Если из неподвижного начала координат $O$ мы проведем ряд векторов $O V_{1}, O V_{2}, \ldots$, изображающих скорости материальных точек $m_{1}, m_{2}, \ldots$, в каком-либо данном масштабе, и если построим вектор
\[
O K=\frac{\sum(m \cdot O V)}{\sum(m)},
\]

то он представит скорость центра масс. Конечно, сказанное представляет только другую формулировку теоремы предыдущего параграфа. Очевидно ( СТатика“, § 64), что $K$ будет совпадать с центром масс системы точек $m_{1}, m_{2}, \ldots$, расположенных соответственно в концах векторов $V_{1}, V_{2}, \ldots$, на воображаемом вспомогательном чертеже.

Это свойство сразу приводит к некоторым важным теоремам, относящимся к кинетической энергии системы. По \”первой теореме Лагранжа („Статика\”, § 74) мы имеем:
\[
\frac{1}{2} \sum\left(m \cdot O V^{2}\right)=\frac{1}{2} \sum(m) \cdot O K^{2}+\frac{1}{2} \sum\left(m \cdot K V^{2}\right),
\]
т. е. кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии всей массы системы, предполагая, что она сосрелоточена в ценгре масс $O$ и движется со скоростью этой точки, и кинетической энергии движения относительно G. Второе слагаемое можно, назвать ,внугреннею кинетическою энергисю\” системы.

Частный случай этой теоремы был дан в § 42; аналитическое доказательство, данное там, легко обобщить. Так, пользуясь прямоугольными координатами и положив
\[
x=\bar{x}+\xi, \quad y=\bar{y}+\eta, \quad z=\bar{z}+\xi,
\]

где $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ относятся к центру масс, мы имеем:
\[
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} \sum m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=\frac{1}{2} \sum\left[\left(\frac{d \bar{x}}{d t}+\dot{\xi}\right)^{2}+\left(\frac{d \bar{y}}{d t}+\dot{\eta}\right)^{2}+\left(\frac{d \bar{z}}{a t}+\dot{\zeta}\right)^{2}\right]= \\
= & \frac{1}{2} \sum(m) \cdot\left[\left(\frac{d \bar{x}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \bar{v}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \bar{z}}{d t}\right)^{2}\right]+\frac{1}{2} \sum m\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}+\dot{\zeta}^{2}\right), \text { (4) }
\end{aligned}
\]

так как
\[
\sum\left(m^{\varepsilon} \frac{d \bar{x}}{d t}\right)=\frac{d \bar{x}}{d t} \sum(m \dot{\xi})=\frac{d \bar{x}}{d t} \frac{d}{d t}\left(\sum m \xi\right)=0,
\]

и т. д.
Точно так же мы кмеем интересную аналогию со „второю теоремою“ Лагранжа (\”Статика“, § 74), а именно:
\[
\frac{1}{2} \sum\left(m \cdot K V^{2}\right)=\frac{\frac{1}{2} \sum\left(m m^{\prime} \cdot K V^{\prime 2}\right)}{\sum(m)},
\]

где суммирование в числителе производится по каждой паре точек только один раз. Эта формула дает внутреннюю кинетическую энергию, выраженную через массы и относительные скорости всех пар точек ${ }^{1}$ ). Для частного случая двух точек доказательство уже дано в § 42 .
1) Эта теорема и метод доказательства принадлежат А. Ф. Мебиусу (A. F. Mбbius, Mechanik des Himmels, 1843).

Если, продолжив векторное изложение $\S 46$, мы положим
\[
v_{1}=\dot{\rho},
\]
т. е. $v_{1}$ есть скорость точки $m$ относительно центра масс, то получим:
\[
\frac{1}{2} \sum\left(m v^{2}\right)=\frac{1}{2} \sum m\left(v_{0}+v_{1}\right)^{2}=\frac{1}{2} \sum(m) \cdot v_{0}^{2}+\frac{1}{2} \sum\left(m v_{1}^{2}\right),
\]

потому что согласно $\S 45$ (6)
\[
\Sigma\left(m v_{0}^{2}\right)=\dot{v}_{0} \Sigma\left(m v_{1}\right)=v_{0} \Sigma(m \dot{\rho})=0 .
\]

Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату. абсолютной величины вектора, то формула (8) эквивалентна формуле (2).

С другой стороны, мы можем показать почти совершенно так же, как в \”Статике\” $[\S 74,(13)]$, что в соответствии с (6) будет:
\[
\frac{1}{2} \sum\left(m v_{1}^{2}\right)=\frac{\frac{1}{2} \sum m m^{\prime}\left(v_{1}-v_{1}^{\prime}\right)^{2}}{\Sigma(m)} .
\]