Примеры XIII
Вращение около неподвижной оси.
1. Однородный круглый диск, имеющий диаметр 30 см, ‘весит $3,5\kappa 2$; найти (в кгм) момент, который в течение 10 сек. сообщит диску угловую скорость 10 об/сек.
2. Найти в кгм кинетическую энергию однородного железного шара, имеющего радиус 1 ди и вращающегося около диаметра со скоростью 5 об/сек, принимая, что щотность железа равна 7,8 и что
$$g=930\text{ см }/{\text{ сек }}^2.$$
[6,57 кгм.]
3. Гироскоп приводится во вращение при помощи нити длиною $1\mathit{M}$, навернутой на ось и разматываемой с натяжением $3,5\kappa 2$. Найти в об/сек угловую скорость, сообщаемую гироскопу в предположении, что гироскоп динамически эквивалентен круглому диску 0,1 м в диаметре и весящему 1 к.
4. Однородный круглый диск радиусом 10 см. весящий 1 к2, может свободно вращаться около горизонтальной оси. При сообщении ему скорости 100 об/мин он останавливается в течение 1 мин. всґедствие действия силы трения, приложенной по касательной к окружности. Предполагая, что эта сила постоянна, найти ее величину в 2.
$$[0,89\text{ 2.] }$$
5. Доказать, что если бы Земля сжималась равномерно вследствие охлаждения, то при уменьшении радиуса на $\frac{1}{n}$-ю часть продолжительность суток уменьшилась бы на $\frac{2}{n}$-ю часть.
6. Масса махового колеса равна $7\kappa 2$; на горизонтальную ось навит шнур, имеющий массу 0,4 кг. Замечено, что эта масса опускается на 1,5 м в 8 сек., если движение начинается без начальной скорости. Найти радиус инерции махового колеса, если дано, что радиус оси равен 5 см.
7. Маховое колесо, момент инерции которого равен $I$, имеет ось радиуса $a$ и вращается с угловою скоростью $\omega$. При вращении на ось навертывается легкий шнур, привязанный к массе $M$, лежащей в покое на полу под колесом. Найти отношение, в котором мгновенно уменьшается угловая скорость колеса и кинетическая энергия системы, когда натянется шнур.
8. Груз свешивается с оси радиуса $b$ и удерживается в равновесии силою $P$, приложенной по касательной к окружности концентрического колеса радиуса $a$. Показать, что если заменить силу $P$ силою $P^{\prime }$, то груз будет подниматься с ускорением
$$\frac{(P^{\prime }-P)ab}{I+\frac{Pab}{g}},$$

где $I$ есть момент инерции колеса и оси.
9. Две массы $M_1,M_2$ соединены нитью, перекинутой через блок с моментом инерции $I$ и радиусом $a$, как в машине Атвуда. Доказать, что при свобод:ом движении машины давление блока на его подшипники меньше, чем если бы масса $M_1+M_2$ была распределена поровну по обе стороны, на величину
$$\frac{{(M_1-M_2)}^{2}g}{M_1+M_2+\frac{I}{a^2}}.$$
10. В машине без трения и инерции груз $P$ уравновешивает груз $W$, причем оба висят на вертикальных шнурах. Эти грузы заменены грузами $P^{\prime }$ и ‘ $W^{\prime }$, которые при возникшем после этого движении движутся вертикально. Доказать, что ц нтр масс грузов $P^{\prime }$ и $W^{\prime }$ будет опускаться с ускорением
$$\frac{(P{W}^{\prime }-P^{\prime }{W}^{\prime 2}}{(P^{\prime }{W}^{\prime }+P{W}^{\prime })(P^{\prime }+W^{\prime })}\cdot g.$$
11 Шест попдерживается за нижния конец, который перемещается по горизонтальному кругу радиуса $c$ с постоянною угловою скоростью ш. Доказать, что он может сохранять постоянный угол наклона $\alpha$ к вертикали при условии
$${\omega }^2(\begin{array}{c}ac\\ \sin \alpha \end{array}-k^2)=\frac{ga}{\cos \alpha },$$

где $k$ есть радиус инерции шеста относительно нижнего конца, а $a$ — расстояние центра масс от этого конца.
Примеры XIV.
Физ ический маятник и п.
1. Олнородный шар, диаметр котьрого равен $10\mathrm{cm}$, подвешен при помощи тонкой нити длиной 1 м. Найти длину эквивалентного математического маятника.
$$[105,095\text{ c. }.]$$
2. Колесо внутреннею поверхностью своего обода опиоается на поперечное горизонтальное лезвие, расстояние которого от центра равно 0,95 м. Найдено, что период малых колебаний колеса около-лезвия ножа равен 2,65 сек. Найти радиус икерции колеса относительно пентра (ииннть $g=9,81$ м/сек ${}^2$ ).
3. Два физических маятника с массами $M,M^{\prime }$ могут качаться около одной и той же горизонтальной оси. Расстоя:ия центров тяжести от этой оси соответственно равны $h$ и $h^{\prime }$, а длин , эквивалентных математических маятнцков — $l$, $l$. Доказать, что если маятники будут связаны вместе, они будут качаться подобно математическому маятнику длины
$$\frac{Mhl+M^{\prime }{h}^{\prime }l}{Mh+M^{\prime }{h}^{\prime }}.$$
4. Стержень, согчутый в форму круговой дуги, качается в вертикальной пло:кости около своей середины. Доказать, что длина эквивалентного математического маятника равна диаметру круга.
5. Стержень, дли ка которого составляет $1\mathcal{M}$, подвешен горизонтально при помопи двух д динаковых вертикальных нитей, привязанных к его коншам. Если стержень качается в направлении своей длин !, то период малых колебаний равен 3,17 сек., а если он совершает круговые колебания около вертикальной оси, прохолящей через его центр (кототый является также центоом масс), тз период колебаний равен 1,85 сек. Найти его радиус инерции относительно центра.
$$[29,2\text{ cм. }]$$
6. Доказать, что в физическом маятнике (фиг. 45) с одним и тем же периодом колебаний около любой оси, параллельной действительной оси, всю массу можно считать сконцентрированною в двух точках $O$ и $P$. Каковы должны быть массы этих торек?
$$[\frac{M{x}^2}{h^2+h^2},\frac{M{h}^2}{{\mathrm{x}}^2+h^2}\cdot ]$$
7. К физитескому маятнику пристроена небольшая полка. Доказать, что эффект от помещения на п лку небольшого груза выразится в увеличєн $і$ и или уменьшении периода в зависимссти от того, будет ли полка ниже или выше центра качаний.
8. Две материальных точки $m,m^{\prime }$ соединены легким стержнем ллины $l$ и привязаиы к неподвижной точке $O$ при помощи нитей, имеющих соответственно длины $r,r^{\prime }$. Со тавить уравнение энергии для движения в вертикальной плискости, проходящей через $O$.

Дочазать, что если систему несколько вывести в этой плоскости из положения р?вновесия, то система будет совершать небольшие колебания с периодом, равном периоду математического маятника длины
$$\frac{m{r}^2+m^{\prime }{r}^2}{(m+m^{\prime })h}$$

при условии
$$h^2=\frac{m{r}^2+m^{\prime }{r}^{\prime 2}}{m+m^{\prime }}-\frac{m{m}^{\prime }{l}^2}{{(m+m^{\prime })}^2}.$$
9. Круглый обруч подвешен к трем неподвижным точкам тремя одинаковыми нитями длины $l$ так, что его плоскость горизонтальна. Доказать, что период малых вращательных колебаний около оси, проходящей через центр, будет
$$2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\text{. }$$
10. Горизонтальный стержень подвешен за две одинаковых вертикальных нити длины $l$, которые прикреплены к стержню на неодинаковых расстсяниях $a,b$ от центра масс $G$. Доказать, что стержень может совершать малые колебания около вертикальной оси, проходящей через $G$, и что длина эквивалентного математического маятника выражается формулою:
$$\frac{x^{2}l}{ab}\text{, }$$

где $x$ есть радиус инерции относительно указанной оси.
11. Однородный стегжень длины 0,9 м подвешен за верхиий конеп, который неподвижен. Какую минимальную скорость нужно сообщить нижнему концу, чтобы маятник мог дойти до положения неустойчивого равновесия?
12. Однородный стержень совершает в вертикальной поскости полный оборот около одного из концов, доходя до положения неустойчивого равновесия с нулевой скоростью; найти давления на точку подвеса: 1) в наинизшем положении и 2) в горизонтальном положении стержня.
[1) $4mg$; 2) $\frac{3}{2}mg$ — горизонтальная состав.»яющая, $\frac{1}{4}mg$ — вертикальная.
13. Физическйй маятник пускают без начальной скорости из положения, когда ero центр тяжести находится на одинаковом уровне с осью. При каком угле наклони горизонтальное давление на ось подвеса будет наибольшим? линии подвеса. Доказать, что если $M$ есть масса крышки, а $k$-радиус инерции относительно линии подвеса, то при открывании люка начальное давление массы на крышку изменяется и становится равным
$$\frac{Mmg(k^2-hx)}{M{k}^2+m{x}^2}$$

при условии $x<\frac{k^2}{h}$.
15. Однородная эллиптическая пластинка с полуосями $\mathit{a}$ и $\mathit{b}$ приведена во вращение около неподвижной оси, совпадающей с диаметром. Доказать, что реакции на ось эквивалентны паре с моментом
$$\frac{1}{8}M{\omega }^2(a^2-b^2)\sin 2\theta ,$$

где $\theta$ есть угол, образуемый неппдвижным диаметром с осьо $x$.
16. Цверь 0,9 м ширины, имеющая во всех местах одинаковую толщину, при открыєании на ${90}^{\circ }$, будучи прәдоставлена себе самой, закрывается через 2 сек; дчказать, что линия, соединиющая петли составляет с вертикалью угол около $3^{\circ }$.