Постоянная возмущающая сила. Если на материальную точку действует не только притягивающая сила, пропорциональная расстоянию, как в § 10 , но также и данная внешняя или „возмущающая “ила, сообщающая ускорение $X$, то диференциальное уравнение движения принимает вид:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+n^{2} x=X
\]

Так, например, если возмущающая сила постоянна и сообщает ускорение $f$, то мы имеем:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+n^{2} x=f
\]

Мы можем представить это уравненне в следующем виде:
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(x-\frac{f}{n^{2}}\right)+n^{2}\left(x-\frac{f}{n^{2}}\right)=0 ;
\]

решение последнего будет:
\[
x-\frac{f}{n^{2}}=A \cos n t+B \sin n t .
\]

Эта формула показывает, что точка будет совершать простое гармоническое колебание с произвольной амплитудой и начальной фазой около нового положения равновесия $\left(x=\frac{f}{n^{2}}\right)$. Период $\frac{2 \pi}{n}$ этого колебания такой же, как и у невозмущенного движения.

П Риме Р. Предположим, что точка, первоначально находившаяся в состоянии покоя, подвергается действию постоянной возмущаюшей силы в течение одной шестой части периода, затем сила в течение следующей шестой части не действует, затем снова начинает действовать и остается постоянной.

Пусть $O$ будет первоначальное положение равновесия; положим $O A=\frac{f}{n^{2}}$, где $f$ представляет постоянное ускорение, сообщаемое возмущающею силою 1) Точка в течение первой шестой части периода будет колебаться около $A$ как около нового положения равновесия с амплитудою $O A$, причем эту точку следует рассматривать как проекцию точки, двигающейся по кругу с центром в $A$ и с радиусом $A O$ и выходящей из точки $O$. По истечении одной шестой периода точка, движущаяся по окружности, займет такое положение $Q$, что $\angle A O Q=\frac{1}{3} \pi$, и, следовательно, точка, совершающая колебания, будет находиться в точке $P$, делящей отрезок $O A$ пополам. Так как по предположению в этот момент возмущающая сила перестает действовать, то точка, описывавшая прежде круг с центром $A$, теперь будет описывать круг с центром $O$, начав движение в точке $Q$, так как начальная скорость равна $n \cdot P Q$. Так как $\angle A O Q=\frac{1}{3} \pi$, то по истечении следующей одной шестой части периода точка придет в $A$ с нулевой скоростью. Следовательно, если затем возмущающую силу приложить снова, то точка будет оставаться в покое в $A$.

Этот пример иллюстрирует правило, формулированное Гауссом, для включения тока в тангенс-гальванометр, не имеющий успокоения. При этом предполагается, что отклонения стрелки настолько малы, тто восстанавливающая пара, действующая на стрелку, может быть принята пропорциональною отклонениям, указываемым шкалою инструмента. Проверив, что стрелка находится в состоянии покоя, включают ток (путем надавливания ключа) и держат цепь замкнутой до тех пор, пока отклонение не достигнет Фиг. 8. половины того предполагаемого значения, при котором будет равновесие; затем цепь оставляют разомкнутой до тех пор, пока стрелка не придет в состояние покоя, и уже окончательно включают ток снова. Если предполагаемое отклонение было оценено правильно, и все операции были выполнены в точности, как требуется, то стрелка не будет колебаться. На практике эти условия не могут быть выполнены строго, и в результате этого стрелка в конце концов будет все-таки колебаться около нового положения равновесия. Но так как размах колебаний будет небольшим, то положение равновесия стрелки можно определить с большою точностью.