Как было установлено, общие уравнения $\S 26$, а именно:
\[
m \frac{d u}{d t}=X, \quad m \frac{d v}{d t}=Y
\]

имеют место, какая бы система координат, прямоугольная или косоугольная, ни была принята, но здесь мы предположим, что оси координат взаимно перпендикулярны.

Если предыдущие уравнения мы умножим соответственно на $u$, и сложим, то получим:
\[
m\left(u \frac{d u}{d t}+v \frac{d v}{d t}\right)=X u+Y v,
\]

или
\[
\frac{d}{d t} \cdot \frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}\right)=X \frac{d x}{d t}+Y^{d y} d .
\]

Если результирующую скорость обозначнть через $q$, то мы будем иметь:
\[
q^{2}=u^{2}+v^{2} \text {, }
\]
1) Lissajous, Étude optique r’es mouvements vibratoires, 1873.
2) Геометрическое место точек $P$ в маятнике Блекберна представляет повер рность кольца (10р), производимого вращением около линии $A B$ круга радиуса $C P$ с. нентром $C$.

и таким образом произведение $\frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}\right)$ есть кинетическая энергия. С другой стороны, работа, производимая силой ( $X, Y$ ) на бесконечно малом перемещении ( $\partial x, \delta y$ ). равна $X \delta x+Y \partial y$, и следовательно, выражение, стоящее в правой стороне, представляет скорость изменения работы в момент времени $t$. Таким обрззом выведенное уравнение выражает, что кинетическая энергия увеличивается на такую же величину, на какую увеличивается совершаемая силой работа. Проннтегрировав это уравнение, мы, как и в § 18 , заключаем, что приращение кинетической энергии аа любой промежуток времени равно полной работе силы, приложенной к точке. В буквенных обозначениях мы имеем:
\[
\frac{1}{2} m q_{2}^{2}-\frac{1}{2} m q_{1}^{2}=\int_{t_{t}}^{t_{1}}\left(X \frac{d x}{d t}+Y \frac{d y}{d t}\right) d t,
\]
rде, следовательно, предполагается, что $X$ и $Y$ выражены в функции от $t$.
Но если мы имеем постоянное силовое поле ( $С$ Статика\”, § 49), т. е. если сила, действующая на материальную точку, в каждом месте поля сохраняет свою велпчнну и направление, так что $X, Y$ представляют функции от $x$ и $y$ и не зависят явно от времени $t$, то определенный интеграл можно заменить интегралом
\[
\int(X d x+Y d y) \text {, }
\]

понимая этот символ так, что выражение $X \partial x+Y \delta$ нужно вычислить лия всех бесконечно малых элементов пути и результаты сложить. Этот интеграл можно представить в другом виде:
\[
\int_{s_{i}}^{s}\left(X \frac{d x}{d s}+Y \frac{d y}{a s}\right) d s,
\]

где $s$ обозначает дугу кривой, измеряемую от некоторой неподвижнои точки, взягой на этой кривой.

Так как $(-X,-Y$ ) представляет силу, уравновешивающую силу поля, то выражение
\[
-\int(X d x+Y d y)
\]

взятое между надлежащими пределами, дает общее количество работы, которую должны произвести внешние силы для того, чтобы перевести материальную точку с бесконечно малой скоростью из первого положения во второе. Если силовое поле совершеннно произвольно, то результат, вообще говоря, будет зависеть и от фэрмы траектории (.Статика“, § 49), а не только от начального и конечного положений точки. Если, однако, результат будет зависеть только от положения конечных точек траекторин, то поле называегся „консервативным“. В явлениях природы мы имеем дсло главным образом с консервативными силовымн полями.

В консервативном поле работа, которую должны произвести внешние силы, чтобы перевести (с бесконечно малой скоростью) материальную точку из некоторого фиксированного положения $A$ в любое другое положение $P$, представляет определенную функцию от координат точки $P$. Эту функцию называют „потенциальною энергиею\” и обыкновенно обозначают буквой $U$. В соответствие с этим работа, производимая только силами поля при переходе из $A$ в $P$, будет $-U$. Следовательно, работа, которую те же силы должны произвести при переходе из любого положения $P_{1}$ в любое другое положение $P_{2}$, будет $U_{1}-U_{2}$, так как переход можно сперва выполнить из $P_{1}$ в $A$, а затем из $A$ в $P_{2}$.

Таким образом в случае материальной точки, движущейся в консервативном поле при отсутствии внешних сил, мы имеем:
\[
\frac{1}{2} m q_{2}^{2}-\frac{1}{2} m q_{1}^{2}=U_{1}-U_{2}
\]

или
\[
\frac{1}{2} m q_{2}^{2}+U_{2}=\frac{1}{2} m q_{1}^{2}+U_{1},
\]
т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий представляет постоянную величину.

Если кроме сил поля имеются еще и внешние силы, то работа, которую нужно затратить, чтобы переместить точку из $P_{1}$ в $P_{2}$, должна быть добавлена в правой части равенства (9); мы видим, что сумма кинетической и потенциальной энергии увеличивается на величину, равную работе внешних сил (см. § 18).

Вряд ли нужно говорить, что эти выводы не ограничиваются случаем движения в плоскости двух измерений. Векторное уравнение движения, вид которого совершенно не зависит от числа измерений, согласно § 25 (4), будет:
\[
m \ddot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{P},
\]

откуда
\[
m \ddot{r} \dot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{P} \dot{\boldsymbol{r}},
\]

причем произведение векторов здесь „скалярное\” („Статика“, § 63). Следовательно,
\[
\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{r}}^{2}=\int \boldsymbol{P} \dot{\boldsymbol{r}} d t
\]

или, если $\boldsymbol{P}$ представляет функцию от одного $\boldsymbol{r}$ :
\[
\frac{1}{2} m \dot{\boldsymbol{r}}^{2}=\int \boldsymbol{P} d \boldsymbol{r}
\]

Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату абсолютной величины вектора, то выражение, стоящее в левой части формулы (14), представляет кинетическую энергию. Точно так же скалярное произве$\boldsymbol{P}$ на бесконечно малом перемещении $\delta \boldsymbol{r}$.

ПРимер 1. В случае поля тяготения земли, обозначая через $у$ высоту над некоторым фиксированным уровнем, мы мжем написать:
\[
U=m g y .
\]

Следовательно, при свободном движении снаряда мы имеем:
\[
\frac{1}{2} m g^{2}+m g y=\text { const, }
\]

в полном ссответствии с § 27. Также формула приченяется для движения под действием силы тьжести по гладкой кри вой (т. е. без трения), так как нормальная реакция кривой работы не производит.

ПРимвР 2. Если материальная точка притягивается $\boldsymbol{\kappa}$ неподвижной точке $O$ с силою $\varphi(r)$, представляющей функцию только расстояния $r$, то мы имеем:
\[
U=\int_{a}^{r} \varphi(r) d r,
\]

где нижнй предел $a$ относится к начальной точке.
Так, например, если

то мы можем положить:
\[
\varphi(r)=K r \text {, }
\]
\[
U=\frac{1}{2} K r^{s}
\]

опуская произвольную постоянную. Следовательно, на свободной орбите, описываемой под д.йсівием этой силы, мы имеем:
\[
\frac{1}{2} m q^{2}+\frac{1}{2} K r^{2}=\text { const. }
\]

В § 28 мы видели, что орбитою будет эллипс и что скорость точки равна:
\[
q=n r^{\prime}
\]

где $r$ представляет полудиаметр, сопряженный с радиусом-вектором $r$, а $n=\sqrt{\frac{K}{m}}$. Мы получаем, таким образом, подтверждение формулы (10), так как сумма $r^{2}+r^{\prime 2}$ в точках өллипса постоянна.

Пример 3. В случае математического маятника (§ I1) потенциальная энергия может быть вычислена по работе, производимой тою горизонтальною силою $\frac{m g x}{l}$, которая требуется, чтобы вызвать отклонение маяіника от положения равновесия. Это нам дает формулу:
\[
U=\frac{1}{2} \frac{m g x^{2}}{l} .
\]

С другои стороны, рассматривая работу, затрачиваемую для преодоления действия силы тяжести, мы имеем:
\[
U=m g y \text {. }
\]

где $у$ обозначает высоту над уровнем положения равновесия. Так как
\[
x^{2}=y(2 l-y),
\]

то формулы (22) и (23) совместимы при взятой степени приближения.
Конччно, аналогичная проверка применима я к сферическому маятнику.