Существует ряд задач, относящихся к движению по сферической поверхности, которые можно решать аналогичным образом:

Положение точки $\dot{P}$ на такой поверхности можно характеризовать двумя координатными углами, аналогичными полярному расстоянию и долготе на Земле, или зенитному расстоянию и азимуту на небесной сфере в месте наблюдения,

Обозначим (фиг. 93) через $O$, центр, через $\theta$ угловое расстояние $ZOP$ от определенной точки $Z$ на сфере, измеряемое вдоль большого круга, и через ф угол, составляемый плоскостью этого большого круга с определенною плоскостью, проходящею через $OZ$. Если несколько изменится только $\theta$, то точка $P$ опишет дугу $a\hat{\theta }$, где $a$ есть радиус большого круга $ZP$; если же изменится только $\psi$, то точка $P$ будет двигаться вдоль малого круга радиуса $a\sin \theta$ и, следовательно, опишет дугу
Фиг. 93.
$\mathit{a}\sin 0\delta \varphi$. Таким образом составляющие скорости точки $P$ в направлении вдоль большого круга $ZP$ и под прямым углом к нему соответственно будут выражаться формулами:
$$a\frac{d\theta }{dt}\text{ и }a\sin \theta \frac{d\psi }{dt}.$$

Следовательно, квадрат скорости точки $P$ будет выражаться формулою:
$$a^2\{{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+{\sin }^2\theta {\left(\frac{d\psi }{dt}\right)}^2\}.$$

Далее, только вторая из составляющих (1) имеет момент относительно $OZ$, и так как расстояние точки $P$ от оси равно $a\sin \theta$, то рассматриваемый момент будет:
$$a^2{\sin }^2\theta \frac{d\psi }{dt}\text{. }$$

Если считать радиус сферы переменным и обозначить его соответственно вместо $a$ через $r$, то мы можем определить положение любон точки в пространстве тремя \»сферическими полярными\» координатами $r,\theta ,\varphi$. Если нзменяется только $r$, то перемещение точки $P$ будет $\partial r$, и, следовательно, радиальная скорость будет
$$\frac{dr}{dt}\text{. }$$

Так как три рассматриваемых нами составляющих взаимно перпендикулярны, то квадрат скорости будет выражаться формулой:
$${\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+r^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+r^2{\sin }^2\theta {\left(\frac{d\downarrow }{dt}\right)}^2.$$

Момент скорости относительно $OZ$ будет равен
$$r^2{\sin }^2\theta \frac{d\psi }{dt}\text{. }$$

Пример. Рассмотрим случай материальной точки, принужденной двигаться вдоль меридиана земной поверхности. Если ось $OZ$ совпадает с полярною осью, то момент количества движения относительно этой оси будет $m{a}^2\omega {\sin }^2\theta$, гда $\omega$ есть угловая скорость вращения Земли. Следовательно, если $S$ есть реакция связи, направленная к востоку, то мы имеем:
$$\frac{d}{dt}(m{a}^2\omega {\sin }^2\theta )=Sa\sin \theta ,$$

откуда
$$S=2ma\cos \theta \frac{d\theta }{dt}\text{, }$$

или
$$S=2mv\omega \cos \theta ,$$

где $v$ есть относительная скорость вдоль меридиана в направлении от полюса. Например, поезд, идущий в северном полушарии к югу, благодаря стремлению сохранять без изменения свой момент количества движения 1) производит на рельсы давление в западном направлении с силою $2mv\omega \cos \theta$. Отношение этого бокового давления к весу поезда составляет
$$\frac{S}{mg}=\frac{2{\omega }^{2}a}{g}\cdot \frac{v}{\omega \alpha }\cos \theta =\frac{1}{144}\frac{v}{\omega \alpha }\cos \theta ,$$

где дробь $\frac{v}{\omega a}$ представляет отношение скорости поезда к линейной скорости вращения поверхности Земли на экваторе. Эта последияя скорость составляет 1850 км в час (звездного времени).