Рассмотрение вопросов, огносящихся к пцентральным силам“, часто производится при помощи полярных координат, которье существенно необходимы в некоторых случаях, особенно в астрономии.

Пусть полярные координаты движущейся точки в момент времени $t$ будут $r,\theta$, а в момент времени $t+\delta t$ будут $r+\delta r,\theta +\delta t$. На чертеже (фиг. 82) $OP=r,O{P}^{\prime }=r+\delta r$, а угол $PO{P}^{\prime }$ равен $\delta \theta$. Перемещение, параллельное $OP$, за время $t$ с точностью до величин первого порядка будет выражаться формулою:
$$O{P}^{\prime }\cos 2\theta -OP=(r+8r)\cos 8\theta -r=8r,$$

и, следовательно, составляющая скорости в точке $P$ в направлении $OP$ будет выражаться формулою:
$$u=\frac{dr}{dt}$$

Далее, перемещение, перпендикулярное к $OP$, с точностью до величин первого порядка будет:
$$O{P}^{\prime }\sin \delta \theta =(r+\delta r)\sin 8\theta =r\partial \theta .$$

Следовательно, составляющая скорости в точке $P$ в направлении, перпендикулярном к $OP$, будет:
$$v=r\frac{d\theta }{dt}\text{. }$$

Количества, обозначенные через $u,v$, называются соответственно „радиальной“ и ,поперечной (трансверсальной)“ составляющими скорости. Выражения для них можно получить из известных формул анализа. Если $\phi$ есть угол, составляемый касательною к траектории с радиусом вектором, то мы имеем:
$$\begin{array}{l}u=\frac{ds}{dt}\cos \phi =\frac{ds}{dt}\cdot \frac{dr}{ds}=\frac{dr}{dt},\\ v=\frac{ds}{dt}\sin \phi =\frac{ds}{dt}\frac{rd\theta }{ds}=r\frac{d\vartheta }{dt}\cdot \end{array}\}$$

Чтобы найти радиальную и поперечную составляющие ускорения, предположим, что в момент времени $t+it$ проекции скорости будут $u+\delta u,v+\delta v$. Конечно, на-
правления их будут составлягь с соответствующими направлениями $u,v$ углы 86 (фиг. 83). За время $\delta t$ скорость, параллельная $OP$, изменилась на
$$(u+\delta u)\cos \delta \theta -(v+\delta v)\sin \delta \theta -u=\delta u-v\delta \theta ,$$

и, следовательно, радиальное ускорение в момент времени $t$ будет
$$a=\frac{du}{dt}-v\frac{d\theta }{dt}.$$

Далее, составляющая скорости, перпендикулярная к $OP$, изменилась в
$$(u+\delta u)\sin \delta \theta +(v+\delta v)\cos \delta \theta -v=\delta v+u\delta \theta ,$$

и, следовательно, поперечное ускорение в момент времени $t$ будет
$$\beta =\frac{dv}{dt}+u\frac{d\vartheta }{dt}.$$

Произведя подстановку из (1) в (2), мы получим:
$$\begin{array}{l}a=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\vartheta }{dt}\right)}^2,\\ \beta =r\frac{d^2\vartheta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\vartheta }{at}=\frac{1}{r}\frac{d}{at}\left(r^2\frac{d^{\ominus }}{dt}\right).\end{array}\}$$

Таким образом, если мы обозначим радиальную и поперечную составляющие силы, действующей на материальную точку $m$, через $R,S$, то уравнения движения будут:
$$\begin{array}{rl}m\{\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d^{atural}}{dt}\right)}^2\}& =R,\\ m\frac{d}{d\iota }\left(r^2\frac{d\mathrm{\varnothing }}{dt}\right)& =Sr.\end{array}$$

Последнее уравнение можно получить из теоремы о моменте количества движения (§48). Момент количества движения материагьной точии относительно начала координат равен произвеэению попечной составляющей количества движения $mv$ на радиус-вектор $r$ и, следовательно, на основании (2) выражается формулой $m{r}^2\frac{df}{dt}$. Уравнение (8) выражаєт, что этот момент изменяется со скоростью, равною и́оменту $\mathrm{Sr}$ силы, действующей на материальную точку.

Пример 1. Формулы (6) можно вывести токже из уравнений движ ния, отнесенных к вращающимся осям декартовнх кпординат. Если углочая скорость
$$\begin{array}{l}\alpha =\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-2\omega \frac{dv}{dt}-{\omega }^{2}x-\frac{d\omega }{dt}y,\\ \beta =\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\omega \frac{dx}{at}-{\omega }^{2}y+\frac{d^2}{dt}x.\end{array}\}$$

Полаıая
$$x=r,y=0,\omega =\frac{d\theta }{dt},$$

мы получим снова рассматриваемые формулы.
ПРимер 2. Найти такой закон для ускгрения, напгавленного к центру чтобы материальная точка могла описывать коническое сечение
$$\frac{l}{r}=1+e\cos \theta .$$

Так как здесь поперечного ускорения нет, то мы имеем:
$$\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\theta }{dt}\right)=0;\text{ или }{r}^2\frac{d\theta }{dt}=h,$$

как в § 76. Далее, диференцируя (11) по $t$, получим:
$$\frac{1}{r^2}\frac{dr}{dt}=e\sin \theta \frac{d\theta }{dt}$$
и, следовательно, на основании (12)
$$\frac{dr}{dt}=\frac{eh}{l}\sin \theta .$$

Таким образом на основании (11) и (12) будем иметь:
$$\begin{array}{c}\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{eh}{l}\cos \theta \frac{d^{\theta }}{dt}=\frac{h^2}{l{r}^2}(\frac{l}{r}-1),\\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{at}\right)}^2=-\frac{\mu }{r^2},\end{array}$$

и, следовательно,
$$\mu =\frac{h^2}{l},$$

что совпалает с $\mathrm{\$}85\left({}^{1}0\right)$.
В случае ветви гиперболы с полюсом в наружном фокусе мы вместо (11) имеем:
$$\frac{l}{r}=e\cos \theta -1\text{. }$$

Отсюда получаются аналогичные следствия с тем лишь отличием, что ускорение в этом случае направлено напужу.

Можно заметить еше следуюшее. Уравнение (14) показывает, что расстояние планеты от Солниа изменяется наиболее быстро на расстсянии ${90}^{\circ }$ от перигелия, причем максимальная скорость изменения будет
$$\frac{eh}{l}=\frac{2\pi ahe}{Tl}=\frac{2\pi a}{T}\frac{e}{\sqrt{1-e^2}},$$

где $T$ есть период обращения. В случае Земли, для которой
$$a=15\cdot {10}^7\mathrm{kM},e=\frac{1}{60}.$$

эта скорость составляет около 43500 км в сутки.
ПРимер 3 В случе центральной орбиыы, если начало координат (полюс) находится в ценгре силы, мы имеем:
$$\begin{array}{c}R=-m_{\phi }(r),S=0,\\ \ddot{r}-{\dot{r}}^2=-\phi (r),\\ r^{20}=h.\end{array}$$

Таким образом, исключая $\delta$, мы получим уравнение:
$$\dot{r}-\frac{h^2}{r^3}=-\phi (r)$$

Умножая обе части этого уравнения на $2\dot{r}$ и интегрируя по $t$, мы получим уравнение:
$$r^2+\frac{h^2}{r^2}=C-2\int \phi (r)dr,$$

котопое эквивалентно уравнению энергии.
Эти формулы можно применить для повторного вывода уже известных результатов. Так, если

то мы имеем:
$$\psi (\cdot )=n^{2}r$$
$$r^2+\frac{h^2}{r^2}=C-n^2{r}^2\text{. }$$

Стационарные значения $r$ получатся при $\dot{r}=0$, иль
$$n^2{r}^4-C{r}^2+h^2=0.$$

Легко видеть, как в $ 84, что корни этого квадратного уравнения, если считать $r^2$ за неизвестное, действительны и положительны. Обозначив их чегез $a^2,b^2$, мы имеем:
$$C=n^2(a^2+b^2),h^3=n^2{a}^2{b}^2.$$

Поэтому уравнение (26) можно представить в виде:
$$r^2{r}^2=n^2(a^2-r^2)(r^2-b^2),$$
rде через $a^2$ обозначено большее из двух количеств $a^2,b^2$. Следовательно, так как $r$ уменьшается от $a$ до $b$, то
$$\frac{r\dot{r}}{\sqrt{(a^2-r^2,(r^2-b^2)}}=-n\text{. }$$

Если мы положим
$$r^2=a^2{\cos }^2\phi +b^2{\sin }^2\phi \text{. }$$

то получим:
$$\frac{d\phi }{dt}=n,\phi =nt+\epsilon .$$

Далее, на основании (22) мы имеем:
$$\dot{\theta }=\frac{h}{r^2}=\frac{nab}{r^2},$$

откуха
$$\begin{array}{c}\frac{d\phi }{d\phi }=\frac{ab}{a^2{\cos }^2\phi +b^2{\sin }^2\phi },\\ 0=\mathrm{arctg}\frac{b\sin \phi }{a\cos \phi },\end{array}$$

если начало отсчета $\theta$ совпадает с началом отсчета р. Формулы (31) и (34) показывают, что количества $a\cos \phi ,b\sin \phi$ являются прямоугольными ко рдинатами точек орбиты, которая, следовательно, предстаьляет эллипс
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{. }$$

Пример 4. Точка с массою $m$, движущаяся по гладкому столу, привязана к нити, проходяшей через небольиое отьерстие в столе и поддержив ющей массу $m^{\prime }$, свешивающуюся вертикаліно.
Применяя полярные координаты. дли движения точки $m$ мы имеем уравнения:
$$m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-P,r^2\dot{\theta }=h_3$$

где $P$ есть натяжение нити. Так как ускорение массы $m^{\prime }$ равно $\ddot{r}$, то
$$m^{\prime }\ddot{r}=P-m^{\prime }g\text{. }$$

Исключая $\ddot{r}$ и $\dot{0}$, мы получим:
$$P=\frac{m{m}^{\prime }}{m+m^{\prime }}(g+\frac{h}{r^3}).$$

Следовательно, точка $m$ движется так, как если бы она была подвержена дей стьию силы, состоящей из по:тоянного слагаемого и из слагаемого, изменяющегося обратно пропорциснально кубу расстояния. При этом, сднако, величина второго слагаемого зависит от значения $h$, а следовательно, и от начальных условий.