Линейный закон сопротивления, который мы до сих пор предполагали, имеет практическое значение только для очень малых скоростей. Для определенного диапазона скоростей, не очень малых и не очень больших, было найдено, что лучшие результаты дает гипотеза о пропорциональности сопротивления квадрат у скорости.
Этот закон имеет и некоторое теоретическое обоснование. Например, в случае тела, движущегося в воздухе со скоростью $v$, за время $t$ выводится из покоя (если так можно выразиться) масса воздуха, пропорциональная количеству $v \delta t$, и ей сообщается средняя скорость, пропорциональная величине $v$. Следовательно, количество движения, сообщенное воздуху и соответственно отнятое у тела в единицу времени, процорционально $v^{2} 1$ ). Этот аргумент ошибочен в том отношении, что при этом предполагается одно и то же геометрическое распределение для скоростей всех точек потока воздуха относительно тела, но можно показать, что при известных условиях значительная часть сопротивления подчиняется формулированному выше закону.
1) Ньютон, Principia, lib. H, prop. IV (scholium). Русский перевод акад. А. Н. Крылова.
Принимая этот закон, мы в случае материальной точки при отсутствии других сил, кроме сопротивления, имеем:
\[
\frac{d v}{d t}=-k v^{2}, \frac{d v}{d x}=-k v .
\]
Следовательно,
\[
-\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d t}=k \text {, или } \frac{1}{v}=k t+A \text {. }
\]
Если при $t=0$ будет $v=v_{0}$, то $A=\frac{1}{v_{0}}$, откуда
\[
v=\frac{v_{0}}{1+k v_{0} t} .
\]
Далее, из второго уравнения получаем:
\[
\frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=-k, \quad \ln v=-k x+E
\]
Если при $x=0$ будет $v=v_{0}$, то $B=\ln v_{0}$, и, следовательно,
\[
v=v_{0} e^{-k x} \text {. }
\]
Исключая $v$ или интегрируя (3), найдем:
\[
x=\frac{1}{k} \ln \left(1+k v_{0} t\right) .
\]
Формула (5) показывает, что $v$ не обращается в нуль ни для какого конечного значения $x$ и что, следовательно, при этом законе сопротивления нет предела для перемещения точки. Однако этот закон перестает иметь практическое значение для малых скоростей, и действительное сопротивление при значительном уменьшении скорости изменяется скорее пропорционально $v$, чем $v^{2}$.
Коэфициент $k$ представляет величину, обратную длине, а именно обратную расстоянию, на котором скорость уменьшается в отношении $\frac{1}{e}$. Обозначив эту длину через $a$, получим:
\[
x=a \ln \left(1+\frac{v_{0} t}{a}\right)
\]
