Если материальная точка находится под действием постоянной силы и сопротивления среды, то уравнение движения будет иметь вид:
\[
\frac{d u}{d t}=f-\varphi(u) .
\]

Так как $\varphi(u)$ неограниченно растет ${ }^{2}$ ) вместе с $u$, то существует определенная скорость $V$, при которой
\[
\varphi(V)=f,
\]
1) Исключение из этого представляет случай волнового сопротивления судов на неглубокой воде, но мы его здесь не рассматриваем.

т. е. сопротивление уравновешивает силу, создающую движение. Эта скорость называется \”предельною\” или \”полною скоростью\” тела. Если тело начало двигаться со скоростью, меньшею предельной, то сила, производящая движение, будет больше сопротивления, и скорость будет увеличиваться. Если тело начало двигаться со скоростью, большею чем $V$, то сопротивление будет больше силы, производящей движение, и скорость будет уменьшаться. В каждом случае скорость стремится асимптотически к значению $V$.

В случае, если сопротивление пропорционально скорости, когда $\varphi(u)=k u$, мы имеем $V=\frac{f}{k}$, и уравнение (1) можно представить в виде:
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{f}{V}(V–u) \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\frac{1}{V-u} \frac{d u}{d t}=\frac{f}{V}, \quad \ln (V-u)=-\frac{f t}{V}+A . \quad .
\]

Если в начальный момент $t=0$ будет $u=u_{0}$, то мы имеем:
\[
A=\ln \left(V-u_{0}\right) \text {, }
\]

и
\[
V-u=\left(V-u_{0}\right) e^{-\frac{t t}{V}} \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=u=V-\left(V-u_{0}\right) e^{-\frac{f t}{V}}, \\
x \perp V t+\frac{V\left(V-u_{0}\right)}{f} e^{-\frac{f t}{V}}+B .
\end{array}
\]

Если при $t=0$ будет $x=0$, то мы имеем:
\[
B=-\frac{V\left(V-u_{0}\right)}{f} \text {, }
\]

откуда
\[
x=V t-\frac{V\left(V-u_{0}\right)}{f}\left(1-e^{-\frac{f t}{V}}\right) .
\]

На основании (5) мы убеждаемся, что при $t=\infty$ будет $u=V$. Последнее равенство показывает также, что для больших значений $t$ мы имеем приближенно:
\[
x=V t-\frac{V\left(V-u_{0}\right)}{f} .
\]

Если мы положим $f=g$, то предыдущие вычисления можно использовать для решения задачи о падении в воздухе очень малой капли воды сферической формы.

ПримЕр. Если материальная точка брошена вертикально вверх, и положительное направление оси $\boldsymbol{x}$ идет также вверх, то при рассмотренном законе сопротивления мы найдем:
\[
\begin{array}{l}
u=\left(V+u_{0}\right) e^{-\frac{g t}{V}}-V, \\
x=-V t+\frac{V\left(V+u_{0}\right)}{g}\left(1-e^{-\frac{g t}{V}}\right)
\end{array}
\]

при условии, что будет $x=0, u=v_{0}$ при $t=0$. Материальная точка потеряет скорость в момент времени, определяемый формулою:
\[
t=\frac{V}{g} \ln \left(1+\frac{u_{0}}{V}\right),
\]

причем это произойдет на высоте
\[
h=\frac{V^{2}}{g}\left[\frac{u_{0}}{V}-\ln \left(1+\frac{u_{0}}{V}\right)\right] .
\]