Балистика.
1. Доказать методом „размерностей“, что дальность полета снаряда при заданном угле подъема орудия пропорциснальна величине $\frac{v^{2}}{g}$, где $v$-начальная скорость снаряда.
2. Если бы мы пренебрегли сопротивлением воздуха, то максимальная дальность полета пули составила бы $1800 \mu$. Какова будет дальность полета, если выстрел производится под углом $30^{\circ}$ ?
Под каким углом должен быть произведен выстрел, чтобы попасть в цель, находящуюся на расстоянии $13 \digamma 0$ м в горизонтальном направлении?
3. Выстрел из орудия произведен под углом $\theta$ к плоскости, обравующей в свою очередь угол а с горизонтом и проходящей через начальное положение снаряда. Доказать, что если снаряд встречает плоскость под прямым углом, то
\[
\operatorname{tg} \theta=\frac{1}{2} \operatorname{ctg} \alpha .
\]
4. При выстреле из точки $O$ снаряду сообщается скорость $\sqrt{2 g k}$ в одной и той же вертикальной плоскости; доказать, что геометрическое место вершин траекторий снаряда будет эллипс
\[
x^{2}+4 y(y-k)=0 .
\]
5. Если в какой-либо точке $P$ траектории снаряда несколько изменить направление движения, не изменяя скорости, то новая траектория пересечет старую на другом конце хорды, проходящей через фокус и точку $P$.
6. Из олного пункта произведен одновременно ряд выстрелов в разных направлениях с одной и той же скоростью $V$; доказать, что по истечении $t$ секунд снаряды будут находиться на сфере радиуса $V t$ и что центр этой сферы будет перемецаться вниз с ускорением $g$.
7. Пусть будет $O R$ горизонтальная дальность полета снаряда; пусть прямая, соединяющая $O$ с любым положением $P$ снаряда, встречает вертикаль, проходящую через $R$, в точке $Q$. Показать, что точка $Q$ опускается вниз с постоянною скоростью, равной численно начальной вертикальной составляющей скорости снаряда.
8. Доказать, что на параболической траектории снаряда направление движения изменлется со скоростью $\frac{1}{2} \frac{u_{0}}{y}$, где $u_{0}$-горизонтальная скорость, а $у$ обомначает расстояние по вертикали от директрисы.
9. Доказать правильность следующего построения для определения горизонтальной дальности полета и наибольшей высоты, достигаемой материальною точкою, брошенною с заданной скоростью $v$ из точки $O$ в каком-либо направлении.
Проводим отрезок $O A$, длина которого равна $\frac{2 v^{2}}{g}$, вверх и описываем сферу, принимая аа диаметр $O A$. Через точку $O$ проводим хорду $O P$ в направлении бросания и проводим перпендикуляр $P N$ к горизонтальной плоскости, проходлщей через $O$. Отрезок $O N$ будет представлять наибольшую дальность полета, а наибольшая высота будет $\frac{1}{4} P N$.
10. Применить предыдущее построение для определения дальности полета на наклонной плоскости, проходящей через $O$.
11. Две материальных точки брошены с одинаковой скоростью в разных направлениях, но с таким расчетом, чтобы они имели одинаковую дальность полета в горизонтальном направлении. Доказать, что среднее геометрическое из наибольших высот равно четверти дальности полета, и что среднее арифметическое тех же величин равно четверти максимальной горизонтальной дальности полета, соответствующей данной начальной скорости.
12. Вывести на основании динамических соображений следующие свойства траектории сиаряда.
1) Вертикаль, проходящая через любую точку $P$ траектории, делит пополам все хорды, параллельные касательной, проведенной к траектории в точке $P$
2) Если вертикаль, проходящая через точку пересечения $T$ касательных в двух любых точках $Q$ и $Q^{\prime}$, пересекает кривую в точке $P$, а хорду $Q Q^{\prime}$ в точке $V$. то $Q V=V Q^{\prime}$ и $T P=P V$.
3) Поднормаль траектории постоянна и равна $\frac{u_{0}^{2}}{g}$, где $u_{0}$ – горизонтальная скорость.
4) Скорость изменяется пропорционально длине нормали.
13. Если $A B$ есть хорда параболической траектории снаряда, проходящая через фокус, то время, в течение которого точка из $A$ приходит в $B$, равно времени свободного падения точки без начальной скорости с высоты, равной $A B$.
14. Доказать, что если $T P$ и $T Q$ – две касательных к траектории снаряда, то скорости в точках $P$ и $Q$ будут относиться одна к другой, как $T P$ к $T Q$.
15. Доказать, что если векторы $O A, O B$ изображают скорости в двух точках $P, Q$ траектории снаряда, и $C$ єсть середина отрезка $A B$, то $O C$ представляет с редн юю скорость на пути $P Q$.
Доказать, что если $P Q$ – хорда, проходящая через фокус, то средняя квадратичная величина кинетической энергии на пути $P Q$ равна одной трети суммы значений кинетической энергии в точках $P$ и $Q$.
16. Две материальных точкн брошены в одной вертикальной плоскости из одной точки в один и тот же момент времени с начальною скоростью $v$ под углами к горизонту $\alpha$ и $\alpha^{\prime}$. Доказать, что время, протекшее между моментами прохождения их через точку пересечения траекторий, равно:
\[
\frac{2 v}{g} \cdot \frac{\sin \frac{1}{2}\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)}{\cos \frac{1}{2}\left(\alpha+a^{\prime}\right)}
\]
17. Материальная точка брошена так, чтобы на горизонтальной плоскости, проходящей через начальное положение точки, она имела дальность полета $R$, и чтобы наибольшая высота, достигнутая точкою, была равна $h$. Доказать, что при той же начальной скорости наибольшая дальность полета в горизонтальном начравлении равна:
\[
2 h+\frac{1}{8} \frac{R^{2}}{h} \text {. }
\]
18. Форт расположен на краю берегового утеса высотой $h$. Доказать, что наибольшее горизонтальное расстояние, на котором орудие форта может попасть в судно, равно $2 \sqrt{k(k+h)}$, и что наибольшее горизонтальное расстояние, с которого орудие, находящееся на судне, может попасть в форт, равно $2 \sqrt{k(k-h)}$, если $\sqrt{2 g k}$ – начальная скорость снаряда в каждом случае.
19. Материальная точка брошена с начальною скоростью $\sqrt{2 g k}$ из точки, расположенной на высоте $h$ над плоскостью, имеющей наклон ак горизонту.
Доказать, что максимальная дальность полета в направлениях вверх и вниз по плоскости увеличится на
\[
2 \sec \alpha \sqrt{k\left(h+k \sec ^{2} \alpha\right)}-2 k \sec ^{2} \alpha .
\]
Найти предельное выражение этого результата, когда отношение $\frac{h}{k}$ мәлэ, и ноказать как вид этого выражения можно предвилєть заранее.
20. Доказать, что зона обстрела из заданной точки $O$ на плоскости с уклоном $\alpha$ при постоянной величине начальной скорости ограничена эллипсом с эксцентриситетом $\sin \alpha$ и с фокусом в точке $O$.
21. Показать при помощи чертежа, как изменится траектория пули, если в как, йлибо момент полета скорость ее уменьшится вследствие пробивания тонкой доски.
Объяснить в общих чертах влияние непрерывного действия сопротивления воздуха на форму траектории.
Примеры VII.
Эллиптическое гармоническое движение и т. п.
1. Показать, что если координаты движущейся точки выражаются формулами:
\[
x=a \cos (n t+\alpha), \quad y=b \cos (n t+\beta) .
\]
то уравнение траектории будет:
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{2 x y}{a b} \cos (\alpha-\beta)+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin ^{2}(\alpha-\beta) .
\]
2. Материальная точка брошена из данной точки в заданном направлении с заданною скоростью, причем на точку действует центральная притягивающая сила, пропорциональная расстоянию; дать геометрическое построение для определе:ия главных осей орбиты.
3. Доказать, что в эллиптическом гармоническом движении средние значения кинетической и потенциальной энергии равны между собою.
4. Точка описывает эллипс под действием ускорения $\mu . C P$, направленного к центру $C$. Доказать, что скорость изменения нэправления движения равна:
\[
\frac{\sqrt{4} \cdot a b}{C D^{2}}
\]
где $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ – полуоси, а $C D$ – полудиаметр, сопряженный с $C P$.
5. Концы стержня, вращающегося с постоянною угловою скоростью, движутся по двум прямым, пересекающимся под прямым углом; доказать, что каждая точка стержня совершает эллипгическое гармоническое движение.
6. Пластинка вращается в своей плоскости с постоянною угловою скоростью, причем две точки пластинки движутся по двум неподвижным прямым линиям. Доказать, что всякая точка пластинки совершает, эллиптическое (или прямолинейное) гагмоническое движение.
7. Доказать, что в эллиптическом гармоническом движении среднее (во времени) значение кинетической энергии равно среднему арифметическому из наибольшего и наименьшего значений кинетической энергии.
8. Две точки совершают эллиптическое гармоническое движение (не обязательно в одной плоскости) около общего центра с одинаковым периодом. Доказать, что их относительное движение является эллиптическим гармоническим.
9. Точка движется под действием отталкивающей силы, пропорциональной расстоянию от неподвижной точки; доказать, что ветвь гиперболы есть орбита, и что скорость в любой точке изменяется пропорционально половине сопряженного диаметра.
10. Доказать, что если в предыдущей задаче гипербола равносторонняя, то угол $\theta$, образуемый радиусом-вектором с действительною осью, связан с временем $t$, отсчитываемым от начального положения в вершине, соотношением вида:
\[
\sin 2 \theta=\text { th } 2 n t \text {. }
\]
11. Материальная точка находится под действием нескольких центральных сил, притягивающих или отталкивающих пропорционально расстоянию; определить вид орбиты и период обрашения, если орбита замкнутая.
В каком случае орбитою будет парабола?
12. Показать, что если материальная точка, описывающая эллипс с ускорением, направленным к центру, в некьторый момент времени получает улар в направлении к центру или от него, то точка при дальнейшем движении будет описывать новый эллипс, площадь которого одинакова с площадью первоначальной орб иты.
13. Доказать, что если максимальные отклонения $\alpha, \beta$ нити сферического маятника от вертикали малы, то полная энергия будет:
\[
\frac{1}{2} m g l\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right) \text {, }
\]
где $l$ – длина нити, а $m$ – масса груза.
14. Доказать, что если в маятнике Блекберна один период в два раза больше другого, то возможною формою траектории является дуга параболы, описываемая попеременно в противоположных направлениях.
Найти также уравнение траектории, имеющей две оси симметрии:
\[
\left[\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{4 x^{2}}{a^{2}}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right) \cdot\right]
\]
15. При помощи уравнений относительного движения (§ 33) доказать, что при движении материальной точки с ускорением $\omega^{2} r$, направленным к неподвижному центру, ее траектория относительно осей, вращающихся с угловою скоростью $\omega$, будет представлять круг, описываемый с постоянною угловою скоростью $2 \omega$.
Примеры VIII.
1. Материальная точка движется в плоскости под действием притягивающей силы, которая всегда перпендикулярна к неподвижной прямой линии и пропорциональна расстоянию от этой линии; доказать, что траекториею точки будет синусоида.
2. На материальную точку действует сила, имеющая постоянное направление; доказать, что если силовое поле консервативное, то сила должна иметь постоянную величину во всех точках каждой плоскости, перпендикулярной к этому направлению.
Доказать, что если ось у будет параллельна направлению силы, то диференциальное уравнение траекторий будет иметь вид:
\[
c^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\varphi(y),
\]
где $\varphi(y)$ представляет ускорение.
3. Доказать, что если в задаче 2 будет $\varphi(b)=0$, то прямолинейная траектория $y=b$ будет устойчивою или неустойчивою в зависимости от того, будет ли $\varphi^{\prime}(b)$ иметь соответственно отрицательный или положительный знак. Выразить этот критерий через величины энергии.
4. Доказать, что если в задаче 2 будет $\varphi(y)=\frac{\mu}{y^{2}}$, то траекториею будет коническое сечение.
5. Найти закон, по которому должна изменнться сила, параллельная асимптоге равносторонней гиперболы, чтобы точка двигалась по этой гиперболе.
6. По окружности радиуса $a$ симметрично расположены $n(>2)$ центров сил, притягивающих обратно пропорционально расстоянию, причем сила, действующая на расстоянии, равном единице, для каждого центра равна $\mu$. Доказать, что потенциальная энергия точки, находящейся в плоскости круга на небольшом расстоянии от его центра, выражается приближенною формулою:
\[
U=U_{0}-\frac{n \mu}{4 a^{3}} r^{2} \text {. }
\]
Если точка будет находиться на оси круга на небольшом расстоянии $z$ от его центра, то потенциальная энергия будет:
\[
U=U_{0}+\frac{n \mu}{2 a^{3}} z^{2} .
\]
7. Доказать, что если в плоском силовом поле, не изменяющемся во времени, компоненты $X, Y$ силы во всех точках представляют фун ции от коорлинат $x, y$, то работа, совершаемая силами поля, когда точка описывает в положительном направлении контур прямоугольного элемента дхбу, будет равна:
\[
\left(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}\right) \delta x \delta y .
\]
8. На материальную точку действует сила, перпендикулярная к прямой линии $A B$ и обратно пропорциональная квадрату расстояний от $A B$. Доказать, что если точке сообщить скорость, которую она приобретает, двигаясь без начальной скорости из бесконечности, то ее траекториею будет циклоида.
9. Материальная точка движется под действием притљжения к нескольким центрам, причем сила притяжения для всех центров пропорциональна расстоянию. Доказать, что движение точки будет представлять эллиптическое гармоническое движение.
10. Оси $O x, O y$ вращаются с постоянною угловою скоростью $\omega$, а проекции скорости материальной точки на оси $O x$ и $O y$ соответственно равны:
\[
\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{3}+b^{2}} \omega y \quad \text { и } \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \omega x ;
\]
доказать, что относительное движение точки будет представлять эллиптическое гармонияеское движение, и найти его период.
11. Доказать, что в случае силового поля, вращающегося равномерно вместе с осями, уравнения (6) § 33 имеют интеграл:
\[
\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)-\frac{1}{2} \omega^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+U=\text { const },
\]
где $U$-потенциальная энергия (на единицу массы), создаваемая полем.
