Этот термин применяется $к$ телу любой формы и любого строения, могущему вращаться свободно около неподвижной оси, если внешние силы состоят только из силы тяжести и из давлений (реакций), производимых осью. Если пренебречь силами трения, как это мы и будем предполагать, то момент этих сил давления относительно оси будет равен нулю.

Пусть будет $\theta$ угол, образуемый с вертикалью плоскостью, проходящею через ось и центр масс $G$. Если $M$ есть масса тела, а $h$-расстояние $G$ от оси, то момент внешних сил относительно оси, стремящийся увеличить $\theta$, будет — $Mgh\sin \theta$. Следовательно, если $I$ есть момент инерции маятника относительно оси, то мы на основании $\mathrm{\S }54$, (7) получим:
$$I\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-Mgh\sin \theta .$$

Фиг. 45.

Это уравнение имеет такой же вид, как и в случае математического маятника длины $l$ (§ 37 ), если положить
$$l=\frac{I}{Mh}\text{. }$$

Если $k$ есть радиус инерции относительно оси, так что $I=M{k}^2$, то мы имеем *
$$l=\frac{k^2}{h}\text{. }$$

Предположим, что плоскость фиг. 45 представляет вертикальную плоскость, проходящую через $G$, перпендикулярную к оси и пересекающую ее в точке $O$. Если мы продолжим $OG$ до $P$, где $OP=l$, то получим точку $P$, называемую „центром качания\». Груз математического маятника длины $l$, висящий на той же оси, будет двигаться одинаково с точкою $P$, если он начинает движение одновременно с нею из одного положения и с одинаковою скоростью.

Если $x$ есть радиус инерции относительно оси, проходящей через $G$ параллельно оси подвеса, то мы имеем („Статика“, § 73):
$$k^2=x^2+h^2\text{, }$$

и следовательно,
$$l=h+\frac{{\chi }^2}{h}\text{, }$$

или
$$GP\cdot GO={\chi }^2.$$

Симметрия этого соотношения показывает, что если тело будет подвешено к параллельной оси, проходящей через $P$, то точка $O$ будет новым центром качания. Это часто выражают словами, что центры подвеса и качания можно менять местами ${}^1$ ).

Для разных параллельных осей подвеса периоды малых колебаний будут пропорциональны величине $\sqrt{l}$ или $\sqrt{GO+GP}$. Так как на основании (6) произведение $GP$ на $GO$ постоянно, то их сумма будет наименьшею, когда они будут равны. Следовательно, если мы рассмотрим систему параллельных осей, то период будет наименьшим при $h=x$ и, следовательно, $l=2x$.

Если ось физического маятника будет наклонена под углом $\beta$ к вертикали, то центр масс будет качаться в плоскости, составляющей угол $\beta$ с горизонталью. В этом случае вес $Mg$ маятника можно разложить на две составляющие, а именно $Mg\sin \beta$ в плоскости, параллельной линии наибольшего ската плоскости, и $Mg\cos \beta$, перпендикулярной к этой плоскости. Момент второй составляющей относительно оси равен нулю; поэтому движение будет таким же, как если бы ускорение от силы тяжести изменилось из $g$ в $g\sin \beta$. Следовательно, длина эквивалентного математического маятника будет равна в данном случае величине $\frac{k^2}{h\sin \beta }$. Если величина $\beta$ мала, как в случае ,горизонтального\» маятника, применяемого в сейсмографах, то эта величина $\frac{k^2}{h\sin \beta }$ будет иметь больщое значение, и в соответствии с этим период будет иметь большую продолжительность.

Аналогичные заключения вытекают и из рассмотрения уравнения энергии. Если маятник повернется из положения равновесия на угол $\theta$, то проекция $OG$ на линию наибольшего ската плоскости будет равна $h\cos \theta$; следовательно, расстояние по вертикали точки $G$ от $O$ будет равно $h\cos \theta \sin \beta$. Таким образом потенциальная энергия системы увеличится на
$$\mathrm{Mgh}(1-\cos \theta )\sin \beta .$$

Пример. При открывании вниз горизонтального люка ускорение точки $Q$ люка меньше или больше, чем $g$, в зависимости от того, будет ли расстояние $Q$ от оси вращения люка меңьше или больше чем $l$. Следовательно, груз, первоначально находившийся на люке в покое на расстоянии больщем чем $l$, при открывании люка начнет немедленно падать свободно.