Примеры XVII.
1. Как будет формулироваться закон ,равных площадей$\cdot$ в случае движения артиллерийского снаря да?
2. Доказать, что если бы скорость Земли на ее орбите угеличилась несколько меньше чем на половину, то Земля покинула бы солиечную систему.
3. Материальные точки брлшены из одного и того же места с одинаковою скоростью в разных направлениях, причем на тички дейсıвует центральная сила, обр.тно пропорциональная квадрату расстояния. Найти гєометрические место центров орбит.
4. Доказать, что если материальные точки брошены из данного места с одинаковою скоростью в разных направлелиях, то длины малых осей орбит будут изменяться пропорционально глянам перпендикуляров, опущен.ых из центра сил на направления начальных скоростей.
5. Доказать, что средний видимый диаметр Солнца при рассматривании с планеты, описывающей элиитическую орјиту, равен видимому диамерур, когда планета находится на расстоянии, ранном большой полуоси орбиты.
6. Доказать, чıо если $\theta$ есть долгота Солнца, считая ее от перичея, то видимый диаметр $D$ Солнца будет выражаться фирмулою:
\[
D=D_{1} \cos ^{2} \frac{1}{2} \theta+D_{2} \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta,
\]
где $D_{1}, D_{2}$ суть наибольшее и наименьшее значения $D$.
7. Доказать, что при эллиптическом движе іии около фокуса среджее геометрическое из скоростей на концах любого диаметра имеет постоянную величину и равно скорости на среднем расстоинии.
8. Доказать, что угловая скорость относительно фокуса, не занятого центральным телом, будет вырлжаться формулой:
\[
\frac{n a b}{C D^{2}},
\]
где $C D$ представляет половину диаметра, пар ллельного направлению движения.
9. Доказать, что скорость в любой $\tau$ чк之 эллиптической орбигы мәжно разложить на две постоянных составляющих, а именно: на скорость $\frac{n a}{\sqrt{1-e^{2}}}$, перпендикулярную $x$ радиусу-вектору, и на скорость $\frac{\text { пae }}{\sqrt{1-e^{2}}}$, перпендикулярную х большой оси.
10. Доказать, что две части, на котөрые хорда, проведенная терез фокус под прямым углзм к оси, разделяет орбиту Земли, описываются Землею соответственно в 178,7 и 186,5 суток $\left(e=\frac{1}{60}\right.$ ).
11. Принимая, что скорость Земли на ее орбите составляет 30 км/сек, найти скорость Юпитера, расстояние которого от Солнца в 5,20 раз больше.
[13,2 кл/сек.]
12. Доказать, что скорость, приобретаемая материальною точкою при падении с большого расстояния на Солнце, равна $\sqrt{\frac{2 v^{2}}{a}}$, где $v$ есть скорость Земли на ее орбите, а $\alpha$ – угол, под которым рздиус Солнца виден с Земли.
13. Доказать, что если в плоскости экватора бросить материальную точку со скоростью. незначительной в сравнении со скоростью, создаваемою вращением Земли, то траектория точки в пространстве будет представлять коническое сечение, у кт рого полупараметр (половина хорды, проходящей через фокус под прммы уілом к оси) будет рэвен около 22,5 км.
14. Цоказать, что на параболической орбите, описываемой околе центра сил, находящегося в фок се, составляющая скорости, перпендикулярная к оси, изменяется обратно пропорцконально длине радиуса-вектора.
15. Ели параболическая орбита кометы пересекает орбиту Земли конечных точках диаметра последней орбиты, то сколько дней комета будет находиться внутри грбиты Земли?
16. Показат, что время пребывания кометы внутри орбити Земли (рассмат: ривал орз́иту как круговую) прямо п, опорционально количеству
\[
(a+2 c) \sqrt{a-c}
\]
где а есть радиус орбиты Земли, а $c$ – наименьшее расстолние кометы от Солнца.
Доказать, что это время имеет наибольшую величину, хогда $c=\frac{1}{2} a$.
Примеры XVIII.
Эллиптическое дв жение и т. п.
1. Дпказать, что в случае центральной силы, изменяющейся обратно пропорционал но квалрату расстояни, крнизна годографа постиянна и что, следовательно, орбита представляет коническое сечение.
2. Материальндя точка описывает ветвь, и ерболы
\[
x=a \operatorname{ch} u, y=b \operatorname{sh} u
\]
около внутреннего фокуса; доказать, что время, отсчитываемое от момента про. хождения через апсиду, определ ется по формуле:
\[
n t=e \operatorname{sh} u-u \text {, }
\]
8. Доказать, что уравнение времени ( $\$ 79$ ) имеет макснхух при
\[
\operatorname{sos} \theta=\frac{\left(1-e^{0}\right)^{\frac{3}{4}}-1}{e} .
\]
Полагая $e=\frac{1}{60}$, доказать, что максимум составаяет около $1^{\circ} 54^{\prime} 30^{\circ}$.
4. Доказать, что в эллиптическом движении около фокуса среднее значение радиуса-ьектора во времени 1) в точности равно величине
\[
a\left(1+\frac{1}{2} e^{2}\right) \text {. }
\]
5. Доказать, по уравнения декартовых координатах движенял точки при дентральном ускорении $\frac{\mu}{r^{2}}$ суть
\[
\ddot{x}=-\frac{\mu x}{r^{3}}, \quad \ddot{y}=-\frac{\mu y}{r^{3}} .
\]
Вывести иэ них интеграл
\[
x \dot{y}-y \dot{x}=h
\]
п показать, что
\[
\ddot{x}=-\frac{\mu}{h} \frac{d}{d t}\left(\frac{y}{r}\right), \quad \ddot{y}=\frac{\mu}{h} \frac{d}{d t}\left(\frac{x}{r}\right) .
\]
Показать отсюда, тто уғавнение траектории имеет вид:
\[
r=\frac{h^{2}}{\mu}+A x+B y \text {. }
\]
6. Если при эллиптическом движении около фокуса материальпая точка подучаст н значительный имиульс в направлении нормали, 10 ноьая орбита пересечет прежню на другом конце хорды, проходящей через фокус, не занитай дентуальным телом.
7 Вы снено. тто звезда Спика ( $\mathrm{Sp} \mathrm{C}$ ) предстакяет двойную звезду, компоне іты которой вращаются в круг друг груга с периодом 4,1 суток. uричем нанбод,шая относительн’я ско ость на орбите составляет 58 кмісек. Определить среднее рсстояние между комчонентами звезды и по нню массу двойной звезды, принимая массу Солнца за единицу, а среднее рлсстояние Земли от Солнца равным 1 ї млін. км.
\[
\text { [Среднее расстояние }=3,27 \cdot 1 \text { ск } к \text {; полная масса }=0,0.3 \text { ] }
\]
8. Показать, что изменение малой оси при малом изменении абсолютного ускорения определиіся фирмулою:
\[
\frac{\delta h}{b}=-\frac{a}{r} \frac{\delta \mu}{\mu} \text {. }
\]
9. Докэзать, что гействие небольшого касательного импульса на эксцентриситет орбиты определяется формулою:
\[
e^{2 j e}=\frac{2 b^{2}}{a^{2}}\left(\frac{a}{r}-1\right) \frac{\delta v}{v} .
\]
Доказать, что если – есть долгота, измеряемая от апсиды, то
\[
b_{e}=2(\cos \theta+e) \frac{\delta v}{v} .
\]
v) Т. е. в:ачение иптеграла $\frac{1}{T} \int_{0}^{r} r d t$. П рим. перев.
Примеры XIX. Постоянная тяготения.
1. Предположим, что одна из малых планет имеет сферическую форму и такую же среднюю плотность, нак Земля, и что єе диаметр равен 160 км. П.казать, чю материальная точка, брошенная с се поверхносіи вверх со скоростью, превышаюшей 140 м/сек, не вернется на планету.
2. Вычислить в м/сгк скорость, с которой нужно подбросить вверх с поверхности Луны материальную очку, чтобы она могла удалиться в бесконечность (радиус Земли равен $6,4 \cdot 10^{6}$, а масса Јуны и ее радиус составляют соответственно $\frac{1}{81}$ и $\frac{1}{4}$ значений для Земли).
[2484 м/сек.]
3. Два одинаковых шара, обладающих взаимным притяжением, находятся в покое на расстоянии, равном их радиусу. Показать, что если прегоставить их действио взаимно о притяжения, то времч, которое прой: ет до момента их соприкосновения, составит 0,707 часть тоги времени, которое прошло бы до соприкосн вения, если бы один из шаров был неподвижен.
4. Показать, что если два одинаковых шара, имеющих радиус $a$ и плотность, равную средней плотности Земли, ндчнут двигаться из состоянии покоя с большого расстояния друг от друга под действием только сил взаимного притяжения, то они стилкнутся со скоростью
\[
\sqrt{\frac{\frac{1}{2} g a^{2}}{R}} .
\]
где $R$ есть радиус Земли.
5. Два свинцовых шара, каждый диаметром в $1 \boldsymbol{\mu}$, помещены на расстоянии 1 км друг ст друга. Показіть, что предоставленные действию только их взаимного притежения они стэлкнуись бы по истечении 4јо днай. (Псиінть, что радиус Земли равен $637.10^{8} \mathrm{cM}$, средн.я плотность Земли равна половине плотности свннна и $g=981$ см/сек ${ }^{2}$ )
6. Расстояние между ценр.ми двух железных шаров, каждый диаметром в 1 , составляет 2 м. Доказать, что предоставльные дійствию только ьзаимного притяжения они столкнулись бы примерно чегез час. (Принять, что радиус Земли равен $6,37 \cdot 10^{8} \mathrm{cм}$, а средняя плотность Земли равна приблизительно $\frac{4}{5}$ плотности железа)
7. Один из спутников Юпитера имеет период обращения в 7 дней 3 ч 40 м, и его центр находи:ся от центра Юпнтера на расстоянии, равнлм 15 ралиусам планеты. Период сбрашения нашей Луны составльет 27 дней $7440 \mathrm{~m}$, а ее расстояние от пентра Земли равно о 0 земным радиусам. Найти отношение средней плотности Юпитера к средней плотнисти Зімл..
$[0,214$.
8. Даны видимый с Земли полулиаметр Солнца (16′), угол, под которым виден радиус Земли с Луны (57′), и число оборотов Луны вокруг Земли в 1ечение года ( 13,4 ). Найти отношение средней плотности Солнца к средней плотности Земли.
$[0,252$.
9. Доказать, что период обращения спутника, расположенного у самой поверхности планеты, зависит от средней плотности планеты, но не от ее размера.
Какую продолжительность имел бы период, если бы средняя плотность была равна плотности воды.
[3\”20м .]
10. Доказать, что если размеры разных тел солнечной системы и их взаимные расстояния и скорости изменить в одном и том же отношении, но плотнисти оставить прежними. то изменения в конфигурации их в любой мимент времени будуа точно такими же, как и в действительном состоянии системы.
Что получилось бы, если бы все плотности изменились в одном отношении?
