Всякое скалярное количество можно охарактеризовать числом, показывающим, во сколько раз оно больше эталона или единицы того же рода. Конечно, это число будет изменяться обратно пропорционально величине выбранной единицы.

В \»абсолютной“ (физической) системе динамики основными единицами являются единицы массы, длины и времени. Они могут быть установлены произвольно и независимо одна от другой, в то время как все другие единицы являются производными и зависят только от них. Величины этих основных единиц мы обозначим соответственно буквами $M,L,T$.

Приступим теперь к рассмотрению размерностей различных производных единиц в дополнение к размерностям скорости и ускорения, с которыми мы имели дело в § 3 .

Единицею плотности будет плотность единицы массы, распределенной равномерно в единице объема; следовательно, ее размерность будет:
$$\frac{M}{L^3},\text{ или }M{L}^{-3}\text{. }$$

Единицею количества движения будет количество движения единицы массы, движущейся со скоростью, равной единице. Его размерность будет:
$$\frac{ML}{T}\text{, или }ML{T}^{-1}\text{. }$$

Единицею силы будет сила, которая сообщает точке в единицу времени количество движения, равное единице; таким олразом ее размерность будет:
$$\frac{ML}{T}:T,\text{ или }\frac{ML}{T^2},\text{ или }ML{T}^{-\text{AA}}\text{. }$$

Единицею работы или единицею потенциальной 9 нер. rии будет работа силы, равной единице, на единице длины, следовательно, ее размерность будет:
$$\frac{ML}{T^2}\cdot L,\text{ или }\frac{M{L}^2}{T^2}\text{, или }M{L}^2{T}^{-2}.$$

Единицею кинетической энергии будет кинетическая энергия единицы массы, движущейся со скоростью, равной единице. Ее размерность будет:
$$M\cdot \frac{L^2}{T^2},\text{ или }\frac{M{L}^2}{T^2}\text{, или }M{L}^2{T}^{-2}\text{. }$$

Единицею интенсивности давления, удельного давления, или просто давления (\»Статика“, §§90,136) в гидростатике и в теории упругости будет давление, создаваемое единицею силы на единицу площади. Следовательно, размерность давления будет:
$$\frac{ML}{T^2}:L^2,\text{ или }\frac{M}{L{T}^2},\text{ или }M{L}^{-1}{T}^{-2}.$$

Так как напряжение определяется тем же отношением, то такие же размерности (в абсолютной системе мер) будут и у коэфициентов упругости, например у модуля Юнга ${}^1$ ).
1) Численные значения в технической системе мер даны в „Статике“, § 138. Чтобы перевести их в меры абсолютной системы, их нужно умножить на $g$.

В каждом о бщ е м уравнении динамики, какая бы абсолютная система мер ни была принята, размерность каждого члена уравнения должна быть одинаковой. В противном случае при изменении принятых основных единиц численные значения разных членов изменились бы в неодинаковом отношении. Иллюстрацию этой точки зрения мы имеем в уравнении энергии ( $\mathrm{\S }18$ ), в котором размерности кинетической и потенциальной энергии одинаковы, а именно $\frac{M{L}^2}{T^2}$. Этот принцип чрезвычайно полезен как средство для проверки правильности формул.

Точно так же рассмотрение размерностей полезно и в другом отношении — как средство, помогающее до извсстной степени предвидеть, каким образом будут входить величины, относящиеся к какой-либо частной задаче, в окончательный результат.

Например, если мы предположим, что период малых колебаний данного маятника представляет определенную величину, то мы сразу увидим, что он должен быть пропорциональным выражению $\sqrt{\frac{l}{g}}$. Единственные элементы, от которых период может зависеть, в рассматриваемом случае будут масса $m$ груза, длина $l$ нити и значение $g$. Выражение, написанное выше, представляет единственную комбинацию этих элементов, размерность которой сводится к размерности времени.

Точно так же время падения точки с расстояния $c$ в данный центр силы, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния, будет зависеть только от $c$ и от постоянной $\mu$, обозначающей ускорение на расстоянии, равном единице (§16). Размерность $\mu$ должна быть такой, чтобы выражение $\frac{\mu }{x^2}$ имело размерность ускорения; следовательно, размерность $\mu$ должна быть $L^3{T}^{-2}$. Поэтому, если мы предположим, что рассматриваемое время пропорционально количеству $c^p{\mu }^q$, где $p$ и $q$-показатели, подлежащие определению, то размерность $c^p\mu q$ будет $L^p{\left(L^3{T}^{-2}\right)}^q$, или $L^{p+3q}{T}^{-2q}$. Следовательно, мы должны иметь:

или
$$\begin{array}{c}p+3q=0,-2q=1,\\ p=\frac{3}{2},q=-\frac{1}{2};\end{array}$$

таким образом искомое время пропорционально количеству $\sqrt{\frac{c^3}{\mu }}$.
Эти рассуждения можно изложить в еще более наглядной форме, если рассмотреть \»подобные\» системы, или (вернее) подобные движения подобных систем ${}^1$ ). Например, мы можем рассмотреть уравнения:
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{\mu }{x^2},\frac{d^2{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime 2}}=-\frac{{\mu }^{\prime }}{x^{\prime 2}},$$

относящиеся, по нашему предположению, к двум разным материальным точкам, падающим независимо одна от другой в два разных центра
1) Этот род аргументации впервые применен у Фурье (J. В. Fourier, 1768-1830) в ero Théorie analitique de la chaleur (1822).

сил, действующих по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Очевидно, $x^{\prime }$ может быть пропорциональным $x$, а $t^{\prime }$ — пропорциональным $t$, если будет:
$$\frac{x}{t^2}:\frac{x^{\prime }}{t^{\prime 2}}=\frac{\mu }{x^2}:\frac{{\mu }^{\prime }}{x^{\prime 2}},$$

и, конечно, если имеется надлежащее соответствие между начальными условиями. Соотношение (2) эквивалентно такому:
$$t:t^{\prime }=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{{\mu }^{\frac{1}{2}}}:\frac{x^{\frac{3}{2}}}{{\mu }^{\prime \frac{1}{2}}},$$

где $t,t^{\prime }$ представляют два соответствующих промежутка времени, а $x,x^{\prime }$ два соответствующих расстояния от центров сил. В частном случае, если $t_1,t_1^{\prime }$ будут времена падения без начальных скоростей в центры с соответствующих расстояний $c,c^{\prime }$, то мы имеем:
$$t_1:t_1^{\prime }=\frac{c^{\frac{3}{2}}}{{\mu }^{\frac{1}{2}}}:\frac{c^{\frac{3}{2}}}{{\mu }^{\prime \frac{1}{2}}}\cdot$$

Таблица, приведенная ниже, дает перечень наиболее важных количеств, встречающихся в динамике, с размерностями, которые они имеют

в абсолютной системе мер. В таблице указан сокращенный способ обозначения разных единиц в системе CGS и в другой метрической системе вместе с особыми наименованиями, общепринятыми для отдельных единиц. Единицы $CGS$ в таблице подчеркнуты.