:
\[
t= \pm \int \frac{d x}{\sqrt{F(x)}}+B \text {. }
\]

Это решение в действительности содержит два произвольных постоянных, так как одно уже включено в выражение $F(x)$. Что одна из произвольных постоянных будет входить слагаемым в выражение для $t$, это можно было предвидеть заранее на основании формы диференциального уравнения (4), которая не изменится, если изменить начало отсчета $t$.

Другие типы диференциальных уравнений, аналогичные данным, удобнее рассмотреть в дальнейшем, когда мы с ними встретимся.

Пример 1. В случае движения точки в вертикальном направлении под действием силы тяжести мы при положительном направлении оси $\boldsymbol{x}$ вверх имеем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-g, \\
\frac{d x}{d t}=-g t+A, \quad x=-\frac{1}{2} g t^{2}+A t+B .
\end{array}
\]

Если начальные условия будут $x=x_{0}, \quad \dot{x}=u_{0}$ при $t=0$, то $u_{0}=A, x_{0}=B$, откуда
\[
x=u_{0}-g t, \quad x=x_{0}+u_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2} .
\]

Следовательно, график пути представляет параболу, а график скорости-пряиую линию, как это показано на фиг. 2 , которая относится к случаю $x_{0}=3,6$ $u_{0}=14,4$ в системе метр-секунда.
Решая задачу вторым способом, мы получим:
\[
\begin{array}{c}
u \frac{d u}{d x}=-g, \\
\frac{1}{2} u^{2}=-g x+C,
\end{array}
\]

откуда
\[
\frac{1}{2} u^{2}+g x=\frac{1}{2} u_{0}^{2}+g x_{0}^{2}
\]
– результат, который можно вывести из (14). Если $x_{1}, x_{2}$ и $u_{1}, u_{2}$ будут координаты и скорости точки соответственно в моменты времени $t_{1}, t_{2}$, то мы на основании (14) имеем:
\[
\begin{aligned}
\frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}} & =u_{0}-\frac{1}{2} g\left(t_{1}+t_{2}\right)= \\
& =\frac{1}{2}\left(u_{1}+u_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, средняя скорость в любом промежутке времени равна скорости в сред-
ний момент промежутка времени, а также равна арифметическому среднему из начальной и конечной скоростей. Это является, независимо от предыдущего, очевидным следствием того факта, что график скорости представляет прямую линию.

Примвр 2. Если ускорение представляет круговую функцию времени, например:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=f \cos n t
\]

то мы имеем:
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{f}{n} \sin n t+A, \quad x=-\frac{f}{n^{2}} \cos n t+A t+B .
\]

Если $x=x_{0}, x=u_{0}$ при $t=0$, то мы имеем $u_{0}=A, x_{0}=-\frac{f}{n^{2}}+B$, откуда
\[
x=u_{0}+\frac{f}{n} \sin n t, \quad x=x_{0}+u_{0} t+\frac{f}{n^{2}}(1-\cos n t) .
\]

ПРимер 3. Если ускорение всегда направлено к неподвижной точке (начало координат), расположенной на линии движения, и изменяется пропорционально расстоянию от этой точки, то мы имеем:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-n^{2} x,
\]

где $n^{2}$ представляет данную положительную постоянную величину. Знак минус требуется вследствие того, что $\ddot{x}$ имеет отрицательный знак, когда $\boldsymbol{x}$ имеет положительный знак, и наоборот. Это уравнение равносильно такому:
\[
u \frac{d u}{d x}=-n^{2} x \text {. }
\]

На основании этого уравнения или уравнения (22) мы при помощи метода, изложенного выше, находим:
\[
u^{2}=C-n^{2} x^{2}
\]

Так как to представляет существенно положительную величину, то произвольное постоянное $C$ должно быть положительным, так что мы можем принять $C=n^{2} \mu^{2}$, где $a$ представляет пока произвольную величину. Следовательно,
\[
\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=n^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right) .
\]

Это равенство показывает, что, каковы бы ни были начальные условия, значение $\boldsymbol{x}$ будет заключаться между определенными пределами $\pm a$. Следовательно, мы праве написать:
\[
x=a \cos \theta
\]

где обозначает новое переменное. Подставив в (25), мы найдем:
\[
\left(\frac{d^{\theta}}{d t}\right)^{2}=n^{2}, \quad \frac{d \theta}{d t}= \pm n .
\]

Отсюда
\[
\theta= \pm(n t+\varepsilon),
\]

где : обозначает второе произвольное постоянное. Следовательно, общее решение уравнения (22) имеет вид:
\[
x=a \cos (n t+\varepsilon)
\]

и эаключает в себе две произвол̆ьных постоянных $\boldsymbol{a}$ и .
Если мы положим
\[
a \cos \varepsilon=A, \quad a \sin \varepsilon=B,
\]

то мы будем иметь решение в другом виде:
\[
x=A \cos n t+B \sin n t .
\]

Наоборот, мы можем перейти от (31), где $A$ и $B$ представляют произвольнsе постоянные, к формуле (29), причем значения $a$ и $\varepsilon$ определятся из формул (30).

Диференциальное уравнение (22) встречается в залачах динамики очень часто, и поэтому полезно запомнить, что его общее решение имеет вид (29) или (31).

В самом деле, очевидно (см. § 2, пример 2), что формула (29) или (31) должна действительно удовлетворять уравнению (22), и так как в нашем распоряжении нмеются два произвольных постоянных, то можно сделать так, чтобы решение удовлетворяло предписанным начальным условиям. Например, если $\boldsymbol{x}=\dot{x}_{\mathrm{s}} \quad \dot{x}=u_{0}$ при $t=0$, то мы в (31) имеем:
\[
x_{0}=A, u_{0}=n B,
\]

откуда
\[
x=x_{0} \cos n t+\frac{u_{0}}{n} \sin n t .
\]

ПримЕр 4. Если ускорение всегда направлено от нзчала координат и пропорционально расстоянию, то диференциальное уравнение движения точки имеет вид:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=n^{2} x .
\]
2 л а и б. Двнамита.

Было показано (§2, пример 3), что этому уравнению удовлетворяет выражение:
\[
x=A e^{n t}+B e^{-n t},
\]

и так хак здесь имеются два произвояьных постоянных, то решение является общим. Таким образом, если $x=x_{0}, \dot{x}=u_{0}$ нри $t=0$, то мы имеем $x_{\theta}=A+B$, $u_{0} \equiv n(A-B)$, откуда при обычных обозначениях гиперболических функций мы получим:
\[
x=x_{0} \operatorname{ch} n t+\frac{u_{0}}{n} \operatorname{sh} n t .
\]

Этот результат полезно сравнить с (32).