Существует ряд задач, относящихся к движению по сферической поверхности, которые можно решать аналогичным образом:

Положение точки $\dot{P}$ на такой поверхности можно характеризовать двумя координатными углами, аналогичными полярному расстоянию и долготе на Земле, или зенитному расстоянию и азимуту на небесной сфере в месте наблюдения,

Обозначим (фиг. 93) через $O$, центр, через $\theta$ угловое расстояние $Z O P$ от определенной точки $Z$ на сфере, измеряемое вдоль большого круга, и через ф угол, составляемый плоскостью этого большого круга с определенною плоскостью, проходящею через $O Z$. Если несколько изменится только $\theta$, то точка $P$ опишет дугу $a \hat{\theta}$, где $a$ есть радиус большого круга $Z P$; если же изменится только $\psi$, то точка $P$ будет двигаться вдоль малого круга радиуса $a \sin \theta$ и, следовательно, опишет дугу
Фиг. 93.
$\boldsymbol{a} \sin 0 \delta \phi$. Таким образом составляющие скорости точки $P$ в направлении вдоль большого круга $Z P$ и под прямым углом к нему соответственно будут выражаться формулами:
\[
a \frac{d \theta}{d t} \quad \text { и } \quad a \sin \theta \frac{d \psi}{d t} .
\]

Следовательно, квадрат скорости точки $P$ будет выражаться формулою:
\[
a^{2}\left\{\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}+\sin ^{2} \theta\left(\frac{d \psi}{d t}\right)^{2}\right\} .
\]

Далее, только вторая из составляющих (1) имеет момент относительно $O Z$, и так как расстояние точки $P$ от оси равно $a \sin \theta$, то рассматриваемый момент будет:
\[
a^{2} \sin ^{2} \theta \frac{d \psi}{d t} \text {. }
\]

Если считать радиус сферы переменным и обозначить его соответственно вместо $a$ через $r$, то мы можем определить положение любон точки в пространстве тремя \»сферическими полярными\» координатами $r, \theta, \phi$. Если нзменяется только $r$, то перемещение точки $P$ будет $\partial r$, и, следовательно, радиальная скорость будет
\[
\frac{d r}{d t} \text {. }
\]

Так как три рассматриваемых нами составляющих взаимно перпендикулярны, то квадрат скорости будет выражаться формулой:
\[
\left(\frac{d r}{d t}\right)^{2}+r^{2}\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta\left(\frac{d \downarrow}{d t}\right)^{2} .
\]

Момент скорости относительно $O Z$ будет равен
\[
r^{2} \sin ^{2} \theta \frac{d \psi}{d t} \text {. }
\]

Пример. Рассмотрим случай материальной точки, принужденной двигаться вдоль меридиана земной поверхности. Если ось $O Z$ совпадает с полярною осью, то момент количества движения относительно этой оси будет $m a^{2} \omega \sin ^{2} \theta$, гда $\omega$ есть угловая скорость вращения Земли. Следовательно, если $S$ есть реакция связи, направленная к востоку, то мы имеем:
\[
\frac{d}{d t}\left(m a^{2} \omega \sin ^{2} \theta\right)=S a \sin \theta,
\]

откуда
\[
S=2 m a \cos \theta \frac{d \theta}{d t} \text {, }
\]

или
\[
S=2 m v \omega \cos \theta,
\]

где $v$ есть относительная скорость вдоль меридиана в направлении от полюса. Например, поезд, идущий в северном полушарии к югу, благодаря стремлению сохранять без изменения свой момент количества движения 1) производит на рельсы давление в западном направлении с силою $2 m v \omega \cos \theta$. Отношение этого бокового давления к весу поезда составляет
\[
\frac{S}{m g}=\frac{2 \omega^{2} a}{g} \cdot \frac{v}{\omega \alpha} \cos \theta=\frac{1}{144} \frac{v}{\omega \alpha} \cos \theta,
\]

где дробь $\frac{v}{\omega a}$ представляет отношение скорости поезда к линейной скорости вращения поверхности Земли на экваторе. Эта последияя скорость составляет 1850 км в час (звездного времени).