Если система рассмотренного выше типа консервативная и если $U$ обозначает ее потенциальную энергию, то при отсутствии внешних сил мы имеем равенство:
\[
\frac{1}{2} A \dot{\theta}^{2}+U=\text { const. }
\]

Диференцируя по $t$ и сокращая на $\dot{\theta}$, получим:
\[
A \ddot{\theta}+\frac{1}{2} \frac{d A}{d \dot{\theta}} \dot{\theta}^{2}=-\frac{d U}{d \dot{\theta}} .
\]

Такой вид имеет уравнение движения системы, из которого исключены все реакции, так как работа их равна нулю.

Чтобы получить положение равновесия, положим $\dot{\theta}=0$ и $\ddot{\theta}=0$; мы получим:
\[
\frac{d U}{d \theta}=0 \text {. }
\]

Это значит, что возможные положения равновесия соответствуют таким значениям 0 , при которых потенциальная энергия принимает стационарное значение при малых перемещениях.
1) Это условие будет действительно удовлетворено, если период свободных колебаний пружины мал по сравнению с периодом колебаний при подвешенном грузе.

Чтобы исследовать характер равновесия, предположим, что координата $\theta$ так изменена добавлением к ней постоянного, что она обращается в нуль для положения раввовесия. Тогда для малых значений $\theta$ значение функции $U$ можно разложить в ряд вида:
\[
U=U_{0}+\frac{1}{2} a^{9^{2}}+\ldots
\]

Член с первой степенью $\theta$ охутствует, так как по предположению условие (3) удовлетворяется при $\theta=0$. Следовательно, рассматривая небольшое отклонение от равновесия, мы приближенно получим из (2):
\[
A \ddot{\theta}=-a \theta,
\]

если опустить второй член левой части равенства (2) как величину второго порядка малости. Сверх того мы можем рассматривать коэфициент $A$ как количествӧ постоянное, приняв для него значение, соответствующее положению равновесия, так как это приведет к погрешности тоже не ниже второго по̀рядка ${ }^{1}$ ).
Если $a$ положительно, то решение уравнения (5) будет:
\[
\theta=C \cos (n t+\varepsilon) \text {, }
\]

гдё
\[
n=\sqrt{\frac{a}{A}},
\]

причѐм постоянные $C$ и $\varepsilon$ являются произвольными. Кәждая точка $m$ колеблется взад и вперед по своей траектории. Перемещение ее при обозначениях § 65 будет:
\[
s=\alpha \theta=\alpha C \cos (n t+\varepsilon),
\]

где $\alpha$-коэфициент, различный для разных точек системы. Период $\frac{2 \pi}{n}$ определяется строением системы и зависит от отношения „козфициента устойчивости\” $a$ к коэфициенту инерции.
Если $a$ отрицательно, то решение уравнения (5) будет
\[
\theta=C e^{n t}+C^{\prime} e^{-n t} \text {, }
\]

где
\[
n=\sqrt{-\frac{a}{A}} \text {. }
\]

Если начальные условия не подобраны так, что $C=0$, то в конце концов значения $\theta$ с течением времени так возрастут, что допущенное приближение перестанет иметь место.

Следовательно, положение равновесия будет устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, будет ли $a$ положительно или отрица-
1) В случае колебаний твердого тела в двух измерениях мы получим результат, равносильный уравнению (5), предполагая, что мгновенная ось вращения сохраняет свое положение как в теле, так и в пространстве.

тельно, т. е. в соответствии с тем, будет ли $U$ иметь в положении равновесия минимальное или максимальное значение.

Если на систему действуют внешние силы, то их работа на бесконечно малом перемещении может быть выражена в виде $\theta \hat{\delta} \theta$. Вместо уравнения (1) мы имеем в таком случае:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} A \dot{\theta}^{2}+U\right)=\theta \dot{\theta} .
\]

Диференцируя и сокращая на $\dot{\theta}$, мы получим:
\[
A \ddot{\theta}+\frac{1}{2} \frac{d A}{d \theta} \dot{\theta}^{2}=-\frac{d U}{d \theta}+\theta .
\]

По аналогии мы назовем количество $\theta$ обобщенною \”силою “, приложенною к системе. Характер силы зависит от координаты $\theta$. Если $\theta$ представляет длину, то $\theta$ будет представлять силу в обычном смысле этого слова; если $\theta$ обозначает угол, то $\theta$ будет иметь характер момента и т. д.

Пример 1. Круглый цилиндр радиуса $a$ с центром масс на расстоянии $h$ от оси катится по горизонтальной плоскости; изучить его движение. Эта задача заключает в себе случай физического маятника, в котором призма (нож) заменена цилиндрическою шпилькою, катающейся по горизонтальной опоре (фиг. 58) 1).

Пусть $O$ обозначает ось цилиндра, $C$-прямую соприкосновения, $G$ – центр масс, а $\theta$ – наклон $O G$ к вертикали $O C$. Если х есть ралиус инерции относительно прямой, проходящей через $G$ параллельно оси цилиндра, то момент инерции относительно мгновенной оси вращения $C$ будет $M\left(\mathrm{x}^{2}+C G^{2}\right)$, а кинетическая энергия будет
\[
\frac{1}{2} M\left(x^{2}+C G^{2}\right) \dot{\theta_{2}}=\frac{1}{2} M\left(x^{2}+a^{2}-2 a h \cos \theta+h^{2}\right) \dot{\theta} .
\]

Следовательно, уравнение энергии будет
\[
\frac{1}{2} M\left(\mathrm{x}^{2}+a^{2}-2 a h \cos \theta+h^{2}\right) \dot{\theta}:=M g h \cos \theta+\text { const. }
\]

В общей теории мы уже видели, что при изучении малых колебаний мы можем принять в выражении коэфициента инерции $\theta=0$, а при определении значения потенциальной энергии достаточно принять во внимание только члены второго порядка. Следовательно, полагая в правой части равенства
\[
\cos \theta=1-\frac{1}{2} \theta 2,
\]

мы получим:
\[
\left\{x^{2}+(h-a)^{2}\right\}^{\hat{\theta}^{2}}+g h \theta^{02}=\text { const. }
\]

Диференцируя, находим:
\[
\left\{x^{2}+(h-a)^{2}\right\} \ddot{\theta}+g h \theta=0 .
\]
1) Эта вадача рассмотрена Эйлером (1780).

Следовательно, длина эквивалентного математического маятника будет
\[
l=\frac{x^{2}+(h-a)^{2}}{h} .
\]

Полученные результаты, очевидно, можно применить к любому случаю тела вращения, катящегося в направлении, параллельном вертикальной плоскости симметрии. перпендикулярной к оси тела. В случае однородного полушария радиуса $a$ мы имеем:
\[
x^{2}=\frac{2}{5} a^{2}-\left(\frac{3}{8} a\right)^{2}, \quad h=\frac{3}{8} a,
\]

откуда
\[
l=1,73 a .
\]

ПРимв 2. Цилиндр с сечением произвольной формы качается на горизонтальной плоскости, совершая небольшие колебания около положения равновесия; найти движение (фиг. 59).
В положении равновесия центр тяжести $G$ цилиндра и прямая касания находятся в одной и той же вертикальной плоскости. Обозначим,высоту центра тяжести над этой прямой через $h$. При отклонении цилиндра на малый угол б вертикаль в поперечной секущей плоскости, проходящей через $G$, проведенная через новую прямую касания, пересечет прямую $C G$, проведенную через $\boldsymbol{G}$ и прямую касания в положении равновесия, в некоторой точке $C$. Из диференциальной геометФиг. 5 S. рии известно, что разность отрезков двух соседних пересекающихся нормалей представляет малую величину третьего порядка. Если сбозначить длину нормалей через $R$, то приращение потенциальной энергии с точностью до величин второго порядка будет
\[
M g(R-h)(1-\cos \theta)=\frac{1}{2} M g(R-h) \theta 2,
\]

где $R$ можно положить равным радиусу кривизны сечення в первоначальной точке касания 1). Следовательно, равновесие будет устойчивым, если $h<R$ (\”Статика“, §59). Так как с достаточной степенью приближения кинетическая энергия равна
\[
\frac{1}{2} M\left(x^{2}+h^{2}\right) \theta^{2},
\]

где $x$ есть радиус инерции относительно продольной оси, проходящей через $G$, то длина эквивалентного математического маятника выражается формулою:
\[
l=\frac{x^{2}+h^{2}}{R-h} .
\]

Из равенств (17) и (21) видно, что если мы слегка закруглим лезвие призмы физического маятника так, чтобы радиус кривизны был $a$, то значение $l$ изменится из
\[
\frac{x^{2}+h^{2}}{h} \text { в } \frac{x^{2}+h^{2}}{h+a},
\]

где $h$ обозначает расстояние $G$ от лезвия призмы. Таким образом длина $l$ уменьшается приблизительно в отношении $1-\frac{a}{h}$. Это можно учесть при определении посредством маятника ускорения, вызываемого силою тяжести $g$, изменяя
4) Эти точки обыкновенно отстоят друг от друга на малую величину первого порядка,
наблюдаемые значения $T^{2}$ (квадрат периода) в отношении $1+\frac{a}{h}$. Эта поправка часто может быть порядка погрешности наблюдения.

П РимеР 3. Подобным же образом мокно рассмотреть более общий случай, когда один цилиндр расположен на другом.

Фиг. 60 представляет вертикальное сечение, перпендикулярное к осям цилиндров и проходящее через центр тяжести G. Пусть $P^{\prime}$ обозначает ту точку на нижней кривой, которая является точкою касания в положении равновесия. Пусть $ф$ обозначает угол, образуемьй касательною в этой точке с горизонтом. Далее, пусть $Q$ обозначает точку касания в том положении, когда верхний цилиндр при своем катании повернется на угол $\varphi$, а $P$ обозначает точку верхней кривой, первоначально совпадающую с точкою $P^{\prime}$. Пусть нормали к об:им кривым в точках $P$ и $P^{\prime}$ пересекают обшую нормаль, проведенную через $Q$, соответственно в точках $O$ и $O^{\prime}$. Положим
\[
O P=O Q=R, \quad O^{\prime} P^{\prime}=O^{\prime} Q=R^{\prime}, P Q=h ;(22)
\]

погрешность, получающаяся от приравнивания между собой длин пересекающихся нормалей, будет третьего порядка малости. Наконец, обозначим через $\theta$ и $\theta^{\prime}$ углы с вершинами в $O$ и $O^{\prime}$, стягивающие солтветственно дуги $P Q$ и $P^{\prime} Q$.

Так как первоначально нормали $P O, P^{\prime} O^{\prime}$ совпадали между собой, то мы имеем:
\[
\theta+\theta^{\prime}=\varphi \text {. }
\]

Следовательно, так как с достаточным приближением
\[
R^{\theta}=R^{\prime} \theta^{\prime},
\]

To
\[
\theta=\frac{R^{\prime} \varphi}{R+R^{\prime}}, \quad \theta^{\prime}=\frac{R \varphi}{R+R^{\prime}} .
\]

Так как отрезок $P G$ отклонился от вертикали на угол $\varphi$, то высота точки $G$ над уровнем точки $O^{\prime}$ будет
\[
\begin{array}{l}
O^{\prime} O \cdot \cos \left(\psi+\theta^{\prime}\right)-O P \cos (\psi+\varphi)+P G \cos \varphi= \\
=\left(R+R^{\prime}\right)\left\{\left(1-\frac{1}{2} \theta^{\prime 2}\right) \cos \psi-\theta^{\prime} \sin \psi\right\}- \\
\quad-R\left\{\left(1-\frac{1}{2} \varphi^{2}\right) \cos \psi-\varphi \sin \psi\right\}+h\left(1-\frac{1}{2} \varphi^{2}\right) .
\end{array}
\]

Члены с первыми степенями $\theta^{\prime}$ и сокращаются на основании формул (25). Таким образом прирацєние потенциальной энергии при перемещении будет
\[
\frac{1}{2} M g \frac{R R^{\prime} \cos \phi-h\left(R+R^{\prime}\right)}{R+R^{\prime}} \cdot \varphi^{2},
\]

где $R$ и $R^{\prime}$ можно приравнять радиусам кривизны обеих кривых в точках $P$ и $P^{\prime}$. Выражение (27) будет положительно и, следовательно, положение равновесия будет устойчивым, если
\[
\frac{\cos \psi}{h}>\frac{1}{R}+\frac{1}{R^{\prime}},
\]

что совпадает с известною формулою („Статика“, § 59).

Наконец кинетическая өнергия будет
\[
\frac{1}{2} M\left(x^{2}+h^{2}\right) \dot{\varphi}^{2},
\]

где $\dot{x}$ есть радиус инерции относительно прямой, проведенной параллельно оси цилиндра через $G$. Следовательно, длина эквивалентного математического маятника будет выражаться формулою:
\[
l=\frac{\left(\mathrm{x}^{2}+h^{2}\right)\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R^{\prime}}\right)}{\cos \psi-h\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R^{\prime}}\right)}:
\]

Проведем, как на фиг. 61, окружность с таким диаметром $c$, чтобы выполнялось равенство:
\[
\frac{1}{c}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R^{\prime}},
\]
т. е. чтобы ее кривизна была в два раза больше суммы значений кривизны обеих кривых и чтобы она касалась нижней кривой в первоначальной точке касания. То’да, если прямая $P G$ в ее первоначальном положении пересекает эту окружность в точке $H$, то мы имеем $P H=c \cos \phi$. В таком случае на основании неравенства (28) можно сказать, что положение равновесия будет устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, находится ли $G$. ниже или выше $H$. В теории рулет эта окружность называется „окружностью перегибов“. Траектории точек подвижной кривий обращены к точке $P$ своей выпуклостью или вогнутостью в зависимости от того, находится ли рассматриваемая точка внутри или вне этьй окружности. Точки же кривой, лежащие на окружности, являются точками перегиба своих траекторий. Далее, из равенства (30) мы выводим:
\[
l=\frac{x^{2}+h^{2}}{H G}
\]

Величины $R, R^{\prime}$ и $h$ считаются положительными в случае, показанном на чертежах. Полученные выводы Фиг. 61. могут быть обобщены и для других случаев путем надлежашего изменения знаков.
Все предыдущее исследование применимо к любому случаю движения твердого тела, имеющего одну степень свободы и движущегося параллельно вертикальной нлоскости, если на тело действует только сила тяжести. В самом деле, согласно общей теореме кинематики, обе предыдущих кривых можно рассматривать как центроиды (т. е. геометрические места мгновенных центров вращения в теле и в пространстве), которые катятся одна по другой (.Статика“, $\S \S 16,59$ ) при любом движении твердого тела.