Рассмотрим теперь задачи, относящиеся к малым колејаниям системы из двух материальных точек около положения равновесия. Первая из них известна под названием задачи о колебаниях „двойного маятника“.
1. Масса $m$ подвешена к неподвижной точке $O$ при помощи нити, имеющей длину $l$, а к массе $m$ подвешена вторая масса $m^{t}$ при помощи нити, имеющей длину $l^{\prime}$. Изучить колебания системы, предполагая, что движение совершается в вертикальной плоскости.

Пусть $x, y$ обозначают соответственно горизонтальные перемещения масс $m^{\prime}, m^{\prime}$, считая их от вертикали, проходящей через $O$. Если мы предположим, что углы наклона обеих нитей малы, то натяжения по причинам, изложенным в $\S 11$, будут приближенно равны статическим значениям $\left(m+m^{\prime}\right) g$ и $m g$. Следовательно, уравнения движения будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\left(m+m^{\prime}\right) g \frac{x}{l}+m^{\prime} g \frac{y-x}{l^{\prime}}, \\
m^{\prime} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-m^{\prime} g \frac{y-x}{l^{\prime}} .
\end{array}\right\}
\]

Чтобы решить эту систему уравнений, мы сперва исслеФиг. 39. дуем, возможен ди такой характер колебаний, при котором каждая масса совершает простое гармоническое колебание одного и того же периода и с одной и той же фазой. Следовательно, мы предположим, что координаты точек можно выразить формулами:
\[
x=A \cos (n t+\varepsilon), \quad y=B \cos (n t+\varepsilon) .
\]

Подставив эти выражения в (1), мы найдем, что косинусы сократятся, и уравнения будут удовлетворяться при условиях:
\[
\left.\begin{array}{r}
{\left[n^{2}-\frac{(1+\mu) g}{l}-\frac{m g}{l^{\prime}}\right] A+\frac{m g}{l^{\prime}} B=0,} \\
\frac{g}{l^{\prime}} A+\left(n^{2}-\frac{g}{l^{\prime}}\right) B=0,
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\mu=\frac{m^{\prime}}{m} .
\]

Исключив отношение $\frac{A}{B}$, мы получим уравнение:
\[
n^{4}-(1+\mu) g\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{l^{\prime}}\right) n^{2}+(1+\mu) \frac{g^{2}}{l l^{1}}=0,
\]

квадратное относительно $n^{2}$. Так как выражение, стоящее в левой части, при $n^{2}=\infty$ положительно, при $n^{2}=\frac{g}{l}$ или $\frac{g}{l^{\prime}}$ отрицательно, а при $n^{2}=0$ опять положительно, то корни будут вещественными и положительными, и, кроме того, один корень будет больше нанбольшей, а другой меньше наименьшей из двух величин $\frac{g}{l}$ и $\frac{g}{l}$. Обозначим эти корни соответственно через $n_{1}^{2}, n_{2}^{2}$.

Таким образом мы получили два разных решения типа (2), причем отношение $\frac{A}{B}$ определяется в каждом случае любым из уравнений (3), в котором нужно вставить соответствующее значение $n^{2}$.

Тәк как уравнения (1) линейные, то их решения можно сложить; поэтому мы имеем решения:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=A_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right)+A_{2} \cos \left(n_{2} t+\varepsilon_{2}\right), \\
y=B_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right)+B_{2} \cos \left(n_{2} t+\varepsilon_{2}\right),
\end{array}\right\}
\]

подчиненные соотношениям:
\[
\frac{B_{1}}{A_{1}}=-\frac{g}{n_{1}^{\prime \prime}-g} \cdot \frac{B_{2}}{A_{2}}=\frac{g}{g-n_{2}^{2 l}} .
\]

Постоянные $A_{1}, A_{2}, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ можно рассматривать как произвольные; они дают нам возможность удовлетворить предписываемым начальным условиям, относящимся к $x, y, \dot{x}, \dot{y}$. Следовательно, решение является общим.

Типы движения, представляемые двумя частными решениями, взятыми отдельно, называются ${ }_{n}$ нормальными\” колебаннями. Их периоды $\frac{2 \pi}{n_{1}}, \frac{2 \pi}{n_{2}}$ определяются структурой системы, в то время как амплитуды и фазы зависят от начальных условий. При каждом нормальном колебании обе массы сохраняют синхронизм (имеют одинаковые периоды), но следует заметить, что при одном нормальном колебании $x$ и $y$ имеют одинаконые знаки, а при другом знаки будут противоположнье. Это вытекает из форкул (6).

Важное значение имеют некоторые частные случаи этой задачи. Если отношение $\mu\left(=\frac{m^{\prime}}{m}\right)$ мало, то корни уравнения (4) будут иметь приближенные значения $\frac{g}{l}$ и $\frac{g}{l^{\prime}}$. При нормальном колебании, соответствующем первому из корней, верхняя масса будет колебаться почти
подобно грузу математического маятника длины $l$, причем влияние меньшей массь будет незначительным, в то время как после эняя будет вести себя подобно грузу маятника длины $l^{\prime}$, точка подвеса котьрого совершает вынужденные колебания периода $2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. В самом деле, на основании (6) мы имеем равенство:
\[
\frac{y}{x}=\frac{l}{l-l^{\prime}} ;
\]

мы видим, что оно соответствует результатам, полученным в § 13. При втором нормальном колебании, для которого мы приближенно имеем $n^{2}=\frac{g}{\boldsymbol{l}^{1}}$, отношение $\frac{x}{y}$ мало; следовательно, верхняя масса находится в относительном покое, в то время как нижняя колеблется подобно грузу маятника длины $l$ ‘.

Если, обратно, верхняя масса в сравнении с нижнею будет мала, так что величина $\mu$ будет значительной, то мы на основании (4) имеем приближенно:
\[
n_{1}^{2}+n_{2}^{2}=\mu g\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{l^{4}}\right), \quad n_{1}^{2} n_{2}^{2}=\frac{\mu g^{2}}{l l^{\prime}} .
\]

В соответствии с этим корни $n_{1}^{2}$ и $n_{2}^{2}$ будут почти равны значениям
\[
\mu g\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{l^{\prime}}\right) \text { и } \frac{g}{l+l^{\prime}} \text {. }
\]

Первый корень дает приближенное равенство:
\[
\frac{y}{x}=-\frac{l}{\mu\left(t+l^{\prime}\right)} .
\]

Следовательно, нижняя масса будет находиться почти в покое, в то время как верхняя будет колебаться подобно материальной точке, привязанной к нити длины $l+l^{\prime}$, которая натянута между двумя неподвижными точками с натяжением $m^{\prime} g$ (см. § 10 , пример 3). При втором нормальном колебании будет:
\[
\frac{y}{x}=\frac{l+l}{l} \text {; }
\]

это равенство показывает, что обе массы все время будут расположены почти на одной прямой с точкой подвеса, причем колебания $m^{\prime}$ будут подобны колебаниям груза маятника, имеющего длину $l+l^{\prime}$.

Мы видели, что оба периода никогда не могут равняться в точности один другому, но, рассматривая квадрат разности корней уравнения (4), а именно:
\[
\left(n_{1}^{2}-n_{2}^{2}\right)^{2}=(1+\mu) g^{2}\left[\left(\frac{1}{l}-\frac{1}{l^{\prime}}\right)^{2}+\mu\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{l^{\prime}}\right)^{2}\right],
\]

мы видим, что корни будут почти равны между собой, если длина $l$ почти равна $l^{\prime}$ и в то же время отношение $\mu$ или $\frac{m^{\prime}}{m}$ мало. Движение каждой массы, получающееся путем сложения двух простых гармонических колебаний почти одинакового периода, практически эквивалентно, как объяснено в § 24 , колебаниям с почти постоянным периодом, но с периодически меняющейся амплитудою. Кроме того, если начальные условия таковы, что амплитуды $A_{1}, A_{2}$, а следовательно, также и $B_{1}$, $B_{2}$ равны между собой (по абсолютной величине), то мы получаем промежутки времени относительного покоя. В этом случае оказывается, что энергия движения передается последовательно от одной массы к другой и обратно через одинаковые промежутки времени, причем, конечно, амплитуда массы $m^{\prime}$ будет много больше. Соответствующий опыт легко выполнить, и он очень эффектен.
2. Две одинаковых материальных Фиг. 40. точки $m$ прикреплены симметрично на равных расстояниях от концов к натянутой нити, имеющей длину $2(a+b)$. Найти колебания системы.

Если небольшие перемещения обеих точек в поперечном направлении обозначить через $x, y$, то по тем же основаниям, как и в $\S 10$, пример 3 , мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-P \frac{x}{a}+P \frac{y-x}{2 b}, \\
m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-P \frac{y}{a}-P \frac{y-x}{2 b},
\end{array}\right\}
\]

где $P$ обозначает натяжение нити.
Предполагая, что решение имеет вид:
\[
x=A \cos (n t+\varepsilon), \quad y=B \cos (n t+\varepsilon),
\]

найдем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(n^{2}-\frac{P}{m} \cdot \frac{a+2 b}{2 a b}\right) A+\frac{P}{2 m b} B=0, \\
\frac{P}{2 m b} A+\left(n^{2}-\frac{P}{m}: \frac{a+2 b}{2 a b}\right) B=0 .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, исключая отношение $\frac{A}{B}$, мы получим:
\[
n^{2}-\frac{P}{m} \cdot \frac{a+2 b}{2 a b}= \pm \frac{P}{2 m b} \text {, }
\]

или, обозначая корни через $n_{1}^{2}, n_{2}^{2}$ :
\[
n_{1}^{2}=\frac{P}{m} \cdot \frac{a+b}{a b}, \quad n_{2}^{2}=\frac{P}{m a} .
\]

Следовательно, общее решение будет типа (5).

При нормальном колебании, соответствующем первому из корней (17), мы на основании (15) имеем $A=-B$; следовательно, форма нити в конце колебания будет такая, как указано на фиг. 41. При втором нормальном колебании мы имеем $A=B$, и форма нити будет такая, как указано на фиг. 42.

В рассматриваемой задаче благодаря симметрии расположения легко наперед предвидеть, что возможны как раз два независимых нормальных колебания, и соответствующие периоды легко найти независимо один от другого.

Предылущие результаты являются частными случаями общей теоремы, которую мы можем уже здесь формулировать, хотя полное доказательство выходит за пределы рамок данной книги ${ }^{1}$ ). В любой кснсервативной системе, выведенной незначительно из состояния устой-
Фиг. 41.
Фиг. 42.
чивого равновесия, результирующее движение можно рассматривать как получаемое путем сложения ряда независимых нормальных колебаний. Если возникнет только одно из нормальных колебаний, то движение каждой точки системы будет простым гармоническим, причем все точки будут находиться в одинаковой фазе, проходя одновременно через свои положения равновесйя. Число таких нормальных колебаний равпо числу степеней свободы системы, а их периоды зависят только от структуры системы. Отношения же их амплитуд и фазы могут иметь любые значения и зависят от характера начального возмущения.