1. Показять, что если материальная точка находится под действием постоянной силы, составляющей постоянный угол с направлением двияжения, то траектория предстәвляет логарифмическую спираль.
2. Материальной точке, описывающей эллипс около центра, сообщают небольшой импульс $\delta v$ в направлении движения. Доказать, что последующее изменение длин главных полуосей определится посредством формул:
\[
\frac{\delta a}{a}=\frac{\delta v}{v} \sin ^{2} \varphi, \frac{\delta b}{b}=\frac{\delta v}{v} \cos ^{2} \varphi,
\]

где – эксцентрическая аномалия.
3. Д.казать, что если годограф центральной орбиты описывает около полюса равные площади в равные промежутки вғемени, то- сила должна изменяться пропорционально расстоянию.
4. Локазать, что годограф центральной орбиты подобен, инверсии* орбиты относительно центра силы.
5. Доказать, ч’о если орбита представляет круг, описываемый вокпуг иентра сил, расположенного в ююбой данной $10 ч к е$, то годограф будет э липс, парабола или гипербола в зависимости от того, будет ли эıа точка расположена внутри, на или вне орбиты.
1) A. C. Clairaut (1713-1765). Ero „Théorie de la lune“ была опубликована в 1752 r.

6. Доказать, что для орбит
\[
a^{n-1} p=r^{n}
\]

закон действия силы есть
\[
\varphi(r)=\frac{\mu}{r^{2 n+1}} .
\]

Всегда ли будет,этот тип орбиты общим для этого закона?
7. Доказать, что если вакон силы на центральной орбите будет
\[
\frac{\dot{\mu}}{r^{2}} e^{-k r}
\]

где $k$ представляет малую величину, то линия апсид в почти круговой орбите будет перемещаться за каждый оборот на угол $\pi k a$, где $a$ есть радиус орбиты.
8. Показать, что если в предыдущей задаче потенциальная энергия будет
\[
-\frac{\mu}{r} e^{-k r} \text {, }
\]

то угол перемещения линии апсид будет почти равен $\pi k^{2} a^{2}$.
9. Доказать, что при условиях §88 два апсидальных расстояния не могут быть между собой равными, если орбита не круговая.
10. Материальная точка, имеющая ускорение $\frac{\mu}{r^{3}}+f$, направленное $\mathbf{x}$ неподвижному центру; брошена из апсиды, находящейся на расстоянип $a$, со скоростью $\sqrt{\frac{\mu}{\alpha}}$. Доказать, что любой последующий момент времени $t$ будет иметь место равенство:
\[
r=a-\frac{1}{2} f t^{2}
\]
11. Дюказать, что закон, по которому сила изменяется обратно пропорционально кубу расстояния, представляет единственный закон, при котором критическая скорость на любом расстоянии равна скорости на круге на том же расстоянии.
12. Доказать, что на центральной орбите имеет место равенство:
\[
\frac{d^{2}\left(r^{2}\right)}{d t^{2}}=C-\frac{2}{r} \frac{d}{d r}\left[r^{2} \int \varphi(r) d r\right] .
\]

Исследовать случаи $\varphi(r)=\mu r$ и $\varphi(r)=\frac{\mu}{r^{2}}$.
13. Кольцо может скользить по спице колеса, вращэющегося около своей оси с постоянною угловою скоростью ш. Доказать, что если кольцо начинает двигаться без начальной скорости с расстояния $a$ от центра, то его расстояние в любой последующий момент $t$ будет $a$ ch $\omega t$.
14. Две материальных точки $m_{1}, m_{2}$, соединенных нитью, приведены в движение с одинаковыми скоростями $v$, перпендикулярными к нити. Найти начальное натяжение, едли нить касается гладкого колышка, который делит длину нити на части $a_{1}, a_{2}$.
\[
\left[\frac{m_{1} m_{2}\left(a_{1}+a_{2}\right) v^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right) a_{1} a_{2}} \cdot\right]
\]
15. Найти решение полярного диференциального уравнения центральной орбиты $[\S 90,(6)]$ в случае $\varphi(r)=\mu r=\frac{\mu}{u}$.

16. Движение точки, описывающей круговую орбиту раднуса а с ускорением $\frac{\mu}{r^{2}}$, возмущается незначительною постолнною силою $f$, перпендикулярною к радиусу-вектору. Доказать, что соответствующие изменения радиуса-вектора п угловой скорости выражаются посредством формул:
\[
r=a+\frac{2 f t}{n}, \quad 0=n-\frac{3 f t}{a} .
\]
17. Найти закон для силы, под действием которой материальная точка может описывать кардиоиду $r=a(1+\cos \theta)$ с центром силы в полюсе, и найти соотношение между моментом количества движения, абсолютным ускорением и длиною $a$.
18. Доказать, что если центральная орбита имеет два апсидальных расстояния $a, b(a<b)$, то скорость на расстоянии $t$ определится по формуле:
\[
v^{2}=\frac{2 a^{2}}{b^{2}-a^{2}} \int_{a}^{r} \varphi(r) d r+\frac{2 b^{2}}{b^{2}-a^{2}} \int_{t}^{b} \varphi(r) d r .
\]
19. Доказать, что если материаุльная точка может описывать одну и ту же траекторию под действием двух силовых полей ( $\left.X_{1}, Y_{1}\right)$ ‘и $\left(X_{2}, Y_{9}\right.$ ), то она может описывать ту же траекторию под действием силового поли ( $X_{1}+X_{2}, Y_{1}+Y_{2}$ ) при условии, что она начинает двигаться из данной точки $A$ со скоростью $\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}$, где $v_{1}, v_{2}$ – скорости в точке $A$ в двух первых случаях.

Доказать, что материальная точка может описывать параболу, имея одновременно ускорение $g$, параллельное оси, и ускорение $\frac{g a^{2}}{r}$, направленное от фокуса, и что скорость обращается в нуль в вершине параболы (параметр параболы равен $4 a$ ).