Для того чтобы уравнениям (11) $\S 106$ могли удовлетворять значения $\dot{\theta}=0, \dot{\varphi}=0$, мы должны иметь:
\[
\frac{\partial U}{\partial \theta}=0, \quad \frac{\partial U}{\partial \varphi}=0,
\]
1) Эту теорему связывают с именами Эйлера, Лагранжа, Делоне (1840) и Бертрана (Bertrand, 1853), но в наиболее общем виде ее точно формулировал Делоне.
2) В. Томсон, впоследствии лорд Кельвин (1863).
э) Релей (Raylei,h, 1886).

как это известно и на основании других соображений. Эти равенства можно рассматривать как два уравнения для определения значений $\theta$, $\varphi$, соответствующих разным возможным конфигурациям системы; равенства выражают, что потенциальная энергия для малых перемещений стационарна ( Статика“, § 57).

Для выяснения характера равновесия мы можем изменить координаты путем добавления постоянных таким образом, чтобы новые координаты при рассматриваемой конфигурации были равны нулю. Следовательно, при рассмотрении влияния малых возмущений мы можем считать величины $\theta, \varphi$, а также и $\dot{\theta}$, $\varphi$ малыми.

Опуская члены $\frac{\partial T}{\partial \theta}, \frac{\partial T}{\partial \varphi}$ в уравнениях движения как величины второго порядка относительно $\dot{\theta}, \dot{\varphi}$, мы приведем уравнения к виду:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}+\frac{\partial U}{\partial \theta}=0, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \varphi}+\frac{\partial U}{\partial \varphi}=0 .
\]

Далее, коэфициенты $A, H, B$ в выражении для $T$
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+2 H \dot{\theta} \dot{\varphi}+\dot{\psi}^{2}\right)
\]

можно рассматривать как постоянные, равные значениям коэфициентов: в положении равновесия, так как получающаяся вследствие этого ошибка в ура́внениях (2) будет второго порядка.

Наконец, мы предположим, что при малых значениях $\theta, \varphi$ функцию $U$ можно разложить в ряд вида:
\[
U=U_{0}+\frac{1}{2}\left(a \theta^{2}+2 h \theta \varphi+b \varphi^{2}\right)+\ldots
\]

Члены первого порядка здесь отсутствуют, так как равенства (1) должны удовлетворяться при $\theta=0, \varphi=0$. Коэфициенты $a, h, b$ можно назвать \”коэфициентами устойчивости “ системы.

Следовательно, если мы оставим только члены первого порядка, то уравнения (2) примут вид:
Чтобы решить их, положим
\[
\theta=C \cos (n t+\varepsilon), \quad \varphi=k C \cos (n t+\varepsilon),
\]

где $C, k, \varepsilon$ – постоянные. Уравнения будут удовлетворяться при выполнении равенств
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(n^{2} A-a\right)+\left(n^{2} H-h\right) k=0 \\
\left(n^{2} H-h\right)+\left(n^{2} B-b\right) k=0 .
\end{array}\right\}
\]

Исключив $\boldsymbol{k}$, мы получим:
\[
\left|\begin{array}{ll}
n^{2} A-a, & n^{2} H-h \\
n^{2} H-h, & n^{2} B-b
\end{array}\right|=0 .
\]

Это будет квадратное уравнение относительио $n^{2}$. Следовательно, формулы (6) представляют решение уравнений (5) при условии, что $n$ удовлетворяет уравнению (8), а коэфициент $k$ определен так, чтобы удовлетворялись оба равенства (7).

Т’ак как выражение (3) для $T$ существенно положительно, каковы бы ни были значения $\dot{\theta}$, $\dot{\varphi}$, то коэфициенты инерции удовлетворяют соотношениям:
\[
A>0, \quad B>0, \quad A B-H^{2}>0 .
\]

Следовательно, если в предыдущем определителе мы положим $n^{2}= \pm \infty$, то его знак будет положителен; если положим $n^{2}=\frac{A}{a}$ или $\frac{b}{B}$, то его знак будет отрицателен; если же мы положим $n^{2}=0$, то знак определителя будет, совпадать со знаком $a b-h^{2}$. Таким образом оба корня уравнения (8), рассматриваемого как уравнение относительно $n^{2}$, будут всегда действительными.

Очевндно, что корни не равны между собой, если только не будет выполнено равенство $\frac{a}{A}=\frac{b}{B}$. Кроме того, для равенства корней необходимо, чтобы значение $n^{2}$ было равно общему значению этих дробей, а из (8) вытекает, что значение $n^{2}$ должно быть также равно значению $\frac{h}{H}$. Следовательно, условия для равенства корней будут:
\[
\frac{a}{A}=\frac{h}{H}=\frac{b}{B},
\]

причем из уравнений (7) следует, что значение $k$ будет в этом случае неопределенным. Мы оставим пока этот случай в стороне.

Если выражение для $U-U_{0}$ в (4) будет существенно положительно, т. е. если $U$ в положении равновесия будет иметь минимальное значение, то должно быть
\[
a>0, b>0, a b-h^{2}>0,
\]

и, следовательно, оба значения $n^{2}$ будут положительными, причем одно будет больше наибольшего, а другое меньше наименьшего из двух величин $\frac{a}{A}$ и $\frac{b}{B}$.

Если же $U$ в положении равновесия будет иметь максимальное значение, то должно быть
\[
a<0, b<0, a b-h^{2}>0,
\]

и оба значения $n^{2}$ будут иметь отрицательный знак. В таком случае выражения (6) будут мнимыми, и их нужно будет заменить другими, содержащими показательные функции с действительными показателями (см. § 32).

Если
\[
a b-h^{2}<0,
\]

то одно значение $n^{2}$ будет отрицательным, а другое ппложительным.
Если мы ограничимся случаем устойчивого равновесия и сложим решения, соответствующие двум значениям $n^{2}$, то получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\theta=C_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right)+C_{2} \cos \left(n_{2} t+\varepsilon_{2}\right), \\
\varphi=k_{1} C_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right)+k_{2} C_{2} \cos \left(n_{2} t+\varepsilon_{2}\right),
\end{array}\right\}
\]

где значения $C_{1}, C_{2}, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ произвольны, а $k_{1}, k_{2}$ опрецеляются при помощи каждого из соотноше ний (7), в которые должны быть подстаялены соответствующие значения $n^{2}$. Так как мы имеем здесь четыре произвольных постоянных, то решение является общим.

Мы получим непосредственно то же основное уравнение (8) при несколько измененных условиях. Предположим, что путем введения идеальной (без трения) связи координату $\varphi$ можно сделать пропорциональною координате $\theta^{1}$ ), например
\[
\varphi=k \theta \text {. }
\]

В этом случае система будет иметь одну степень свободы, причем выражения для кинетической и потенциальной энергии будут иметь вид:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left(A+2 H k+B k^{2}\right) \dot{\theta}^{2}, \\
U-U_{0} & =\frac{1}{2}\left(a+2 h k+b k^{2}\right) \theta^{2} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, период $\frac{2 \pi}{n}$ малых колебаний при наличии этой связи будет на основании § 65 определяться при помощи формулы:
\[
n^{2}=\frac{a+2 h k+b k^{2}}{A+2 H k+B k^{2}} .
\]

Если бы эта дробь имела отрицательный знак, то это показывало бы, что решение имеет действительные показательные функции, и, следовательно, рассматриваемое положение при наличии связи является неустойчивым.

Так как значение $T$ в формуле (15) существенно положительно, то знаменатель в формуле (17) не может обратиться в нуль. Следовательно, дробь имеет конечное значение для всех значений $k$ и должна иметь максимальное и минимальное значения. Чтобы найти эти экстремальные значения, представим уравнение (17) в виде:
\[
n^{2}\left(A+2 H k+B k^{2}\right)=a+2 h k+b k^{2},
\]
1) Например, в случае маятника Блекберна ( § с9) мы можем заставить материальную точку двигаться в определенной вертикальной плоскости, проходящєй через положение равновесия.

продиференцируем его по $k$ и положим $\frac{d\left(n^{2}\right)}{d k}=0$. Мы получим:
\[
n^{2}(H+B k)=h+b k ;
\]

комбинируя это равенство с (18), мы получим также:
\[
n^{2}(A+H k)=a+h k .
\]

Эти равенства тождественны с (7), и если мы исключим $k$, то найдем, что стационарные значения $n^{2}$ будут корнями квадратного уравнения (8), которые, следовательно, будут иметь действительные значения. Кроме того, если $U-U_{0}$ существенно положительно, то на основании (17) оба значения $n^{2}$ будут положительными, а если $U-U_{0}$ будет существенно отрицательно, то оба значения $n^{2}$ будут отрицательны. Если $U-U_{0}$ может иметь оба знака, то, конечно, максимальное значение $n^{2}$ будет положительным, а минимальное – отрицательным.