Когда скорость получает равные между собой приращения (одного и того же знака) в любые равные между собой промежутки времени, то движение называют „равномерно ускоренным “, или говорят, что движущаяся точка имеет „постоянное ускорение \», причем величина этого ускорения определяется приращением скорости в единицу времени ${ }^{1}$ ). Следовательно, если скорость за время $t$ изменяется от $u_{0}$ до $u$, то ускорение будет $\frac{u-u_{0}}{t}$. Обозначая его через $\alpha$, мы имеем:
\[
u=u_{0}+a t .
\]

В этом случае график скорости представляет прямую линию.
В общем случае деление приращения скорости за какой-либо промежуток времени на величину этого промежутка дает результат, который можно назвать \»средней величиной ускорения“, или короче \»средним ускорением“ в этом промежутке времени. Другими словами, точка, имеющая постоянное ускорение, равное среднему, изменит свою скорость на ту же величину за тот же промежуток времени. Следовательно, если $u, u^{\prime}$ обозначают скорости в моменты времени, равные соответственно $t, t^{\prime}$, то среднее ускорение в интервале $t^{\prime}-t$ будет
\[
\frac{u^{\prime}-u}{t^{\prime}-t}, \text { или } \frac{\delta u}{\delta t} \text {, }
\]

если мы положим $u^{\prime}=u+\delta u, \quad t^{\prime}=t+\delta t$.
Во всех наиболее важных случаях, за исключением случая удара, это отношение имеет определенный предел, когда вt бесконечно убывремени $t$ \». Следовательно, обозначая ускорение через $\alpha$, мы имеем:
\[
a=\frac{d u}{d t} \text {. }
\]

Отсюда вытекает, что ускорение измеряется уклоном кривой, представляющей график скорости.
Так как $u=\frac{d x}{d t}$, то мы имеем:
\[
a=\frac{d^{2} x}{d t^{2}} .
\]

Часто бывает удобнее применять „флюксионное“ обозначение, при котором диференцирование по времени обозначается точками, поставленными над буквой, обозначающей зависимую переменную. Таким образом скорость можно обозначить через $\dot{x}$, а ускорение через $\dot{u}$ или $\ddot{x}$.

Мы получим другое важное выражение для ускорения, если рассмотрим скорость $u$ как функцию расстояния $x$. Следует заметить, что так как движущаяся точка может проходить через данное положение
1) Отрицательное ускорение иногда называют ,замедлением*, более одного раза, то данному значению $x$ может соответствовать не одно, а несколько значений $u$. Но если мы фиксируем свое внимание на одном из них, то мы будем иметь:
\[
\alpha=\frac{d u}{d t}=\frac{d u}{d x} \frac{d x}{d t}=u \frac{d u}{d x} .
\]

Если $x_{1}, x_{2}$ будут координать двух движущихся точек $P_{1}, P_{2}$ и если
\[
\xi=P_{1} P_{2}=x_{2}-x_{1},
\]

то мы имеем:
\[
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}=\frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}-\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}},
\]
т. е. ускорение точки $P_{2}$ относительно точки $P_{1}$ равно разности ускорений обеих точек. В частности, если скорость точки $P_{1}$ постоянна, так что $\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}=0$, то мы имеем:
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}}=\frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}},
\]
т. е. ускорение движущейся точки будет одним и тем же независимо от того, будет ли начало координат неподвижным или же оно будет двигаться с постоянною скоростью.
ПРимер 1. Если $x$ есть квадратичная функция от $t$, например,
\[
x=\frac{1}{2}\left(\alpha t^{2}+\beta t+\gamma\right) \text {, }
\]

тo
\[
\dot{x}=a t+\beta, \quad \ddot{x}=\alpha \text {. }
\]

Следовательно, ускорение имеет постоянную величину.
Пример 2. Если
\[
x=a \cos (n t+\varepsilon),
\]

то
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=-n a \sin (n t+\varepsilon), \\
\ddot{x}=-n^{2} a \cos (n t+\varepsilon)=-n^{2} x
\end{array}
\]

График пути представляет синусоиду, а график скорости представляет подобную же кривую, нулевые точки которой синхронны (т. е. относятся к одним и тем же моментам времени) максимумам и минимумам предыдущей кривой (см. фиг. 4, стр. 28).
ПРимЕР 3. Если

то
\[
x=A e^{n t}+B e^{-n t} \text {, }
\]
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=n A e^{n t}-n B e-n t, \\
\ddot{x}=n^{2} A e^{n t}+n^{2} B e-n t=n^{2} x .
\end{array}
\]

Пример 4. Если $u^{2}$ представляет квадратичную функцию от $x$, например:
ro
\[
u^{2}=A x^{2}+2 B x+C,
\]
\[
u \frac{d u}{d x}=A x+B \text {. }
\]

Следовательно, ускорение изменяется, как расстояние от точки $x=-\frac{B}{A}$, за исключением случая $A=0$, когда ускорение постоянно.