Примеры XIII
Вращение около неподвижной оси.
1. Однородный круглый диск, имеющий диаметр 30 см, ‘весит $3,5 \kappa 2$; найти (в кгм) момент, который в течение 10 сек. сообщит диску угловую скорость 10 об/сек.
2. Найти в кгм кинетическую энергию однородного железного шара, имеющего радиус 1 ди и вращающегося около диаметра со скоростью 5 об/сек, принимая, что щотность железа равна 7,8 и что
\[
g=930 \text { см } / \text { сек }^{2} .
\]
[6,57 кгм.]
3. Гироскоп приводится во вращение при помощи нити длиною $1 \boldsymbol{M}$, навернутой на ось и разматываемой с натяжением $3,5 \kappa 2$. Найти в об/сек угловую скорость, сообщаемую гироскопу в предположении, что гироскоп динамически эквивалентен круглому диску 0,1 м в диаметре и весящему 1 к.
4. Однородный круглый диск радиусом 10 см. весящий 1 к2, может свободно вращаться около горизонтальной оси. При сообщении ему скорости 100 об/мин он останавливается в течение 1 мин. всґедствие действия силы трения, приложенной по касательной к окружности. Предполагая, что эта сила постоянна, найти ее величину в 2.
\[
[0,89 \text { 2.] }
\]
5. Доказать, что если бы Земля сжималась равномерно вследствие охлаждения, то при уменьшении радиуса на $\frac{1}{n}$-ю часть продолжительность суток уменьшилась бы на $\frac{2}{n}$-ю часть.
6. Масса махового колеса равна $7 \kappa 2$; на горизонтальную ось навит шнур, имеющий массу 0,4 кг. Замечено, что эта масса опускается на 1,5 м в 8 сек., если движение начинается без начальной скорости. Найти радиус инерции махового колеса, если дано, что радиус оси равен 5 см.
7. Маховое колесо, момент инерции которого равен $I$, имеет ось радиуса $a$ и вращается с угловою скоростью $\omega$. При вращении на ось навертывается легкий шнур, привязанный к массе $M$, лежащей в покое на полу под колесом. Найти отношение, в котором мгновенно уменьшается угловая скорость колеса и кинетическая энергия системы, когда натянется шнур.
8. Груз свешивается с оси радиуса $b$ и удерживается в равновесии силою $P$, приложенной по касательной к окружности концентрического колеса радиуса $a$. Показать, что если заменить силу $P$ силою $P^{\prime}$, то груз будет подниматься с ускорением
\[
\frac{\left(P^{\prime}-P\right) a b}{I+\frac{P a b}{g}},
\]
где $I$ есть момент инерции колеса и оси.
9. Две массы $M_{1}, M_{2}$ соединены нитью, перекинутой через блок с моментом инерции $I$ и радиусом $a$, как в машине Атвуда. Доказать, что при свобод:ом движении машины давление блока на его подшипники меньше, чем если бы масса $M_{1}+M_{2}$ была распределена поровну по обе стороны, на величину
\[
\frac{\left(M_{1}-M_{2}\right)^{2} g}{M_{1}+M_{2}+\frac{I}{a^{2}}} .
\]
10. В машине без трения и инерции груз $P$ уравновешивает груз $W$, причем оба висят на вертикальных шнурах. Эти грузы заменены грузами $P^{\prime}$ и ‘ $W^{\prime}$, которые при возникшем после этого движении движутся вертикально. Доказать, что ц нтр масс грузов $P^{\prime}$ и $W^{\prime}$ будет опускаться с ускорением
\[
\frac{\left(P W^{\prime}-P^{\prime} W^{\prime 2}\right.}{\left(P^{\prime} W^{\prime}+P W^{\prime}\right)\left(P^{\prime}+W^{\prime}\right)} \cdot g .
\]
11 Шест попдерживается за нижния конец, который перемещается по горизонтальному кругу радиуса $c$ с постоянною угловою скоростью ш. Доказать, что он может сохранять постоянный угол наклона $\alpha$ к вертикали при условии
\[
\omega^{2}\left(\begin{array}{c}
a c \\
\sin \alpha
\end{array}-k^{2}\right)=\frac{g a}{\cos \alpha},
\]
где $k$ есть радиус инерции шеста относительно нижнего конца, а $a$ – расстояние центра масс от этого конца.
Примеры XIV.
Физ ический маятник и п.
1. Олнородный шар, диаметр котьрого равен $10 \mathrm{~cm}$, подвешен при помощи тонкой нити длиной 1 м. Найти длину эквивалентного математического маятника.
\[
[105,095 \text { c. } .]
\]
2. Колесо внутреннею поверхностью своего обода опиоается на поперечное горизонтальное лезвие, расстояние которого от центра равно 0,95 м. Найдено, что период малых колебаний колеса около-лезвия ножа равен 2,65 сек. Найти радиус икерции колеса относительно пентра (ииннть $g=9,81$ м/сек ${ }^{2}$ ).
3. Два физических маятника с массами $M, M^{\prime}$ могут качаться около одной и той же горизонтальной оси. Расстоя:ия центров тяжести от этой оси соответственно равны $h$ и $h^{\prime}$, а длин , эквивалентных математических маятнцков – $l$, $l$. Доказать, что если маятники будут связаны вместе, они будут качаться подобно математическому маятнику длины
\[
\frac{M h l+M^{\prime} h^{\prime} l}{M h+M^{\prime} h^{\prime}} .
\]
4. Стержень, согчутый в форму круговой дуги, качается в вертикальной пло:кости около своей середины. Доказать, что длина эквивалентного математического маятника равна диаметру круга.
5. Стержень, дли ка которого составляет $1 \mathcal{M}$, подвешен горизонтально при помопи двух д динаковых вертикальных нитей, привязанных к его коншам. Если стержень качается в направлении своей длин !, то период малых колебаний равен 3,17 сек., а если он совершает круговые колебания около вертикальной оси, прохолящей через его центр (кототый является также центоом масс), тз период колебаний равен 1,85 сек. Найти его радиус инерции относительно центра.
\[
[29,2 \text { cм. }]
\]
6. Доказать, что в физическом маятнике (фиг. 45) с одним и тем же периодом колебаний около любой оси, параллельной действительной оси, всю массу можно считать сконцентрированною в двух точках $O$ и $P$. Каковы должны быть массы этих торек?
\[
\left[\frac{M x^{2}}{h^{2}+h^{2}}, \frac{M h^{2}}{\mathrm{x}^{2}+h^{2}} \cdot\right]
\]
7. К физитескому маятнику пристроена небольшая полка. Доказать, что эффект от помещения на п лку небольшого груза выразится в увеличєн $і$ и или уменьшении периода в зависимссти от того, будет ли полка ниже или выше центра качаний.
8. Две материальных точки $m, m^{\prime}$ соединены легким стержнем ллины $l$ и привязаиы к неподвижной точке $O$ при помощи нитей, имеющих соответственно длины $r, r^{\prime}$. Со тавить уравнение энергии для движения в вертикальной плискости, проходящей через $O$.
Дочазать, что если систему несколько вывести в этой плоскости из положения р?вновесия, то система будет совершать небольшие колебания с периодом, равном периоду математического маятника длины
\[
\frac{m r^{2}+m^{\prime} r^{2}}{\left(m+m^{\prime}\right) h}
\]
при условии
\[
h^{2}=\frac{m r^{2}+m^{\prime} r^{\prime 2}}{m+m^{\prime}}-\frac{m m^{\prime} l^{2}}{\left(m+m^{\prime}\right)^{2}} .
\]
9. Круглый обруч подвешен к трем неподвижным точкам тремя одинаковыми нитями длины $l$ так, что его плоскость горизонтальна. Доказать, что период малых вращательных колебаний около оси, проходящей через центр, будет
\[
2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \text {. }
\]
10. Горизонтальный стержень подвешен за две одинаковых вертикальных нити длины $l$, которые прикреплены к стержню на неодинаковых расстсяниях $a, b$ от центра масс $G$. Доказать, что стержень может совершать малые колебания около вертикальной оси, проходящей через $G$, и что длина эквивалентного математического маятника выражается формулою:
\[
\frac{x^{2} l}{a b} \text {, }
\]
где $x$ есть радиус инерции относительно указанной оси.
11. Однородный стегжень длины 0,9 м подвешен за верхиий конеп, который неподвижен. Какую минимальную скорость нужно сообщить нижнему концу, чтобы маятник мог дойти до положения неустойчивого равновесия?
12. Однородный стержень совершает в вертикальной поскости полный оборот около одного из концов, доходя до положения неустойчивого равновесия с нулевой скоростью; найти давления на точку подвеса: 1) в наинизшем положении и 2) в горизонтальном положении стержня.
[1) $4 m g$; 2) $\frac{3}{2} m g$ – горизонтальная состав.»яющая, $\frac{1}{4} m g$ – вертикальная.
13. Физическйй маятник пускают без начальной скорости из положения, когда ero центр тяжести находится на одинаковом уровне с осью. При каком угле наклони горизонтальное давление на ось подвеса будет наибольшим? линии подвеса. Доказать, что если $M$ есть масса крышки, а $k$-радиус инерции относительно линии подвеса, то при открывании люка начальное давление массы на крышку изменяется и становится равным
\[
\frac{M m g\left(k^{2}-h x\right)}{M k^{2}+m x^{2}}
\]
при условии $x<\frac{k^{2}}{h}$.
15. Однородная эллиптическая пластинка с полуосями $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ приведена во вращение около неподвижной оси, совпадающей с диаметром. Доказать, что реакции на ось эквивалентны паре с моментом
\[
\frac{1}{8} M \omega^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin 2 \theta,
\]
где $\theta$ есть угол, образуемый неппдвижным диаметром с осьо $x$.
16. Цверь 0,9 м ширины, имеющая во всех местах одинаковую толщину, при открыєании на $90^{\circ}$, будучи прәдоставлена себе самой, закрывается через 2 сек; дчказать, что линия, соединиющая петли составляет с вертикалью угол около $3^{\circ}$.
