Этот термин применяется $к$ телу любой формы и любого строения, могущему вращаться свободно около неподвижной оси, если внешние силы состоят только из силы тяжести и из давлений (реакций), производимых осью. Если пренебречь силами трения, как это мы и будем предполагать, то момент этих сил давления относительно оси будет равен нулю.

Пусть будет $\theta$ угол, образуемый с вертикалью плоскостью, проходящею через ось и центр масс $G$. Если $M$ есть масса тела, а $h$-расстояние $G$ от оси, то момент внешних сил относительно оси, стремящийся увеличить $\theta$, будет — $M g h \sin \theta$. Следовательно, если $I$ есть момент инерции маятника относительно оси, то мы на основании $\S 54$, (7) получим:
\[
I \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=-M g h \sin \theta .
\]

Фиг. 45.

Это уравнение имеет такой же вид, как и в случае математического маятника длины $l$ (§ 37 ), если положить
\[
l=\frac{I}{M h} \text {. }
\]

Если $k$ есть радиус инерции относительно оси, так что $I=M k^{2}$, то мы имеем *
\[
l=\frac{k^{2}}{h} \text {. }
\]

Предположим, что плоскость фиг. 45 представляет вертикальную плоскость, проходящую через $G$, перпендикулярную к оси и пересекающую ее в точке $O$. Если мы продолжим $O G$ до $P$, где $O P=l$, то получим точку $P$, называемую „центром качания\». Груз математического маятника длины $l$, висящий на той же оси, будет двигаться одинаково с точкою $P$, если он начинает движение одновременно с нею из одного положения и с одинаковою скоростью.

Если $x$ есть радиус инерции относительно оси, проходящей через $G$ параллельно оси подвеса, то мы имеем („Статика“, § 73):
\[
k^{2}=x^{2}+h^{2} \text {, }
\]

и следовательно,
\[
l=h+\frac{\chi^{2}}{h} \text {, }
\]

или
\[
G P \cdot G O=\chi^{2} .
\]

Симметрия этого соотношения показывает, что если тело будет подвешено к параллельной оси, проходящей через $P$, то точка $O$ будет новым центром качания. Это часто выражают словами, что центры подвеса и качания можно менять местами ${ }^{1}$ ).

Для разных параллельных осей подвеса периоды малых колебаний будут пропорциональны величине $\sqrt{l}$ или $\sqrt{G O+G P}$. Так как на основании (6) произведение $G P$ на $G O$ постоянно, то их сумма будет наименьшею, когда они будут равны. Следовательно, если мы рассмотрим систему параллельных осей, то период будет наименьшим при $h=x$ и, следовательно, $l=2 x$.

Если ось физического маятника будет наклонена под углом $\beta$ к вертикали, то центр масс будет качаться в плоскости, составляющей угол $\beta$ с горизонталью. В этом случае вес $M g$ маятника можно разложить на две составляющие, а именно $M g \sin \beta$ в плоскости, параллельной линии наибольшего ската плоскости, и $M g \cos \beta$, перпендикулярной к этой плоскости. Момент второй составляющей относительно оси равен нулю; поэтому движение будет таким же, как если бы ускорение от силы тяжести изменилось из $g$ в $g \sin \beta$. Следовательно, длина эквивалентного математического маятника будет равна в данном случае величине $\frac{k^{2}}{h \sin \beta}$. Если величина $\beta$ мала, как в случае ,горизонтального\» маятника, применяемого в сейсмографах, то эта величина $\frac{k^{2}}{h \sin \beta}$ будет иметь больщое значение, и в соответствии с этим период будет иметь большую продолжительность.

Аналогичные заключения вытекают и из рассмотрения уравнения энергии. Если маятник повернется из положения равновесия на угол $\theta$, то проекция $O G$ на линию наибольшего ската плоскости будет равна $h \cos \theta$; следовательно, расстояние по вертикали точки $G$ от $O$ будет равно $h \cos \theta \sin \beta$. Таким образом потенциальная энергия системы увеличится на
\[
\operatorname{Mgh}(1-\cos \theta) \sin \beta .
\]

Пример. При открывании вниз горизонтального люка ускорение точки $Q$ люка меньше или больше, чем $g$, в зависимости от того, будет ли расстояние $Q$ от оси вращения люка меңьше или больше чем $l$. Следовательно, груз, первоначально находившийся на люке в покое на расстоянии больщем чем $l$, при открывании люка начнет немедленно падать свободно.