Полное перемещение движущейся точки за данный промежуток времени есть по своей природе вектор и изображается отрезком прямой линии, идущим от начального к конечному положениям точки, или параллельным отрезком одинаконой длины, идущим в том же направлении. Очевидно, что последовательные перемещения складываются по закону сложения векторов („Статика“, § 2).

Если перемещения в равные промежутки времени равны между собою при любой келичине промежутка времени, то говорят, что скорость постоянна; скорость в этом случае можно характеризовать вектором, указывающим перемещение в единицу времени.

Чтобы получить определение „скорости“ в общем случае, рассмотрим положения $P$ и $P^{\prime}$ движущейся точки в соответствующие моменты времени $t, t+\delta t$, причем мы пока не предполагаем, что $\delta t$ представляет малую величину (фиг 14). Продолжим $P P^{\prime}$ до точки $U$ так, чтобы было
\[
P U=\frac{P P^{\prime}}{\partial t} \text {. }
\]

Тогда вектор $P U$ представит то, что можно Фиг. 14. назвать \»средне с скоростью“ точки в промежутке времени $\delta t$. Это значит, что если бы точка двигалась с постоянной скоростью, равной этой величине, то ее перемещение за тот же промежуток времени $\delta t$ было бы $P P^{\prime}$. Если этот промежуток времени будет изменяться, то вектор $P \mu^{\prime}$ будет принимать разные значения; если мы представим, что $8 t$ будет уменьшаться неограниченно, то во всех рассматриваемых нами случаях вектор $P P^{\prime}$ будег стремиться к определенному прелельному значению $P V$. Этот предельный вектор принимают за определение скорости движущейся точки в момент времени $t$. Короче говоря, \» скорость в момент времени $t$ \» это средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени, начинающийя в момент времени $t$. Направление скорости совпадает с направлением касательной к кривой (траектории), описываемой точкой $P$; кроме того, если дугу кривой, измеряемую от некоторой неподвижной точки на ней до точки $P$, обозначить через $S$, то длина хорды $P P^{\prime}$ будет при уменьшении дуги приближаться к длине дуги $\delta s$ и, следовательно, величина и знак скорости в точке $P$ будут определяться посредством формулы:
\[
\boldsymbol{v}=\frac{d s}{d t} .
\]

20. Скорость. Полное перемещение движущейся точки за данный промежуток времени есть по своей природе вектор и изображается отрезком прямой линии, идущим от начального к конечному положениям точки, или параллельным отрезком одинаконой длины, идущим в том же направлении. Очевидно, что последовательные перемещения складываюся по закону сложения векторов (\»Статика“, § 2).

Если перемещения в равные промежутки времени равны между собою при любой келичине промежутка времени, то говорят, что скорость постоянна; скорость в этом случае можно характеризовать вектором, указывающим перемещение в единицу времени.

Чтобы получить определение \»скорости“ в общем случае, рассмотрим положения $P$ и $P^{\prime}$ движущейся точки в соответствующие моменты времени $t, t+\delta t$, причем мы пока не предполагаем, что $\delta t$ представляет малую величину (фиг 14). Продолжим $P P^{\prime}$ до точки $U$ так, чтобы было
\[
P U=\frac{P P^{\prime}}{\partial t} .
\]

Тогда вектор $P U$ представит то, что можно Фиг. 14. назвать \»средней скоростью“ точки в промежутке времени $\delta t$. Это значит, что если бы точка двигалась с постоянной скоростью, равной этой величине, то се перемещение за тот же промежуток времени $\delta t$ было бы $P P^{\prime}$. Если этот промежуток времени будет изменяться, то вектор $P P^{\prime}$ будет принимать разные значения; если мы представим, что $\delta t$ будет уменьшаться неограниченно, то во всех рассматриваемых нами случаях вектор $P P^{\prime}$ будег стремиться к определенному предельному значению $P V$. Этот предельный вектор принимают за опрелеление скорости движущейся точки в момент времени $t$. Короче говоря, \»скорость в момент времени $t$ \» это средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени, начинающийся в момент времени $t$. Направление скорости совпадает с направлением касательной к кривой (траектории), описываемой точкой $P$; кроме того, если дугу кривой, измеряемую от некоторой неподвижной точки на ней до точки $P$, обозначить через $S$, то длина хорды $P P^{\prime}$ будет при уменьшении дуги приближаться к длине дуги $\delta s$ и, следовательно, величина и знак скорости в точке $P$ будут определяться посредством формулы:
\[
v=\frac{d s}{d t} .
\]

При вычислениях скорость, подобно другим векторам, можно характеризовать ее составляющими, отнесенными к какой-либо системе координат. Таким образом, если величины $x, y$ обозначают декартовы координаты точки $P$, а $x+\delta x, y+\delta y$ обозначают координаты точки $P^{\prime}$, то проекции вектора $P P^{\prime}$ на оси координат будут $\delta x$, $\delta y$, а проекции средней скорости $P U$ соответственно
\[
\frac{\delta x}{\partial t}, \frac{\delta y}{\partial t} \text {. }
\]

Следовательно, „составляющие скорости“ в момент времени $t$, т. е. проекции $P V$ на оси координат, будут:
\[
\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t} \text {. }
\]

Эти выражения показывают, что составляющие скорости, параллельные каждой из осей координат, равны скоростям проекций движущейся точки на эти оси. Составляющие скорости по Ньютону обозначаются буквами с точками наверху: $\dot{x}, \dot{y}$, а действительная скорость — через $\dot{s}$. Следует заметить, что здесь мы не ограничиваемся рассмотрением только прямоугольных осей координат (фиг. 15).

Если оси координат будут прямоугольными (фиг. 16), то, обозначая через $\$$ угол, образуемый Фиг. 15. направлением движения с осью $x$, мы для составляющих скорости будем иметь выражения:
\[
\dot{x}=\frac{d x}{d s} \frac{d s}{d t}=\dot{s} \cos \psi, \dot{y}=\frac{d y}{d s} \frac{d s}{d t}=\dot{s} \sin \psi,
\]

откуда
\[
\dot{s}^{2}=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}, \quad \operatorname{tg} \psi=\frac{\dot{y}}{\dot{x}} .
\]

Очевидно, что эти же соотношения можно получить на основании построения, производимого при ортогональном проектнровании.

Определение скорости выражается нанболее кратким образом, если воспользоваться векторными обозначениями. Если обозначить через $\boldsymbol{r}$ подьижному началу координат $O$ (фиг. 17), то мы будем иметь:
\[
O P=\boldsymbol{r}, \quad O P^{\prime}=\boldsymbol{r}+\delta \boldsymbol{r},
\]

и, следовательно,
\[
P P^{\prime}=P O+O P^{\prime}=O P^{\prime}-O P=\delta \boldsymbol{r} .
\]

Поэтому средняя скорость в промежутке времени $\delta t$ будет:
\[
\frac{\delta \boldsymbol{r}}{\delta \boldsymbol{t}} \text {, }
\]

полностью изменение скорости за этот промежуток времени. Если изменение скорости за любые одинаковые промежутки времени всегда одно и то же, то говорят, что движущаяся точка имеет постоянное ускорение; это ускорение изображается вектором, дающим изменение скорости в единицу времени (см. фиг. 26 , стр. 70 , на которой векторы $O A, O B, O C, O D$, начерченные с правой стороны, изображают скорости в равноо́тстоящие моменты времени).

В общем случае, если $O V, O V^{\prime}$ изображают скорости в моменты времени $t, t+\delta t$, то вектор
\[
\frac{V V^{\prime}}{\partial t}
\]

можно назвать „средним ускорением“ за время $\delta t$ в том смысле, что постоянное ускорение, равное среднему, произвело бы одинаковое изменение $V V^{\prime}$ скорости за тө же время.

Если $\delta t$ будет неограниченно уменьшаться, то среднее ускорение будет вообще стремиться к определенному предельному значению, которое принимается за определение „ускорения в момент времени $t$. Его направление одинаково с направлением касательной к годографу в точке $V$, а его величина определяется скоростью точки $V$ вдоль годографа. Например, в случае постоянного ускорения годограф представляет прямую линию, описываемую точкой, движущеюся с постоянной скоростью.

Если мы введем декартовы координаты, прямоугольные или косоугольные, то проекции вектора $O V$ на оси будут равны $\dot{x}, \dot{y}$, а проекции $V V^{\prime}$ соответственно равны $\delta \dot{x}$, $\delta \dot{y}$. Следовательно, проекции среднего ускорения за время $\delta t$ будут:
\[
\frac{\delta \dot{x}}{\partial t}, \frac{\partial \dot{y}}{\partial t} \text {. }
\]

Таким образом ${ }_{n}$ составляющие (компоненты) ускорения “, т. е. проекции ускорения в момент времени $t$, будут равны $\ddot{x}, \ddot{y}$ или в более обычных обозначениях:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}} .
\]

Отсюда видно, что они тождественны с ускорениями проекций движущейся точки на оси координат.
В векторных обозначениях мы будем иметь:
\[
O V=v, \quad O V^{\prime}=\boldsymbol{v}+\delta \boldsymbol{v},
\]

и, следовательно,
\[
V V^{\prime}=\delta v .
\]

В соответствии с этим среднее ускорение в промежутке времени $8 t$ представится через $\frac{\delta v}{\partial t}$, а ускорение в момент времени $t$ — через
\[
a=\frac{d v}{d t}=\dot{v}
\]

С другой стороны, так как согласно $\S 20$, (9)

то мы имеем:
\[
\boldsymbol{v}=\dot{x} \dot{i}+\dot{y} j \text {, }
\]
\[
a=\ddot{x} i+\ddot{y} j .
\]

Если ускорение $\boldsymbol{a}$ постоянно, то, интегрируя (2), мы имеем:
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{v}=a t+\boldsymbol{b}, \\
\boldsymbol{r}=\frac{1}{2} a t^{2}+\boldsymbol{b} t+\boldsymbol{c},
\end{array}
\]

где вектторы $\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ являются произвольными. Из уравнения (6) можно вывести, что траекторией является парабола.

Следует заметить, что предыдущие определения ни в коем случае не ограничиваются случаем движения в двух измерениях. Формулы, содержащие декартовы координаты, можно легко обобщить путем введения третьей координаты $\boldsymbol{z}$.

формулы для скпростей и ускорений в полярных координатах будут выведены в $\S 86$.

Пример 1. Пусть точка $P$ описывает круг радиуса $a$ около неподвижной гочки $O$ с постоянною угловою скоростью $n$.

По отношению к прямоугольным осям координат, проходящим через $O$, мы имеем:
\[
x=a \cos \theta, y=a \sin \theta,
\]

где
\[
\theta=n t+\varepsilon \text {, }
\]

Следовательно,
\[
\dot{x}=-n a \sin \theta, \quad \dot{y}=n a \cos \theta \text {. }
\]

Эти формулы показывают, что скорость перпендикулярна к $O P$ и равна пa. Точно так же
\[
\ddot{x}=-n^{2} a \cos \theta=-n^{2} x, \quad \ddot{y}=-n^{2} a \sin \theta=-n^{2} y .
\]

Так как $-x$, $-y$ представляют проекции вектора $P O$, то ускорение изображается вектором $n^{2} \cdot P O$.

Пример 2. Пусть точка движется по эллипсу так. что угол, описываемый радиусом-вектором, исходящим из центра эллипса, возрастает пропорционально времени.
Относя движение к главным осям эллипса, мы имеем:

где
\[
x=a \cos \varphi, \quad y=b \sin \varphi,
\]
\[
\varphi=n t+\varepsilon \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\dot{x}=-n a \sin \varphi, \quad \dot{y}=n b \cos \varphi .
\]

Поэтому результирующая скорость будет:
\[
\dot{s}=n \sqrt{a^{2} \sin ^{2} \varphi+b^{2} \cos ^{2} \varphi}=n \cdot O D,
\]

где $O D$ представляет полудиаметр, сопряженный с $O P$. Следовательно, скорость изображается вектором $n \cdot O D$, а годограф (в определенном масштабе) совпадает с геометрическим местом точек $D$, т. е. с самим эллипсом. Далее,
\[
\ddot{x}=-n^{2} a \cos \varphi=-n^{2} x, \quad \ddot{y}=-n^{2} b \sin \varphi=-n^{2} y .
\]

Следовательно, ускорение изображается вектором $\boldsymbol{n}^{2} \cdot P O$.
Этот тип движения называется, эллиптическим гармоническим движением. Он будет рассмотрен самостоятельно, с противоположной точки sрения, B $\S 28$.