В § 46 было показано, что кинетическая энергия любой материальной системи равна сумме кинетической энергии всей массы системы, предполагая, что вся масса сосредоточена в центре масс и движется вместе с этою точною, и кинетической энергии относительного движения по отношению к центру масс. Следовательно, если обозначить через ( $u, v$ ) скорость центра масс, а через $\omega-$ угловую скорость вращения, то кинетическая энергия твердого тела, движущегося в двух измерениях, будег
\[
\frac{1}{2} M\left(u^{2}+v^{2}\right)+\frac{1}{2} I \omega^{2},
\]

где $M$-масса тела, а $I$ – его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения.
Представив уравнения движения [§ 63,.(1), (2)] в виде:

мы получим:
\[
M\left(u \frac{d u}{d t}+v \frac{d v}{d t}\right)+I \omega \frac{d \omega}{d t}=X u+Y v+N \omega,
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left\{\frac{1}{2} M\left(u^{2}+v^{2}\right)+\frac{1}{2} I \omega^{2}\right\}=X \frac{d x}{d t}+Y \frac{d y}{d t}+N \frac{d \theta}{d t} .
\]

Выражение
\[
X \delta x+Y \delta y+N \delta \theta
\]

обозначает работу внешних сил на бесконечно малом перемещении тела (\”Статика“, § 62). Следовательно, равенство (4) выражает, что кинетическая энергия увеличивается в каждый момент времени о такой же скоростью, с какой увеличивается работа внешних сил. Таким образом полное приращение кинетической энергии за конечный промежуток времени равно работе внешних сил за тот же промежуток времени.

Применяя эти выводы, мы можем, конечно, оставлять без внимания такие силы, как реакции неподвижных гладких поверхностей, натяжения в нерастяжимых нитях и пр., т. е. работа таких сил равна нулю („Статика“, § 52).

Далее, если на тело действуют внешние силы и сумма работ этих сил при круговом процессе, при котором после ряда каких угодно перемещений тело возвращается в свое первоначальное положение, равна нулю, то мы можем ввести, как в § 30 , понятие потенциальной энергии. Работа таких сил при перемещении системы равна уменьшению потенциальной энергии.

Выражение кинетической энергии тела, движущегося в двух измерениях, часто можно вывести непосредственно только из того, что при таком движении тело вращается вокруг какой-нибудь точки как мгновенного центра вращения (\”Статика“, § 15). Если I есть момент инерции относительно этой точки, а ш-угловая скорость, то кинетическая энергия равна $\frac{1}{2} I \omega^{2}$. Так как мгчовенный центр вращения обыкновенно не является неподвижною точкою, то во время движения как $l$, так и $\omega$ могут изменяться.

Пример1. В физическом маятнике (§55) кинетическая әнергия равна $\frac{1}{2} M k^{202}$, а потенциальная энергия $-M g h \cos \theta+$ const. Следовательно,
\[
\frac{1}{2} M k^{2} \dot{j 2}-M g h \cos \theta=\text { const. }
\]

Примвр 2. В случае тела вращения, катящегося по наклонной плоскости, момент инерции относительно точки касания равен $M\left(\mathrm{x}^{2}+a^{2}\right)$; поэтому кинетическая энергия будет
\[
\frac{1}{2} M\left(\mathrm{x}^{2}+a^{2}\right) \omega^{2} .
\]

Если через $x$ обозначить расстояние, проходимое телом по плоскости, то мы получим:
\[
\frac{1}{2} M\left(x^{2}+a^{2}\right) \omega^{2}=M g x \sin \alpha+\text { const, }
\]

или, полагая
\[
\omega=\frac{v}{a},
\]

будем иметь:
\[
u^{2}=\frac{2 g a^{2} x \sin \alpha}{x^{2}+a^{2}}+\text { const. }
\]

Следовательно, ускорение центра масс составляет
\[
u \frac{d u}{d x}=\frac{a^{2}}{x^{2}+a^{2}} g \sin \alpha,
\]

как было уже найдено раньше.
ПРимеР 3. Стержень $A B$ скользит, опираясь своим нижним концом на глалкую горизонтальную плоскость. Так как горизонтальные силы на стержень не действуют, то горизонтальная составляющая ускорения центра масс равна нулю. Поэтому горизонтальная скорость центра масс постоянна, и ее можно оставить без рассмотрения (фиг. 56).

Пусть будут $M$ – масса, $a$ – расстояние точки $G$ от нижнего конца $A$, $x$ – радиус инерции относительно $G$. Если обозначить высоту $G N$ точки $G$ над горизонтальною плоскостью через $z$, а угол, составляемый стержнем с вертикалью, через $\theta$, то уравнение энергии будет:
\[
\frac{1}{2} M \dot{z}^{2}+\frac{1}{2} M x^{2} \dot{\theta} 2+M g z=0 .
\]

Так как
\[
z=a \cos \theta,
\]

тo
\[
\frac{1}{2}\left(x^{2}+a^{2} \sin ^{2} \theta\right) \theta^{2}+g a \cos \theta+\text { const. }
\]

Фиг. 56.
Постоянное зависит от начальных условий; так, если стержень занимал вертикальное положение и начал двигаться без начальной скорости, то в начальный момент мы имеем:
\[
\dot{\theta}=0 \quad \text { при } \quad \theta=0,
\]

потому
\[
\frac{1}{2}\left(x^{2}+a^{2} \sin ^{2} \theta\right) \theta^{2}=g a(1-\cos \theta) .
\]

Это уравнение дает угловую скорость для любого последующего момента времени.

Для вычисления вертикальной реакции $R$ плоскости определим моменты относительно точки $G$; мы будем иметь:
\[
M x \ddot{2} \ddot{y}=R a \sin \theta .
\]

Диференцируя уравнение (12) по $t$ и сокращая на $\dot{\theta}$, получим:
\[
\left(x^{2}+a^{2} \sin ^{2} \theta\right) \ddot{\theta}+a^{2} \sin \theta \cos \theta \cdot \dot{\theta}^{2}=g a \sin \theta .
\]

Исключив $\dot{\theta}$ и $\ddot{\theta}$ из равенств (12), (13) и (14), мы найдем значение $R$.
Например, чтсбы получить значение $R$ в тот момент, когда стержень принимает горизонтальное положение, положим $\theta=\frac{1}{2} \pi$; тогда из (13) и (14) найдем:
\[
\ddot{\theta}=\frac{g a}{x^{2}+a^{2}}, \quad R=\frac{M x^{2}}{a} \ddot{\theta}=\frac{x^{2}}{x^{2}+a^{2}} M g .
\]