Методы предыдущего параграфа легко применить к случаю, когда кроме реакций связи (неподвижной оси) на тело действуют еще и другие силы.
Для простоты рассмотрим случай физического маятника и предположим, что ось подвеса является главною осью инерции, проходящею через точку $O$, лежащую, как прннято в $§ 55$, в плоскости, перпендикулярной к оси и проходящей через центр масс (фиг. 50). Очевидно, что это условие будет выполнено, если эта плоскость является плоскостью симметрии тела.
Применяя теорему о количестве движения системы, мы легко придем к искомым результатам. Реакция оси, действующая на маятник, сведется здесь к одной силе, проходящей через точку $O$. Эту силу удобно разложить на составляющую $R$ в направлении $G O$ и на составляющую $S$, перпен дикулярную $G O$, как указано на чертеже.
Так как движение $G$ будет таким, как если бы вся масса была сосредоточена в этой точке, и на нее действовали все внешние силы параллельно их действительным направлениям, то мы, проектируя на направление $G O$ и на направление, перпендикулярное к нему, получим:
\[
M \dot{h}^{2}=R-M g \cos \theta, \quad M \ddot{h}=\dot{S}-M g \sin \theta,
\]
причем обозначения нами приняты такие же, как в § 55. Следовательно, мы будем иметь:
\[
R=M h \dot{\theta}^{2}+M g \cos \theta, \quad S=M h \ddot{\theta}+M g \sin \theta .
\]
На основании $\S 55$ (1) мы получаем:
\[
\ddot{\theta}=-\frac{g h}{k^{2}} \sin \theta .
\]
С другой стороны, уравнение энергии будет:
\[
\frac{1}{2} M k^{2} \dot{\theta}^{2}=M g h \cos \theta+\mathrm{const},
\]
где член, стоящий в правой части, представляет работу силы тяжести. Следовательно,
\[
\dot{\theta}^{2}=\frac{2 g h}{k^{2}}(\cos \theta+C),
\]
где $C$ есть некоторое постоянное. Произведя подстановку из (3) и (5) в $(2)$, мы на основании $\S 55,(4)$ найдем:
\[
\begin{array}{l}
R=M g \cos \theta+\frac{2 M g h^{2}}{k^{2}}(\cos \theta+C), \\
S=M g\left(1-\frac{h^{2}}{k^{2}}\right) \sin \theta=\frac{M g \gamma^{2}}{k^{2}} \sin \theta .
\end{array}
\]
Значение $C$ будет зависеть от начальных условий. Если маятник меняет направление движения при угле наклона $a$, то мы имеем $C=-\cos \alpha$, и следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\frac{R}{M g}=\cos \theta+\frac{2 h}{l}(\cos \theta-\cos \alpha), \\
\frac{S}{M g}=\left(1-\frac{h}{l}\right) \sin \theta,
\end{array}
\]
где $l$ есть длина эквивалентного математического маятника.
Пример. В случае однородного стержня, совершающего полный оборот, мы имеем: $\alpha=\pi$ и $l=\frac{4}{3} h$; отсюда:
\[
\frac{R}{M g}=\frac{1}{2}(3+5 \cos \theta), \frac{S}{M g}=\frac{1}{4} \sin \theta .
\]
Составляющая $R$ меняет знак, при $\cos \theta=-\frac{3}{5}$, или приблизительно при $\theta=127^{\circ}$.
