Всякое скалярное количество можно охарактеризовать числом, показывающим, во сколько раз оно больше эталона или единицы того же рода. Конечно, это число будет изменяться обратно пропорционально величине выбранной единицы.

В \”абсолютной“ (физической) системе динамики основными единицами являются единицы массы, длины и времени. Они могут быть установлены произвольно и независимо одна от другой, в то время как все другие единицы являются производными и зависят только от них. Величины этих основных единиц мы обозначим соответственно буквами $M, L, T$.

Приступим теперь к рассмотрению размерностей различных производных единиц в дополнение к размерностям скорости и ускорения, с которыми мы имели дело в § 3 .

Единицею плотности будет плотность единицы массы, распределенной равномерно в единице объема; следовательно, ее размерность будет:
\[
\frac{M}{L^{3}}, \text { или } M L^{-3} \text {. }
\]

Единицею количества движения будет количество движения единицы массы, движущейся со скоростью, равной единице. Его размерность будет:
\[
\frac{M L}{T} \text {, или } M L T^{-1} \text {. }
\]

Единицею силы будет сила, которая сообщает точке в единицу времени количество движения, равное единице; таким олразом ее размерность будет:
\[
\frac{M L}{T}: T, \text { или } \frac{M L}{T^{2}}, \text { или } M L T^{-\AA} \text {. }
\]

Единицею работы или единицею потенциальной 9 нер. rии будет работа силы, равной единице, на единице длины, следовательно, ее размерность будет:
\[
\frac{M L}{T^{2}} \cdot L, \text { или } \frac{M L^{2}}{T^{2}} \text {, или } M L^{2} T^{-2} .
\]

Единицею кинетической энергии будет кинетическая энергия единицы массы, движущейся со скоростью, равной единице. Ее размерность будет:
\[
M \cdot \frac{L^{2}}{T^{2}}, \text { или } \frac{M L^{2}}{T^{2}} \text {, или } M L^{2} T^{-2} \text {. }
\]

Единицею интенсивности давления, удельного давления, или просто давления (\”Статика“, §§90,136) в гидростатике и в теории упругости будет давление, создаваемое единицею силы на единицу площади. Следовательно, размерность давления будет:
\[
\frac{M L}{T^{2}}: L^{2}, \text { или } \frac{M}{L T^{2}}, \text { или } M L^{-1} T^{-2} .
\]

Так как напряжение определяется тем же отношением, то такие же размерности (в абсолютной системе мер) будут и у коэфициентов упругости, например у модуля Юнга ${ }^{1}$ ).
1) Численные значения в технической системе мер даны в „Статике“, § 138. Чтобы перевести их в меры абсолютной системы, их нужно умножить на $g$.

В каждом о бщ е м уравнении динамики, какая бы абсолютная система мер ни была принята, размерность каждого члена уравнения должна быть одинаковой. В противном случае при изменении принятых основных единиц численные значения разных членов изменились бы в неодинаковом отношении. Иллюстрацию этой точки зрения мы имеем в уравнении энергии ( $\S 18$ ), в котором размерности кинетической и потенциальной энергии одинаковы, а именно $\frac{M L^{2}}{T^{2}}$. Этот принцип чрезвычайно полезен как средство для проверки правильности формул.

Точно так же рассмотрение размерностей полезно и в другом отношении – как средство, помогающее до извсстной степени предвидеть, каким образом будут входить величины, относящиеся к какой-либо частной задаче, в окончательный результат.

Например, если мы предположим, что период малых колебаний данного маятника представляет определенную величину, то мы сразу увидим, что он должен быть пропорциональным выражению $\sqrt{\frac{l}{g}}$. Единственные элементы, от которых период может зависеть, в рассматриваемом случае будут масса $m$ груза, длина $l$ нити и значение $g$. Выражение, написанное выше, представляет единственную комбинацию этих элементов, размерность которой сводится к размерности времени.

Точно так же время падения точки с расстояния $c$ в данный центр силы, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния, будет зависеть только от $c$ и от постоянной $\mu$, обозначающей ускорение на расстоянии, равном единице (§16). Размерность $\mu$ должна быть такой, чтобы выражение $\frac{\mu}{x^{2}}$ имело размерность ускорения; следовательно, размерность $\mu$ должна быть $L^{3} T^{-2}$. Поэтому, если мы предположим, что рассматриваемое время пропорционально количеству $c^{p} \mu^{q}$, где $p$ и $q$-показатели, подлежащие определению, то размерность $c^{p} \mu q$ будет $L^{p}\left(L^{3} T^{-2}\right)^{q}$, или $L^{p+3 q} T^{-2 q}$. Следовательно, мы должны иметь:

или
\[
\begin{array}{c}
p+3 q=0, \quad-2 q=1, \\
p=\frac{3}{2}, \quad q=-\frac{1}{2} ;
\end{array}
\]

таким образом искомое время пропорционально количеству $\sqrt{\frac{c^{3}}{\mu}}$.
Эти рассуждения можно изложить в еще более наглядной форме, если рассмотреть \”подобные\” системы, или (вернее) подобные движения подобных систем ${ }^{1}$ ). Например, мы можем рассмотреть уравнения:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{\mu}{x^{2}}, \quad \frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{\prime 2}}=-\frac{\mu^{\prime}}{x^{\prime 2}},
\]

относящиеся, по нашему предположению, к двум разным материальным точкам, падающим независимо одна от другой в два разных центра
1) Этот род аргументации впервые применен у Фурье (J. В. Fourier, 1768-1830) в ero Théorie analitique de la chaleur (1822).

сил, действующих по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Очевидно, $x^{\prime}$ может быть пропорциональным $x$, а $t^{\prime}$ – пропорциональным $t$, если будет:
\[
\frac{x}{t^{2}}: \frac{x^{\prime}}{t^{\prime 2}}=\frac{\mu}{x^{2}}: \frac{\mu^{\prime}}{x^{\prime 2}},
\]

и, конечно, если имеется надлежащее соответствие между начальными условиями. Соотношение (2) эквивалентно такому:
\[
t: t^{\prime}=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\mu^{\frac{1}{2}}}: \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\mu^{\prime \frac{1}{2}}},
\]

где $t, t^{\prime}$ представляют два соответствующих промежутка времени, а $x, x^{\prime}$ два соответствующих расстояния от центров сил. В частном случае, если $t_{1}, t_{1}^{\prime}$ будут времена падения без начальных скоростей в центры с соответствующих расстояний $c, c^{\prime}$, то мы имеем:
\[
t_{1}: t_{1}^{\prime}=\frac{c^{\frac{3}{2}}}{\mu^{\frac{1}{2}}}: \frac{c^{\frac{3}{2}}}{\mu^{\prime \frac{1}{2}}} \cdot
\]

Таблица, приведенная ниже, дает перечень наиболее важных количеств, встречающихся в динамике, с размерностями, которые они имеют

в абсолютной системе мер. В таблице указан сокращенный способ обозначения разных единиц в системе CGS и в другой метрической системе вместе с особыми наименованиями, общепринятыми для отдельных единиц. Единицы $C G S$ в таблице подчеркнуты.