В задачах, связанных с рассмотрением мгновенного импульса, мы, как и в § 41 , имеем дело только с интегралом по времени сил, распространенным на бесконечно малый промежуток времени действия импульса.

Пусть в случае движения твердого тела в двух измерениях скорость центра масс $G$ непосредственно перед приложением импульса будет $(u, v)$, а непосредственно после окончания действия импульса будет $\left(u^{\prime}, v^{\prime}\right)$. Точно так же, пусть будут $\omega$ и $\omega^{\prime}$ соответствующие угловые скорости тела. Если мы обозначим соответственно через $\xi, \eta$ интегралы по времени составляющих по осям $x, y$ внешних сил, а через $у$ интеграл по времени момента этих сил относительно $G$, то на основании законов количесіва движения и момента количеств движения мы непосредственно получим уравнения:
\[
\left.\begin{array}{c}
M\left(u^{\prime}-u\right)=\xi, \quad M\left(v^{\prime}-v\right)=\eta, \quad \\
I\left(\omega^{\prime}-\omega\right)=
u,
\end{array}\right\}
\]

где $M$-масса тела, а $I$-момент инерции относительно оси, проходящей через $G$ под прямым углом к плоскости $x y$.

Эти уравнения можно также вывести из уравнений (1) и (2) § 63, интегрируя их за бесконечно малый промежугок времени действия импульса; таким образом мы получим:
\[
\left.\begin{array}{c}
M u^{\prime}-M u=\int_{0}^{\tau} X d t=\xi, \quad M v^{\prime}-M v=\int_{0}^{\tau} Y d t=\eta, \\
I \omega^{\prime}-I \omega=\int_{0}^{\tau} N a t=
u .
\end{array}\right\}
\]

Предположим, например, что на свободное твердое тело, находящееся в поко 2 , по еействовал импульс $\xi$ в главной плоскости инерции для центра масс $G$ (фиг. 69). Очевидно, что $G$ начнет двигатьея по прямой, параллельной импульсу; пусть его начальная скорость будет $u^{\prime}$, а угловая скоро:ть, сообщенная телу, пусть будет $\omega^{\prime}$. Если провести $G P$ перпендикулярно к линии дейс гвия импульса, то мы получим:
\[
M u^{\prime}=\xi, \quad I \omega^{\prime}=\xi \cdot G P .
\]

Фиг, 63.
Если продопжить $P G$ до точки $O$, то началь ная скорость точки $O$ тела будет выражаться формулою:
\[
u^{\prime}-\omega^{\prime} \cdot G O=\frac{\xi}{M}\left(1-\frac{G O \cdot G P}{\chi^{2}}\right) \text {, }
\]

где $x$-радиус инерции относительно $G$. Начальная скорость точки $O$ булет равна нулю, т. е. $O$ будет мгновенным центром вращения, ссли выполнено условие
\[
G P \cdot G O=\chi^{2} .
\]

Если бы точка $O$ была закғеплена и тело могло вращаться вокруг этой точки, то возник бы импульс давления $\xi_{1}$ на эту точку опоры, а также равчая и обратная реакция $-\xi_{1}$ опоры, действующая на тело. Они определяются из уравнения:
\[
\xi-\xi_{1}=M u^{\prime}=M \omega^{\prime} \cdot Q G,
\]

где $\omega^{\prime}$ получается из уравнения моментов относительно точки $Q$, а имейно:
\[
M\left(\varkappa^{2}+O G^{2}\right) \omega^{\prime}=\xi \cdot O P .
\]

Следовательно,
\[
\frac{\xi}{\xi}=1-\frac{M^{\prime} \cdot \cap G}{\xi}=1-\frac{O^{D} \cdot O G}{x^{2}+O v^{2}}=\frac{k^{2}-G \cap \cdot G P}{\chi^{2}+U v^{2}} .
\]

Такии образом импульс, действующий на ось $O$, будет равен нулю, если будет выполнено соотношение (5), как это и можно было предвидеть на основании предшествующего исследования.

Если точка $O$ дзна и точка $P$ выбрана так, чгобы удовлетворялось это условие, то точка $P$ назынаелся пцентром удара\” относигель то точки $O$. Следует зэметить, что взлимная связь точек $O$ и $P$ такая же, как в случае центра качания и точки подвеса в физическом маятннке (§55).

Если плоскость, проходящая через точку приложения импульса и центр масс, не является главною плоскостью инерции для центра масс, то свободное тело не начнет вращаться вокруг оси, перпендикулярной к этой плоскости. Если же тело может вращаться только около заданной оси, то реакции нельзя будет привести к одной только силе; реакции дадуг еще дополнительную пару в некоторой плоскости, проходящей через ось, причем эта пара будет стремиться вырвать ось из подичипников. Мы не будем останавливаться на доказательстве этих утверждений, но частный случай мы рассмотрим ниже-в примере 3 .

Пример 1. В случае однородиого стержня длины $2 a$, могущего вращаться свободно около одного из своих концов, центр удара находится на расстоянии
\[
a+\frac{x^{2}}{a}=\frac{4}{3} a
\]

от одного из своих концов.
Далее, высота над столом, на которой биллиардному шару должен быть сообщен удар в горизонтальном направлении, чтобы шар не мог скользить, будет
\[
a+\frac{x^{3}}{a}=\frac{7}{5} a,
\]

гхе $a$ есть радиус. Такую высоту должны иметь борты биллиарла.
П Ример 2. Два одинаковых стержня $A B, B C$, соединенных идеальным (без трения) шарниром $B$, находятся в покое, составляя одну прямую; опгеделіить характер начального движения вс едствие улара $F$, сообщенного точке $C$ под прямым углом к $B C$ (фиг. 7 ).

Для простоты мы прелположим, что центры масс стержней нахолятся посредине каждого из них. Пусть будег длина кіждого сте-жня раєна $2 a$, радиус инерции относительно центра пусть будет $x_{\text {, м ма }}$ маса – $M$.

В шарнире $B$ б.дут де їствовать на стержни соотьетстьенно импульсивные давления $+X$. Пусть будут $u_{4}, u_{2}$ спответстве:но начальные скорости центров стержгей $A B$ и $B C$, а $\omega_{1}, \omega_{2}$ – начальнье угловье скорости стержней, приче ı положительные знаки мы будем иметь при напра лениях, указанных на сеттеже. получим:
\[
\begin{array}{c}
M u_{1}=-X, M \times \omega_{1}=-X a, \\
M u_{2}=F+X, M \times \omega_{2}=F a-X a .
\end{array}
\]

Далес, скорость в тпчке $B$. рассматриваемой как точка первого стержня, бугет равна $u_{4}+\omega_{1} a$, а есл і ее рлссматривать как точку второго стержня, то ее скорость будет равна $u_{2}-\omega_{2} a$. Следовательно, должно быть
\[
u_{1}+\omega_{1} a=u_{2}-\omega_{2} a .
\]

Эти пять уравнений опгелетяют $u_{4}, u_{2}, \omega_{2}, \omega_{2}$. Если мы выразим остальные не известные че $е$ ез $X$ при плмощи уравне.ий (9) и (10) и подставим в (11), то получим:
\[
X=\frac{1}{2} \frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}+x^{2}} \cdot F
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{ll}
u_{1}=-\frac{1}{2} \frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}+x^{2}} \cdot \frac{F}{M}, & a \omega_{1}=-\frac{1}{2} \frac{a^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)}{x^{2}\left(a^{2}+x^{2}\right)} \cdot \frac{F}{M}, \\
u_{2}=\frac{1}{2} \frac{3 a^{2}+x^{2}}{a^{2}+x^{2}} \cdot \frac{F}{M}, & a \omega_{2}=\frac{1}{2} \frac{a^{2}\left(a^{3}+3 x^{2}\right)}{x^{2}\left(a^{4}+x^{2}\right)} \cdot \frac{F}{M} .
\end{array}
\]

Случай $x=0, x=a$ следует выделить и рассматривать отдельно.
Если стержни однородны, то $x^{2}=\frac{1}{3} a^{2}$, и
\[
\begin{array}{ll}
u_{1}=-\frac{1}{4} \frac{F}{M}, & a \omega_{1}=-\frac{3}{4} \frac{F}{M}, \\
u_{2}=\frac{5}{4} \frac{F}{M}, & a \omega_{2}=\frac{9}{4} \frac{F}{M} .
\end{array}
\]

Отрицательные знаки у $u_{1}$ и $\omega_{1}$ показывают, что действительные направления поступательного и вращательного движений стержня $A B$ противоположны указанным стрелками на чертеже.

Пример 3. Плоской пластинке. могущей свободно вращаться около оси, расположенной в ее плоскости, сообщен в данной точке импульс, перпеидикулярный к пластинке; найти реакцни оси.

Проведем прямоугольные оси $O x, O y$ в плоскости пластинки так, чтобы ссь $O y$ совпадала с осью вращения. Если точка приложения импульса $\zeta$ имеет координаты $\alpha, \beta$, то моменты импульса относительно $O x$ и $O y$ будут соответственно $\zeta \beta$ и – $\alpha$, если принять обычное правило знаков. Если начальная угловая скорость будет $\omega$, то количество двнжения точки $m$ с координатами $x$, у будет – $m \omega x$, а моменты его относительно осей $O x$ и $О$ у $^{\prime}$ удут – $m \omega x y, m \omega x^{2}$.’ Следовательно, количество движения пластинки будет:
\[
-\omega \Sigma(m x)
\]
a моменты количеств движения пластинки относительно осей $O x$ и $O y$ будут:
\[
-\omega \sum(m x y), \omega \Sigma\left(m x^{2}\right) .
\]

Геометрическая сумма импульсивных реакций оси, действующих на пластинку, будет представлять силу $\zeta_{\text {, }}$, перпендикулярную к плоскости, причем величина ее определится из уравнения:
\[
-\omega \Sigma(m x)=\zeta+\zeta_{1} \text {. }
\]

Если $\lambda_{1}, \mu_{1}$ суть главные моменты тех жеакций относительно координатных осей, то мы имеем:
\[
-\omega \Sigma(m x y)=\lambda_{1}+\zeta \beta, \omega \Sigma\left(m x^{2}\right)=\mu_{1}-\zeta \alpha .
\]

Следовательно, для того чтобы реакции обращались в нуль, мы должны иметь:
\[
\alpha=\frac{\sum\left(m x^{2}\right)}{\Sigma(m x)}, \quad \beta=\frac{\Sigma(m x y)}{\sum(m x)} .
\]

Точку с такими координатами можно назвать „центром удара“. Если произведение инерции $\Sigma(m x y)$ обращается в нуль, то результат совпадает с (5).

Если мы преобразуем оси коо динат и введем новые оси $O x^{\prime}, O y^{\prime}$, из которых ось $O y^{\prime}$ совпадает с $O y$, а $O x^{\prime}$ составляет с $O y$ угол $\theta^{\prime}$; то новые координаты точки $m$ будут:
\[
x=x^{\prime} \sin \theta, \quad y=y^{\prime}+x^{\prime} \cos \theta,
\]

как это легко видеть из соочветствующего чертежа. Оказывается, что если подставить эти выражения в (19), то новые координаты $\alpha^{\prime}$, $\beta^{\prime}$ центра удара будут выражаться формулами того же вида, как и прежде. Следовательно, сохранять штрихи необходимости нет.

Поэтому, не теряя общности, мы можем предположить, что ось $x$ проходит через центр масс, так что
\[
\sum(m y)=0 .
\]

Если мы перенесем начало ксординат в эту точку, заменив $x$ на $x+h$, то мы получим:
\[
\sum(m x)=0
\]

и придем к формулам:
\[
\alpha=\frac{\sum\left(m x^{2}\right)}{h_{2}^{\prime}(m)}, \quad \beta=\frac{\sum(m x y)}{h_{2}^{\prime}(m)}
\]

для координат центра удара относительно произвольных осей, проходящих через центр масс, с тем лишь ограничением, что ось $у$ предполагается параллельною оси вращения пластинки.

Результат упрощается, если ось $x$ совместить с диаметром „центрального эллипса“ пластинки („Статика“, § 75, 77 ), сопряженного с осью $y$. Тогда мы имеем $\Sigma(m x y)=0$, и
\[
\alpha=\frac{a^{2}}{h}, \quad \beta=0,
\]

где
\[
a^{2}=\frac{\sum\left(m x^{2}\right)}{\sum(m)},
\]
1. е. $a^{2}$ представляет среднее квадратичное значение абсциссы всех частиц пластинки. Геометрический смысл формул (24) заключается в том, что центр удара дредставляет „антиполюс“ оси врашения относительно центрального эллипса.

В случае пластинки с постоянною поверхностною плотностью центр удара, положение которого определяется формулами (19) или (24), совпадает с центром давления на площадь пластинки, погруженной в жидкость так, что ось вращения представляет ватерлинию (линию раздела воды и воздуха) \”) (\”Статика“, § 95).