Разлагая силу, действующую на материальную точку $m$, в каждый момент времени соогветственно по направлениям касательной и нормали и обозначив обе составляющих через $\mathfrak{I}$ и $\mathfrak{N}$, будем иметь:
\[
m v \frac{d v}{d s}=\mathfrak{I}, \quad \frac{m v^{2}}{\rho}=\mathfrak{N} .
\]

Первое из этих уравнений непосредственно приводит к уравнению энергии; интегрируя его по $s$, получим:
\[
\frac{1}{2} m v_{1}^{2}-\frac{1}{2} m v_{0}^{?}=\int_{s_{c}}^{s_{1}} \mathfrak{I} d s .
\]

Интеграл, стоящий в правой части, обозначает полную работу, произведенную силою при движении точки, так как работа касательной составляющей силы на бесконечно малом перемещении равна $\mathfrak{I} \delta s$, а работа нормальной составляющей равна нулю.

В пространстве трех измерений требуется третье уравнение движения, выражающее, что результирующая сила, нормальная к соприкасающейся плоскости, обращается в нуль. Конечно, уравнение (2) остается в силе во всех случаях.

Если $\mathfrak{I}=0$, т. е. если направление результирующей силы всегда совпадает с направлением нормали, то мы имеем $\frac{d v}{d t}=0$, так что скорость постоянна. Это случай материальной точки, движущейся по гладкой кривой при отсутствии внешних сил, за исключением реакции кривой. В этом случае второе из уравнений (1) показывает, что реакция изменяется пропорционально кривизне $\frac{1}{\rho}$.

Пример 1. Найти условия, необходимые для того, чтобы материальная точка $m$, привязанная к неподвижной точке при помощи нити длиною $l$, могла описывать горизонтальную окружность.

Если мы обозначим постоянный наклон нити к вертикали через $\theta$, необходимую угловую скорость на окружности через $\omega$ и натяжение нити через $T$, то так как по предположению перемещение в вертикальном направлении равно нулю, мы будем иметь:
\[
T \cos \theta=m g .
\]

Точно так же, проектируя на направление вдоль радиуса круга, получим:
\[
m^{2} 2 l \sin \theta=T \sin \theta, \text { или } \quad m \omega^{2} l=T .
\]

Следовательно,
\[
\omega^{2}=\frac{g}{l \cos \theta} .
\]

Таким образом период обращения $\frac{2 \pi}{\omega}$ одннаков с периодом небольших колебаний математического маятника длины $l \cos \theta$. Если величина $\theta$ мала, то практически длина эта равна $l$. Проекцня точки на вертикальную плоскость будет двигаться подобно грузу математического маятника, имеющего длину $l$.
ПРимЕР 2. Найти отклонение отвеса, производимое вращением Земли.
Когда отвес находится в кажущемся относительном равновесии, равнодействуюшая натяжения $T$ нити и истинного веса подвешенной массы $m$ должна представлять силу $m \omega^{2} r$, направленную к оси Земли, где $\omega-$ угловая скорость Земли, а $r$ – радиус круга, описьваемого массою $m$ в течение суток. Обозначим истинное ускорение, произв димое силою тяжести, через $g^{\prime}$, а кажущееся ускорение – через $g$, так что $T=m g$.
На прилагаемой фиг. $32 A B$ обозначает натяжение $m g$, $B C$ – истинный вес $m g^{\prime}$, а $A C$ – результирующую $m \omega^{2} r$. Следовательно, если географическую шипоту места наблюдения, определяемую астрономическим путем, т. е. угол, образуемый линиею отвеса с плоскостью экватора, обозначить через $\lambda$, то мы будем иметь:
\[
\frac{\sin \theta}{\sin (\hat{\lambda}-\theta)}=\frac{A C}{B C}=\frac{\omega^{2} r}{g} .
\]

Нисловые данные показывают, что дробь, стоящая в правой части равенства всегда очень мала. Следовательно, угол ө всегда мал, и мы приближенно имеем:
\[
\sin \theta=\frac{\omega^{2} r \sin \lambda}{g}
\]

Точно так же мы можем положить без большой ошибки $r=a \cos \lambda$, где $a$ – paдиус Земли. Таким образом
\[
\sin \theta=\frac{\omega^{2} a}{g} \sin \lambda \cos \lambda
\]

С другой стороны, мы имеем:
\[
\frac{g}{g^{\prime}}=\frac{A B}{B C}=\frac{\sin (\lambda-\theta)}{\sin \lambda}=\cos \theta-\frac{\cos ^{2} a}{g} \cos ^{2} \lambda,
\]

или с достаточным приближением:
\[
g=g^{\prime}\left(1-\frac{\omega^{2} a}{g} \cos ^{2} \lambda\right) .
\]

Выразив все величины в сантиметрах и секундах, мы имеем:
\[
\frac{2 \pi}{\omega}=86164, \quad a=6,38 \cdot 10^{8}, \quad g=981 \text { г }
\]

откуда
\[
\frac{\omega^{2} a}{g}=0,00346=\frac{1}{289} .
\]

Максимальное значение $\theta$ получается, когда $\lambda=45^{\circ}$, и равно приблизительно $6^{*}$,
Если бы значение $g^{\prime}$ истинного ускорения было одинаково на всей земной поверхности, то формула (8) дала бы изменение кажущегося ускорения с широтою. В действительности ускорение $g^{\prime}$ само является переменною величиною, так
как земная поверхность и слои одинаковой плотности внутри нее не имеют в точности сферической формы 1). Следовательно, притяжение Земли и по величине и по направлению отличается от притяжения симметричного сферического тела.