Рассмотрение вопросов, огносящихся к пцентральным силам“, часто производится при помощи полярных координат, которье существенно необходимы в некоторых случаях, особенно в астрономии.

Пусть полярные координаты движущейся точки в момент времени $t$ будут $r, \theta$, а в момент времени $t+\delta t$ будут $r+\delta r, \theta+\delta t$. На чертеже (фиг. 82) $O P=r, O P^{\prime}=r+\delta r$, а угол $P O P^{\prime}$ равен $\delta \theta$. Перемещение, параллельное $O P$, за время $t$ с точностью до величин первого порядка будет выражаться формулою:
\[
O P^{\prime} \cos 2 \theta-O P=(r+8 r) \cos 8 \theta-r=8 r,
\]

и, следовательно, составляющая скорости в точке $P$ в направлении $O P$ будет выражаться формулою:
\[
u=\frac{d r}{d t}
\]

Далее, перемещение, перпендикулярное к $O P$, с точностью до величин первого порядка будет:
\[
O P^{\prime} \sin \delta \theta=(r+\delta r) \sin 8 \theta=r \partial \theta .
\]

Следовательно, составляющая скорости в точке $P$ в направлении, перпендикулярном к $O P$, будет:
\[
v=r \frac{d \theta}{d t} \text {. }
\]

Количества, обозначенные через $u, v$, называются соответственно „радиальной“ и ,поперечной (трансверсальной)“ составляющими скорости. Выражения для них можно получить из известных формул анализа. Если $\varphi$ есть угол, составляемый касательною к траектории с радиусом вектором, то мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
u=\frac{d s}{d t} \cos \varphi=\frac{d s}{d t} \cdot \frac{d r}{d s}=\frac{d r}{d t}, \\
v=\frac{d s}{d t} \sin \varphi=\frac{d s}{d t} \frac{r d \theta}{d s}=r \frac{d \vartheta}{d t} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Чтобы найти радиальную и поперечную составляющие ускорения, предположим, что в момент времени $t+i t$ проекции скорости будут $u+\delta u, v+\delta v$. Конечно, на-
правления их будут составлягь с соответствующими направлениями $u, v$ углы 86 (фиг. 83). За время $\delta t$ скорость, параллельная $O P$, изменилась на
\[
(u+\delta u) \cos \delta \theta-(v+\delta v) \sin \delta \theta-u=\delta u-v \delta \theta,
\]

и, следовательно, радиальное ускорение в момент времени $t$ будет
\[
a=\frac{d u}{d t}-v \frac{d \theta}{d t} .
\]

Далее, составляющая скорости, перпендикулярная к $O P$, изменилась в
\[
(u+\delta u) \sin \delta \theta+(v+\delta v) \cos \delta \theta-v=\delta v+u \delta \theta,
\]

и, следовательно, поперечное ускорение в момент времени $t$ будет
\[
\beta=\frac{d v}{d t}+u \frac{d \vartheta}{d t} .
\]

Произведя подстановку из (1) в (2), мы получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
a=\frac{d^{2} r}{d t^{2}}-r\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}, \\
\beta=r \frac{d^{2} \vartheta}{d t^{2}}+2 \frac{d r}{d t} \frac{d \vartheta}{a t}=\frac{1}{r} \frac{d}{a t}\left(r^{2} \frac{d^{\ominus}}{d t}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, если мы обозначим радиальную и поперечную составляющие силы, действующей на материальную точку $m$, через $R, S$, то уравнения движения будут:
\[
\begin{aligned}
m\left\{\frac{d^{2} r}{d t^{2}}-r\left(\frac{d^{
atural}}{d t}\right)^{2}\right\} & =R, \\
m \frac{d}{d \iota}\left(r^{2} \frac{d \emptyset}{d t}\right) & =S r .
\end{aligned}
\]

Последнее уравнение можно получить из теоремы о моменте количества движения (§48). Момент количества движения материагьной точии относительно начала координат равен произвеэению попечной составляющей количества движения $m v$ на радиус-вектор $r$ и, следовательно, на основании (2) выражается формулой $m r^{2} \frac{d f}{d t}$. Уравнение (8) выражаєт, что этот момент изменяется со скоростью, равною и́оменту $\mathrm{Sr}$ силы, действующей на материальную точку.

Пример 1. Формулы (6) можно вывести токже из уравнений движ ния, отнесенных к вращающимся осям декартовнх кпординат. Если углочая скорость
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-2 \omega \frac{d v}{d t}-\omega^{2} x-\frac{d \omega}{d t} y, \\
\beta=\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \omega \frac{d x}{a t}-\omega^{2} y+\frac{d^{2}}{d t} x .
\end{array}\right\}
\]

Полаıая
\[
x=r, y=0, \omega=\frac{d \theta}{d t},
\]

мы получим снова рассматриваемые формулы.
ПРимер 2. Найти такой закон для ускгрения, напгавленного к центру чтобы материальная точка могла описывать коническое сечение
\[
\frac{l}{r}=1+e \cos \theta .
\]

Так как здесь поперечного ускорения нет, то мы имеем:
\[
\frac{d}{d t}\left(r^{2} \frac{d \theta}{d t}\right)=0 ; \quad \text { или } \quad r^{2} \frac{d \theta}{d t}=h,
\]

как в § 76. Далее, диференцируя (11) по $t$, получим:
\[
\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d t}=e \sin \theta \frac{d \theta}{d t}
\]
и, следовательно, на основании (12)
\[
\frac{d r}{d t}=\frac{e h}{l} \sin \theta .
\]

Таким образом на основании (11) и (12) будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}=\frac{e h}{l} \cos \theta \frac{d^{\theta}}{d t}=\frac{h^{2}}{l r^{2}}\left(\frac{l}{r}-1\right), \\
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}-r\left(\frac{d \theta}{a t}\right)^{2}=-\frac{\mu}{r^{2}},
\end{array}
\]

и, следовательно,
\[
\mu=\frac{h^{2}}{l},
\]

что совпалает с $\$ 85\left({ }^{1} 0\right)$.
В случае ветви гиперболы с полюсом в наружном фокусе мы вместо (11) имеем:
\[
\frac{l}{r}=e \cos \theta-1 \text {. }
\]

Отсюда получаются аналогичные следствия с тем лишь отличием, что ускорение в этом случае направлено напужу.

Можно заметить еше следуюшее. Уравнение (14) показывает, что расстояние планеты от Солниа изменяется наиболее быстро на расстсянии $90^{\circ}$ от перигелия, причем максимальная скорость изменения будет
\[
\frac{e h}{l}=\frac{2 \pi a h e}{T l}=\frac{2 \pi a}{T} \frac{e}{\sqrt{1-e^{2}}},
\]

где $T$ есть период обращения. В случае Земли, для которой
\[
a=15 \cdot 10^{7} \mathrm{kM}, e=\frac{1}{60} .
\]

эта скорость составляет около 43500 км в сутки.
ПРимер 3 В случе центральной орбиыы, если начало координат (полюс) находится в ценгре силы, мы имеем:
\[
\begin{array}{c}
R=-m_{\varphi}(r), \quad S=0, \\
\ddot{r}-\dot{r}^{2}=-\varphi(r), \\
r^{20}=h .
\end{array}
\]

Таким образом, исключая $\delta$, мы получим уравнение:
\[
\dot{r}-\frac{h^{2}}{r^{3}}=-\varphi(r)
\]

Умножая обе части этого уравнения на $2 \dot{r}$ и интегрируя по $t$, мы получим уравнение:
\[
r^{2}+\frac{h^{2}}{r^{2}}=C-2 \int \varphi(r) d r,
\]

котопое эквивалентно уравнению энергии.
Эти формулы можно применить для повторного вывода уже известных результатов. Так, если

то мы имеем:
\[
\psi(\cdot)=n^{2} r
\]
\[
r^{2}+\frac{h^{2}}{r^{2}}=C-n^{2} r^{2} \text {. }
\]

Стационарные значения $r$ получатся при $\dot{r}=0$, иль
\[
n^{2} r^{4}-C r^{2}+h^{2}=0 .
\]

Легко видеть, как в \$ 84, что корни этого квадратного уравнения, если считать $r^{2}$ за неизвестное, действительны и положительны. Обозначив их чегез $a^{2}, b^{2}$, мы имеем:
\[
C=n^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right), \quad h^{3}=n^{2} a^{2} b^{2} .
\]

Поэтому уравнение (26) можно представить в виде:
\[
r^{2} r^{2}=n^{2}\left(a^{2}-r^{2}\right)\left(r^{2}-b^{2}\right),
\]
rде через $a^{2}$ обозначено большее из двух количеств $a^{2}, b^{2}$. Следовательно, так как $r$ уменьшается от $a$ до $b$, то
\[
\frac{r \dot{r}}{\sqrt{\left(a^{2}-r^{2},\left(r^{2}-b^{2}\right)\right.}}=-n \text {. }
\]

Если мы положим
\[
r^{2}=a^{2} \cos ^{2} \varphi+b^{2} \sin ^{2} \varphi \text {. }
\]

то получим:
\[
\frac{d \varphi}{d t}=n, \quad \varphi=n t+\varepsilon .
\]

Далее, на основании (22) мы имеем:
\[
\dot{\theta}=\frac{h}{r^{2}}=\frac{n a b}{r^{2}},
\]

откуха
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \varphi}{d \varphi}=\frac{a b}{a^{2} \cos ^{2} \varphi+b^{2} \sin ^{2} \varphi}, \\
0=\operatorname{arctg} \frac{b \sin \varphi}{a \cos \varphi},
\end{array}
\]

если начало отсчета $\theta$ совпадает с началом отсчета р. Формулы (31) и (34) показывают, что количества $a \cos \varphi, b \sin \varphi$ являются прямоугольными ко рдинатами точек орбиты, которая, следовательно, предстаьляет эллипс
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \text {. }
\]

Пример 4. Точка с массою $m$, движущаяся по гладкому столу, привязана к нити, проходяшей через небольиое отьерстие в столе и поддержив ющей массу $m^{\prime}$, свешивающуюся вертикаліно.
Применяя полярные координаты. дли движения точки $m$ мы имеем уравнения:
\[
m\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}\right)=-P, r^{2} \dot{\theta}=h_{3}
\]

где $P$ есть натяжение нити. Так как ускорение массы $m^{\prime}$ равно $\ddot{r}$, то
\[
m^{\prime} \ddot{r}=P-m^{\prime} g \text {. }
\]

Исключая $\ddot{r}$ и $\dot{0}$, мы получим:
\[
P=\frac{m m^{\prime}}{m+m^{\prime}}\left(g+\frac{h}{r^{3}}\right) .
\]

Следовательно, точка $m$ движется так, как если бы она была подвержена дей стьию силы, состоящей из по:тоянного слагаемого и из слагаемого, изменяющегося обратно пропорциснально кубу расстояния. При этом, сднако, величина второго слагаемого зависит от значения $h$, а следовательно, и от начальных условий.