В качестве подготовительного шага к рассмотрению общей теории движения дискретной системы материальных точек целесообразно рассмотреть пока отдельно случай только двух материальных точек. Это даст нам возможность рассмотреть ряд интересных вопросов без большой сложности обозначений.
Фиг. 38.
Мы начнем со случая двух тел, движущихся по одной прямой линии. Если в соответствии с третьим законом Ньютона мы предположим, что силы взаимодействия материальных точек между собой равны и прямо противоположны, то уравнения движения будут иметь вид:
\[
m_{1} \frac{d u_{1}}{d t}=X_{1}+P, \quad m_{2} \frac{d u_{2}}{d t}=X_{2}-P,
\]

где $X_{1}, X_{2}$ – внешние силы, действующие соответственно на две точки, а силы $\pm P$ представляют силы взаимодействия (внутренние силы). Складывая, мы имеем:
\[
\frac{d}{d t}\left(m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2}\right)=X_{1}+X_{2} .
\]

Это равенство показывает, что полное количество движения $m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2}$ увеличивается со скоростью, равной сумме внешних сил, и не изменяется, если действуют только силы взаимодействия (внутренние силы). Этот результат можно-зыразить в другой форме. Если координаты обеих точек обозначить через $x_{1}, x_{2}$, то мы имеем:
\[
\begin{aligned}
m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2} & =m_{1} \frac{d x_{1}}{d t}+m_{2} \frac{d x_{2}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}\right)= \\
& =\frac{d}{d t}\left(m_{1}+m_{2}\right) \bar{x}=\left(m_{1}+m_{2}\right) \bar{u},
\end{aligned}
\]

где обозначения $\bar{x}$ и $\bar{u}$ относятся к положению и скорости центра масс („Статика“, § 66). Следовательно, полное количество движения системы будет такое же, как если бы все массы были сосредоточены в центре масс, и им была сообщена скорость этой точки.

В соответствии с этим равенство (2) можно представить в следующем виде:
\[
\left(m_{1}+m_{2}\right) \frac{d \vec{u}}{d t}=X_{1}+X_{2} .
\]

Из этого равенства следует, что центр масс движется так, как если бы в нем была сосредоточена вся масса и на него действовала результирующая всех внешних сил. В частности, если внешних сил нет, то центр масс будет иметь постоянную скорость. Если вначале он находится в покое, то он будет находиться в покое и в дальнейшем, какой бы характер ни имели силы взаимодействия между точками системы.

Эти результаты легко обобщить на случай движения в двух или трех измерениях. Так, для двух измерений мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
m_{1} \frac{d u_{1}}{d t}=X_{1}+P, \quad m_{1} \frac{d v_{1}}{d t}=Y_{1}+Q, \\
m_{2} \frac{d u_{2}}{d t}=X_{2}-P, \quad m_{2} \frac{d v_{2}}{d t}=Y_{2}-Q,
\end{array}\right\}
\]

где $\left(u_{1}, v_{1}\right),\left(u_{2}, v_{2}\right)$ – скорости обеих точек, а ( $\left.X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right)$ – внешние силы, действующие на них, в то время как силы $(P, Q),(-P,-Q)$ представляют силы взаимодействия точек системы.

Из этих уравнений мы совершенно таким же образом, как и прежде, выводим:
\[
\left(m_{1}+m_{2}\right) \frac{d \bar{u}}{d t}=X_{1}+X_{2}, \quad\left(m_{1}+m_{2}\right) \frac{d \bar{v}}{d t}=Y_{1}+Y_{2}, \ldots,
\]

где $(\bar{u}, \bar{v})$-скорость центра масс. Как и прежде, из этого равенства следует, что центр масс движется так, как если бы он был материальною точкою, в которой сосредоточены массы обеих точек и на которую действуют все внешние силь. Например, если внешних сил нет, то центр масс движется по прямой линии с постоянною скоростью. C другой стороны, если две материальных точки соединены нитью (растяжимой или нерастяжимой) и будут двигаться как-либо под деиствием силы тяжести, то центр их масс будет описывать параболу.