Задачи, относящиеся к малым колебаниям системы с многими степенями свободы, естественно, несколько сложнее; во всяком случае так обстоит дело, если их решать прямыми методами. Следующая задача есть одна из наиболее простых этого рода; она являегся естественным обобщением задачи 1 из § 44.
Тело, имеющее массу $M$, может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси $O$. К нему подвешено второе тело с массою $m$, причем ось подвеса $O^{\prime}$ второго тела параллельна оси подвеса первого тела. Для простоты мы предположим, что центр тяжести $G$ первого тела находится в плоскости, проходящей через оси $O$ и $O^{\prime}$. На фиг. 64 изображена проекция схемы установки на вертикальную плоскость, перпендикулярную к осям $O$ и $O$. Положим
\[
O G=h, \quad O O^{\prime}=a, \quad O^{\prime} G^{\prime}=b,
\]

Фиг. 61.
где $G^{\prime}$ есть центр масс нижнего тела, и обозначим через $k$ и $x$ соответственно радиусы инерции верхнего и нижнего тел соответственно относительно $O$ и $G^{\prime}$. Углы наклона $O G$ и $O^{\prime} G^{\prime}$ к вертикали обозначим через $\theta$ и $\varphi$.
В случае малых колебаний около положения равновесия, при котором $G^{\prime}$ находится на той же плоскости, что и следы осей $O$ и $O^{\prime}$, вертикальная составляющая реакции тела $m$, действующая на тело $M$, будет приблизительно равна $m g$. Обозначая через $X$ горизонтальную составляющую, как показано на фиг. 65 , и определяя моменты относительно $O$, мы получим, если ограничимся членами первого порядка, для верхнего тела уравнение:
\[
M k^{2} \ddot{\theta}=-M g h \theta+X a-m g a \theta .
\]

С другой стороны, так как горизонтальное отклонение точки $G^{\prime}$ от вертикальной плоскости, проходящей через $O$, равно $a \theta+b \varphi$, то мы имеем: Фиг. 65.
\[
m(a \ddot{\theta}+b \ddot{\varphi})=-X .
\]

Точно так же, определяя моменты относительно $G^{\prime}$, мы для нижнего тела получим:
\[
m x^{2} \ddot{\varphi}=X b-m g b \varphi \text {. }
\]

По исключении $X$ мы придем к уравнениям:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(M k^{2}+m a^{2}\right) \ddot{\theta}+(M h+m a) g \theta+m a b \ddot{\varphi} & =0, \\
a b \ddot{\theta}+\left(x^{2}+b^{2}\right) \ddot{\varphi}+g b \varphi & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Для удобства положим
\[
\frac{M k^{2}+M a^{2}}{M h+m a}=l, \quad \frac{x^{2}+b^{2}}{b}=l^{\prime},
\]

где $l$ есть длина математического маятника, эквивалентного верхнему телу, когда к последнему в точке $O^{\prime}$ прикреплена материальная точка $m$, a $l^{\prime}$-длина математического маятника, эквивалентного нижнему телу, качающемуся вокруг неподвижной оси $O^{\prime}$. Тогда уравнения (j) можно представить в виде:
\[
\left.\begin{array}{rl}
(M h+m a)(l \ddot{\theta}+g \theta)+m a b \ddot{\varphi} & =0, \\
a \ddot{\theta}+l \ddot{\varphi}+g \varphi & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Решение этой системы уравнений можно получить тем же путем, как и в § 44. Если мы положим
\[
\theta=A \cos (n t+\varepsilon), \quad \varphi=B \cos (n t+\varepsilon),
\]

то уравнения будут удовлетворяться при выполнении условий:
\[
\left.\begin{array}{rl}
(M h+m a)\left(n^{2} l-g\right) A+m a b n^{2} B & =0, \\
n^{2} a A+\left(n^{2} l^{\prime}-g\right) B & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Исключая отношение $\frac{A}{B}$, мы получим:
\[
(M h+m a)\left(n^{2} l-g\right)\left(n^{2} l^{\prime}-g\right)-m a^{2} b n^{4}=0 .
\]

Легко показать, что корни этого квадратного уравнения относительно $n^{2}$ вещественны, положительны и не равны между собой. Обозначая их через $n_{1}^{2}$ и $n_{2}^{2}$, мы получим общее решение в виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
\theta=A_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right)+A_{2} \cos \left(n_{2} t+\varepsilon_{2}\right), \\
\varphi=B_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right)+B_{2} \cos \left(n_{2} t+\varepsilon_{2}\right),
\end{array}\right\}
\]

где постоянные $A_{1}, A_{2}, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ можно считать произвольными, а отношения $\frac{B_{1}}{A_{1}}, \frac{B_{2}}{A_{2}}$ получаются очень просто из второго уравнения (9), если в него подставить соответствующие значения $n^{2}$. Истолкование полученного решения такое же, как и в § 44.
Если мы положим
\[
\lambda=\frac{g}{n^{2}},
\]

так что $\lambda$ есть длина математического маятника, имеющего тот же период, как и одно из нормальных колебаний системы, то мы можем представить уравнение (10) в виде:
\[
(\lambda-l)\left(\lambda-l^{\prime}\right)=\frac{m a^{2} b}{M n+m a} .
\]

Следовательно, одно из значений $\lambda$ больше наибольшей из двух величин $l$ и $l^{\prime}$, а другое значение $\lambda$ меньше наименьшей из них. Так как на основании (9).
\[
\frac{B}{A}=\frac{a}{\lambda-l^{\prime}},
\]

то. мы видим, что при наиболее медленном из двух нормальных возможных колебании углы $\theta$ и $\varphi$ имеют один и тот же знак, а при наиболее быстром нормальном колебании они имеют противоположные знаки (см. § 44).