Уравнения движения были проинтегрированы нами не полностью, так как мы искали лишь форму орбиты и закон изменения на ней скорости. Для полного решения требуется знать положение точки на орбите в любой момент времени, если даны начальные условия.

Мы рассмотрим только случай эллиптической орбиты, который имеет в астрономии наиболее важное значение. Точки, в которых радиус-вектор ветречает орбиту под прямым углом, а именно концы большой оси, называют „апсидами“, а прямая, их соединяющая, называется плиниею апсид\». В случае орбиты Земли вокруг Солнца одна из этих точек называется „перигелием“, а другая „афелием\»; в случае орбиты Солнца,
Фиг. 76.
Фиг. 77.

описываемой относительно Земли, эти точки называют соответственно \»перигеем\» и „апогеем\». Угол PSA, образуемый радиусом-вектором с прямою, проведенною к ближайшей к центральному светилу апсиде, называется „истинною аномалиею“. Если $Q$ будет точка вспомогательного круга, соответствующая точке $P$, то эксцентрический угол точки $P$, а именно угол $Q C A$, где $C$ представляет геометрический центр, называется „эксцентрическою аномалиею\» (фиг. 78).

Если мы обозначим истинную аномалию через $\theta$, а эксцентрическую аномалию через $\varphi$, то на основании известной формулы аналитической геометрии мы имеем:
\[
\frac{l}{r}=1+e \cos \theta
\]

где $e$ есть эксцентриситет эллипса, и
\[
r=S P=a-e C N=a(1-e \cos \varphi) .
\]

Далее, если $t$ будет время, затраченное на переход точки из $A$ в $P$, то, обозначая, как.в § 76 , среднюю угловую скорость точки относительно $S$ через $n$, мы имеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{n t}{2 \pi}=\frac{\text { площадь } A S P}{\text { площадь эллипса }}=\frac{\text { площадь } A S Q}{\text { площадь круга }}= \\
=\frac{\text { площадь сектора } A C Q \text { — площадь треугольника } S C Q}{\text { площадь круга }}= \\
=\frac{\frac{1}{2} a^{2} \varphi-\frac{1}{2} a \cdot a e \sin \varphi}{\pi a^{2}},
\end{array}
\]

или
\[
n t=\varphi-e \sin \varphi .
\]

Эти формулы дают возможность найти время прохождения светила из апсиды в данное положение. Именно формула (1) выражает $r$ через $\theta$, затем угол $\varphi$ находнтся из формулы (2) и $t$ из формулы (3). В астрономии, однако, представляе г интерес обратная задача, а именно задача o нахождении значения $\theta$, соответствующего данному значению $t$. Эга задача известна под названием задачи Кеплера, и она послужила поводом для многих математических исследований. На практике она упрощается благодаря тому, что эксцентриситет $e$ в случае планетной орбиты всегда представляет малую величину. Если ограничиться только первыми членами в Фиг. 78. разложении в ряд по степеням $e$, то можно воспользоваться методом приближенных вычислений, как указано ниже.
На основании $\S 76,(10)$ мы имеем:
\[
\begin{aligned}
\frac{d t}{d \theta}=\frac{r^{2}}{h} & =\frac{l^{2}}{h}(1+e \cos \theta)^{-2}=\frac{l^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\mu}}(1+e \cos \theta)^{-2}= \\
& =\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\mu}}\left(1-e^{2}\right)^{\frac{3}{2}}(1+e \cos \theta)^{-2} .
\end{aligned}
\]

$\lceil\mathrm{rn} . \mathbf{x}$
Следовательно, вводя значение $n$ из $\S 76$ (15), мы получим:
\[
\begin{aligned}
\frac{n d t}{d 0} & =\left(1-e^{2}\right)^{\frac{3}{2}}(1+e \cos \theta)^{-2}= \\
& =\left(1-\frac{3}{2} e^{2}+\ldots\right)\left(1-2 e \mathrm{c} \quad \theta+3 e^{2} \cos ^{2} \theta-\ldots\right)= \\
& =1-2 e \cos \theta+\frac{3}{2} e^{2} \cos 2 \theta-\ldots
\end{aligned}
\]

Интегрируя, будем иметь:
\[
n t=\theta-2 e \sin \theta+\frac{3}{4} e^{2} \sin 2 \theta-\ldots
\]

Произвольного постоянного прибавлять не надо, так как по предположению $t$ обращается в нуль одновременно с $\theta$.
Чтобы обратить этот ряд, представим его в виде:
\[
\theta=n t+2 e \sin \theta-\frac{3}{4} e^{2} \sin 2 \theta+\ldots
\]

Первое приближение будет:
\[
\theta=n t .
\]

Чтобы найти второе приближение, вставим это значение $\theta$ во второй член правой стороны формулы (7); ошибка, получающаяся вследствие этого, будет порядка $e^{2}$. Таким образом мы будем иметь:
\[
\theta=n t+2 e \sin n t .
\]

Для получения следующего приближения мы подставим это значение $\theta$ во второй член и положим $\theta=n t$ в третьем члене; погрешность будет тєперь уже только порядка $e^{3}$. Мы найдем:
\[
\begin{aligned}
\theta & =n t+2 e \sin (n t+2 e \sin n t)-\frac{3}{4} e^{2} \sin 2 n t= \\
& =n t+2 e(\sin n t+2 e \sin n t \cos n t)-\frac{3}{4} \epsilon^{2} \sin 2 n t= \\
& =n t+2 e \sin n t+\frac{5}{4} e^{2} \sin 2 n t .
\end{aligned}
\]

Чтобы найти соответствующее выражение для $r$, мы на основании (3) напишем сперва приближенную формулу:
\[
\varphi=n t+e \sin \varphi=n t+e \sin n t .
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\frac{r}{a} & =1-e \cos \varphi=1-e \cos (n t+e \sin n t)=r \\
& =1-e(\cos n t-e \sin n t \cdot \sin n t)= \\
& =1-e \cos n t+\frac{1}{2} e^{2}(1-\cos 2 n t) .
\end{aligned}
\]

Таким образом среднее значение $r$ из всех значений за равные бесконечно малье промежутки времени с рассматриваемою точностью приближения будет выражаться формулою:
\[
a\left(1+\frac{1}{2} e^{2}\right) .
\]

Количество $n t$, входящее в предыдущие формуль, называется „среднею аномалиею\»; она показывает то значение углового расстояния планеты от апсиды, которое получалось бы, если бы углов яя скорость была постоянна. Разность $\theta-n t$ между истинною и среднею аномалиями называется „уравнением времени“.

Можно заметить, чго формула (9), в которой пренебрегают квадратом $e$, была бы верна также с точностью до квадрата $e$, если бы материальная точка, описывала круг с постоянной скоростью и если бы расстояние $S$ от центра круга былоравно 2 ae, где $a$ есть радиус круга 1). Но изменение радиуса-вектора не происходило бы по формуле (12). Мы получим лучшее приближение, если вообразим круг, описываемый с постоянною угловой скоростью $n$ около точки $H$, расположенной на одном диаметре с $S$ таким образом, что $S C=C H=a e$, где $C$ представляет центр. В сәмом деле, истинная орбита отклоняется от круговой на малые величины порядка $e^{2}$, так как $b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)$. Кроме того, если $\theta^{\prime}$ будет угол, который радиус-вектор, проведенный из фскуса, не занятого Солнцем, составляет с большою осью, то мы иа основании (6) легко найдем приближенную формулу:
\[
\theta^{\prime}=\theta-2 e \sin \theta=n t .
\]