Мы начнем с элементарных кинематических понятий, относящихся к движению по прямой линии.

Положение $P$ движущейся точки в любой заданный момент времени $t$, т. е. в тот момент, когда, начиная с некоторого определенного момента, принятого за нулевую точку отсчета, истекло $t$ единиц времени, — определяется ее расстоянием $x$ от некоторой неподвижной точки $O$ рассматриваемой прямой; это расстояние считается положительным или отрицательным в зависимости от того, по какую сторону от $O$ расположена точка $P$. Расстояние $x$ в каждом данном случае движения представляет определенную и непрерывную функцию от $t$. Если вид этой функции известен, то часто бывает удобно представить ее графически на вспомогательной диаграмме посредством кривой, которую можно построить, приняв $t$ за абсциссу, а $x$-за ординату. Такая кривая называется графиком пути ${}^1$ ).

Если в любые два равные между собою промежутка времени движущаяся точка проходит равные между собою пути в одном и том же направлении, то говорят, что она имеет „постоянную скорость“ ${}^2$ ); величина этой скорости определяется расстоянием, пройденным в единицу времени. Конечно, это расстояние должно иметь определенный, присваиваемый ему знак. Следовательно, если положение точки изменяется так, что за время $t$ коорднната $x_0$ изменяется в $x$, то скорость будет равна $\frac{x-x_0}{t}$. Обозначая ее буквой $u$, мы имеем:
$$x=x_0+ut.$$

Таким образом в этом случае график пути представляет прямую линию.
Если скорость не постоянна, то деление пути, пройденного за какойлибо промежуток времени, на этот промежуток дает результат, который
1) Имеется ряд различных классических опытов, особенно в акустике, когда такие кривые строились при помощи механических или оптических приспособлений. Так, например, поступают при изучении природы колебаний камертона или фортепианной струны.
2) Часто употребляется термин ,равномерная скорость\», но, повидимому, предпочтительне употреблять слово ,постоянный*, когда подразумевается неизменяемость во времени, сохраняя термин \»равномерный для выражения неизменяемости в пространстве. Таким образом постоянное поле сил будет такое, которое не изменяется с течением времени, в то время как равномерное поле будет такое поле, которое имеет одни и те же свойства в каждой точке. См. Махw el1, Matter and Motion, London 1876, cтp. 24, 25.

можно назвать \»средней скоростью“ в рассматриваемом промежутке времени. Это значит, что точка, имеющая постоянную скорость, равную средней, пройдет такои же путь за тот же промежуток времени. Таким образом, если точки $P,P^{\prime }$ обозначают положения соответственно в моменты времени $t,t^{\prime }$ (фнг. 1), то средняя скорость в промежутке $t^{\prime }-t$ будет:
$$\frac{P{P}^{\prime }}{t^{\prime }-t}\text{, ‘или }\frac{x^{\prime }-x}{t^{\prime }-t},$$

Фиг. 1. где $x,x^{\prime }$ представляют соответственно абсциссы точек $P,P^{\prime }$. Если мы положим $x^{\prime }=x+\delta x$, $t^{\prime }=t+\delta t$, так что $\delta x$, $\delta t$ обозначают соответствующие приращения $\mathit{x}$ и $\mathit{t}$, то средняя скорость будет выражаться отношением:
$$\frac{\delta x}{\partial t}\text{. }$$

Во всех рассматриваемых нами случаях ${}^1$ ) это отношение имеет определенный предел, когда интервал $\delta t$ бесконечно уменьшается, и этот предел принимается за определение „скорости в момент $t$ \». Обозначив ее через: $\mathit{u}$ и применив обозначения диференциального исчисления, мы получим:
$$u=\frac{dx}{dt}$$

На кривой, выражающей зависимость между пройденным путем и временем, скорость в любой момент измеряется пуклоном “ кивой в соответствующей точке, т. е. тангенсом угла, который касательная к кривой, проведенная в направлении увеличения $t$, образует с положительным направлением оси $t$.

Скорость $u$, вообще говоря, представляет определенную и непрерывную функцию or $t$; она может быть представлена графически при помощи кривой, называемой „графиком скорости “, которую строят, принимая $t$ за абсциссу, а $u$-за ординату. Так как интегрирование уравнения (2) дает:
$$x=\int udt$$

то площадь, описанная ординатами этой кривой за какой-либо промежуток времени, дает путь, пройденный за тот же промежуток времени. Действительно, интеграл в формуле (3) соответствует обычному обозначению в других буквах $\int ydx$; принятому в интегральном исчислении.

Если $P_1,P_2$ будут две движущихся точки, а $x_1,x_2$ — их координаты, rо, полагая
$$\xi =P_1{P}_2=x_2-x_1,$$

мы имеем:
$$\frac{d\xi }{dt}=\frac{d{x}_2}{dt}-\frac{d{x}_1}{dt}.$$
1) Исключая случай удара, когда мы можем иметь разные пределы в зависимости от того, будет ли $\delta$ положительным или отрицательным (см. гл. VI).

т. е. скорость точки $P_2$ относительно точки $P_1$ равна разности скоростей точек $P_1$ и $P_2$.