За исключением немногих задач, в которых учитывалось трение скольжения, мы до сих пор предполагали, что действителен закон сохранения механической эr ергин. \”Диссипативные\” силь, как их называют, превращающие механическую энергию в другой вид энергии, мы не рассматривали.
Теоретическое исследование вопроса о движении тела в сопротивляющейся среде является трудннм, и эксперимент оказался недостаточным, чтобы вывести простой закон, действительный дла всех скорогтей. Мы можем лишь попытаться здесь вывести следствия из одного или двух простых эмпирических предположении, каждое из которых повидимому выполняется довольно точно при известных условиях.
Рассмотрим сперва случай прямолинейного движения под д йствием только одного сопротивления среды. Тогда уравнения движения будут уравнениями типа:
\[
\frac{d u}{d t}=-\varphi(u), \text { или } u \frac{d u}{d x}=-\varphi(u),
\]
где $\varphi(u)$ есть некоторая функция от скорости $u$. Инпгда удобнее воспользоваться обоими видами уравнения и получить первые интегралы каждого из них. Первое уравнение дает соотношение между $\boldsymbol{u}$ и $t$, содержащее про:звольное постоянное, именно:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{1}{\varphi(u)} \frac{d u}{d t}=-1, \\
\int \frac{d u}{\varphi(u)}=-t+A .
\end{array}\right\}
\]
Второе уравнение приводит к соотношению между $u, x$ и вторым произвольным постоянным, именно:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{u}{\varphi(u)} \frac{d u}{d x}=-1, \\
\int \frac{u d u}{\varphi(u)}=-x+B .
\end{array}\right\}
\]
Исключая $u$ из (2) и (3), получим соотношение между $x$ и $t$, спдержащее два произвольных постоянных, которыми можно воспользовацься для выполнения начальных условий.
Что касается свойств функции $\varphi(u)$, то, конечно, она должна быть положительной и должна обращаться в нуль вместе с $u$. С математической точки зрения вероятно, что для определенного интервала вначений $u$ функцию $\varphi(u)$ можно разложить в ряд по степеням $u$, так что
\[
\varphi(u)=A u+B u^{2}+C u^{3}+\ldots,
\]
и что, следовательно, при достаточно малом значении $u$ первый член имеет превалирующее значение.
Таким образом мы приходим к уравнениям:
\[
\frac{d a}{d t}=-k u, \quad \frac{d u}{d x}=-k,
\]
откуда
\[
\ln u=-k t+A, \quad u=-k x+B .
\]
Если мы предположим, что при $t=0$ будет $x=0, u=u_{0}$, то получим:
\[
A=\ln u_{0}, B=u_{0},
\]
и, следовательно,
\[
u=u_{0} e^{-k t}, \quad u=u_{0}-k x .
\]
Исключая $u$, будем иметь:
\[
x=\frac{u_{0}}{k}\left(1-e^{-k t}\right) .
\]
Если мы положим $u=0$ в (7) или $t=\infty$ в (8), то найдем $x=\frac{u_{0}}{k}$ : Следовательно, это и будет предельное расстояние, проходимое точкою при этом законе сопротивления.
Количество $k$ представляет величину, обратную времени, в течение которого скорость уменьшается в отношении $\frac{1}{e}$. Обозначая это время через $\tau$; мы имеем:
\[
x=u_{0} \tau\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right) .
\]
