Уравнение энергии можно вывести из уравнений Лагранжа следующим образом. Мы имеем:
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \theta}\right) \dot{\theta}+\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}\right) \dot{\varphi} & = \\
= & \frac{d}{d t}\left(\dot{\theta} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}+\dot{\varphi} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}\right)-\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}+\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}} \ddot{\varphi}+\frac{\partial T}{\partial \theta} \dot{\theta}+\frac{\partial T}{\partial \varphi} \dot{\varphi}\right) .
\end{aligned}
\]

Так как $T$ есть однородная квадратичная функция от $\dot{\theta}, \dot{\varphi}$, то мы имеем соотношение:
\[
\dot{\theta} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}+\dot{\varphi} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=2 T ;
\]

следовательно, выражение, стоящее в правой части равенства (1), можно преобразовать в следующее:
\[
2 \frac{d T}{d t}-\frac{d T}{d t}, \text { или } \frac{d T}{d t}
\]

Таким образом из уравнений (8) § 106 вытекает уравнение:
\[
\frac{d T}{d t}=\theta \dot{\theta}+\Phi \dot{\varphi} .
\]

Это уравнение показывает, что скорость, с которою происходит возрастание кинетической энергии, в любой момент времени равна скорости изменения работы сил, действующих на все части системы.

Если система консервативная и внешних сил нет, то выражение, стоящее в правой части уравнения (3), на основании $\S 106$ (10) будет равно величине $-\frac{d U}{d t}$. В этом случае уравнение будет иметь интеграл
\[
T+U=\text { const. }
\]

Количества
\[
\lambda=\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}, \quad \mu=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}
\]

называются „обобщенными импульсами“. Причину введения такого наименования можно объяснить или как и в § 104, или путем применения уравчений (8) из § 106. В самом деле, если мы предположим, что рассматриваєме действительное движение в какой-либо момент возникло из покоя в течение бесконечно малого промежутка времени $\tau$, то, интегрируя указанные уравнения, мы получим:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}=\int_{0}^{\tau} \theta d t, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=\int_{0}^{\tau} \Phi d t .
\]

Что же касается членов $\frac{\partial T}{\partial \vartheta}, \frac{\partial T}{\partial \varphi}$, то, завися только от скоростей и координат, они по существу конечны, и, следовательно, соответствующие интеграты от них, отнесенные к бесконечно малому интервалу $\tau$, должны обратитtся в нули. Точно так же начальные значения количеств $\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}, \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}$, представляющих линейные функции от скоростей $\dot{\theta}, \dot{\varphi}$, при этом воображаемом процессе будут равны нулю. Формулы (6) показывают, что компоненты количества движения в обобщенном смысле слова равны обобщенным импульсам, которые нужно сообщить системе, находящейся в покое, чтобы ее последующее движение совпало с действительным.

Пример 1. Двойному маятнику, фиг. 68, находящемуся в покое в положении устойчивого равнювесия, при помощи удара сообщают горизонтальный импульс $\xi$, приложенный к нижнему телу вдоль прямой, расположенной на расстоянии $x$ ниже оси $O^{\prime}$.

Так как работа конечной силы $X$, действующей в этом направлении, на малом перемещении была бы
\[
X(a \delta \theta+x \delta \varphi \varphi),
\]

то обобщенные импульсы соответственно будут выражаться формулами $\xi a, \xi \boldsymbol{x}$. Следовательно, значения $\dot{\theta}, \dot{\varphi}$ непосредственно после удара будут определяться из формул:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}=\xi a, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=\xi x,
\]

где значение $T$ выражается формулою (16) $\S 106$ при $x=0, p=0$. Таким образом
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(M k^{2}+m a^{2}\right) \dot{\theta}+m a b \dot{\varphi} & =\xi a, \\
m a b \dot{\theta}+m\left(b^{2}+x^{2}\right) \dot{\varphi} & =\xi x .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, если
\[
x=b+\frac{x^{2}}{b},
\]

то будет $\dot{\theta}=0$, т. е. верхнее тело будет вначале в покое, как это известно из $\S 71$.
Если оба тела представляют два одннаковых однородных стержня длины $2 b$, то мы имеем:
\[
M=m, \quad a=2 b, \quad k^{2}=\frac{4}{3} b^{2}, \quad x^{2}=\frac{1}{3} b^{2},
\]

так что мы получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
a^{\theta} & =\frac{9 \xi}{7 m b}\left(\frac{4}{3} b-x\right), \\
b \dot{\varphi} & =\frac{12}{7 m b}\left(x-\frac{3}{4} b\right),
\end{array}\right\}
\]

Скорость точки, в которую пронзведен удар, будет равна
\[
a^{\dot{\theta}}+x \dot{\varphi}=\frac{6:}{7 m b^{2}}\left(2 b^{2}-3 b x+2 x^{2}\right) .
\]

Пример 2. Ромбу $A B C D$, образованному четырьмя одинаковыми стержнями с шарнирными соединениями, при помощи удара сообщен импульс $\xi$, приложенный в точке $A$ в направлении $A C$.

Пусть будет $x$ координата центра $G$ ромба, измеренная от некоторой неподвижной точки на прямой $A C$. Предположим, что центр масс каждого стержня находится в его геометрическом центре. Пусть будут $2 a$ длина каждого из стержней, $\mathrm{x}$ – их радиус инерции относительно их центра и 20 – угол $A B C$. При помощи нетрудных вычислений мы получйм для кинетической энергии выражение:
\[
2 T=M \dot{x}^{2}+M\left(x^{2}+a^{2}\right) \dot{\theta}^{2},
\]

где $M$ есть масса всей системы. Так как координата точки $A$ равна $x-2 a \sin \theta$, то работа конечной силы $X$, приложенной к точке $A$, на малом перемещении будет
\[
X(\delta x-2 a \cos \theta \delta \theta) .
\]

Следовательно, обобщенные импульсы будут $\xi$ и $-2 a \xi \cos \theta$. Таким образом
\[
M \dot{x}=\xi, \quad M\left(x^{2}+a^{2}\right) \dot{\theta}=-2 a \xi \cos \theta .
\]

Отсюда для начальной скорости точки $A$ получим:
\[
\dot{x}-2 a \cos \theta \dot{\theta}=\left(1+\frac{4 a^{2} \cos ^{2} \theta}{x^{2}+a^{2}}\right) \frac{\xi}{\bar{M}},
\]

а сообщенная точке кинетическая энергия будет иметь выражение:
\[
\frac{1}{2}\left(1+\frac{4 a^{2} \cos ^{2} \theta}{x^{2}+a^{2}}\right)^{2} \frac{\xi^{2}}{M} .
\]

Это количество больше, чем если бы ромб был жесткий, в отношении, равном второму множителю (см. § 108).